浙江温州十校联合体2025-2026学年高二第二学期期中联考数学学科练习

浙江温州十校联合体2025-2026学年高二第二学期期中联考数学学科练习一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U=−1,0,1,2,3，A=−1,1,2,3，B=1,2A．−1,0,3 B．0,3 C．1,2 D．−1,02．在一个文艺比赛中，12位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，这组数据的第80百分位数为（）A．66 B．67 C．68 D．693．已知x∈R，则“−2≤x≤3”是“x−3x+2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数fx=eA．e B．1e C．−e D．5．已知直线y=x+a是曲线fx=xA．ln3 B．−ln3 C．ln32 6．已知sinα−sinα+π3A．79 B．−79 C．77．用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（）个A．72 B．96 C．108 D．1208．在菱形ABCD中，AC=4，点E为线段BC上一点，且AE⋅AC=12，点F为线段BD上的一个动点（包括端点），若A．32+2 B．32+2二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数z=iA．复数z的虚部为i10 B．z的模为C．z的共轭复数z=−310−i1010．下列说法正确的是（）A．若随机变量ξ∼N1,σ2，且B．若样本数据x1,xC．一组样本数据80,120，90,140，100,a，110,165，120,180，其经验回归方程为y=1.45x+7，则D．利用χ2进行独立性检验时，χ11．已知函数fx满足∀m，n∈R，fm+n+2m+2A．f0=1 B．C．fx在0,+∞上单调递增 D．存在t∈R，使得三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上.12．在x+2x5的展开式中，含x13．已知函数fx=sinωx−π6(ω>0)在0,π14．已知四面体ABCD满足BC=22，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点O1，内切球球心为点O2，过直线O1O2的平面截四面体ABCD所得的截面的周长为四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosC+ccosB=2acosA．（1）求角A的值．（2）若a=1，求b+c的最大值．16．如图，在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=6，（1）求证：A1（2）求直线AB与平面BCC17．已知函数fx（1）求a的值．（2）令gx=2（ⅰ）求gx（ⅱ）若不等式m4x+1418．甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为90%，乙生产线的产品合格率为95%．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为94%．（1）求甲、乙两条生产线的产量之比．（2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为X，以频率估计概率，求X的分布列及数学期望．（3）从混合产品中随机抽取nn≥2件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为pn，求pn19．已知函数fx=ax−1（1）当a=1时，求函数fx（2）求证：gx（3）令hx=fx−gx，若对任意不同的x1，

答案解析部分1．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：因为集合U=−1,0,1,2,3，A=−1,1,2,3，B=1,2，

则∁UA∩B=【分析】利用已知条件和交集的运算法则、补集的运算法则，从而得出集合∁U2．【答案】C【知识点】用样本估计总体的百分位数【解析】【解答】解：由题意，得12×80%=9.6，可得这组数据的第80百分位数为68.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件和百分位数求解方法，从而得出这组数据的第80百分位数.3．【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：因为x−3x+2≤0，所以x−3x+2又因为x|−2<x≤3真包含于x|−2≤x≤3，小范围推出大范围，所以x−3x+2≤0⇒−2≤x≤3，−2≤x≤3推不出则“−2≤x≤3”是“x−3x+2≤0”的必要不充分条件.【分析】先解分式不等式得出x的取值范围，再根据集合间的关系和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.4．【答案】D【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则【解析】【解答】解：因为fx=e则ff1=f【分析】根据自变量的取值范围，再代入相应的解析式，从而得出ff5．【答案】B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：因为f'x=2x−1x，令2x−1x=1，

则2x2−x−1=2x+1x−1=0，解得x=1或【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线fx6．【答案】A【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式【解析】【解答】解：因为sinα−sinα+所以sinα−sinα则cos2α−2π3【分析】将已知式结合两角和差的正弦公式，从而得到α−π3的正弦值，再根据二倍角的余弦公式，从二得出7．【答案】C【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：能被5整除的数，个位只能是0或5，分两类讨论：情况1：个位为0，个位固定为0，剩余十万位到十位五个位置，

由1,2,3,4,5全排列，得总排列数为A5因为无重复数字，万位数字和千位数字大小关系只有（万<千）（万>千）两种，且数目相等，则满足条件的个数为：1202情况2：个位为5，个位固定为5，十万位不能为0，先选十万位，有4种选择（从1,2,3,4中选），剩余四个位置由剩下的4个数字全排列，

则总排列数为4×A同理可得，满足（万位<千位）的个数为：962则两类相加得出这样的六位数共有的个数为：60+48=108.

故答案为：C.【分析】分个位为0或5两类，再利用排列数公式和分步乘法计数原理、分类加法计数原理，从而得出这样的六位数共有的个数.8．【答案】A【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示【解析】【解答】解：如图，作出符合题意的图形，

记菱形的中点为O，以O为原点，建立平面直角坐标系，因为AC=4，设BD=2b，由题意，得A(−2,0)，C(2,0)，D(0,b)，可得AC=(4,0)，BC=(2,b)，

又因为点E为线段BC上一点，所以BE=λBC,λ∈0,1，

则BE=(2λ,bλ)，设E(x,y)，可得BE=(x,y+b)，

则x=2λy+b=bλ因为AE⋅AC=12，所以4(2λ+2)=12，

解得λ=12，此时E(1,−又因为点F为线段BD上的一个动点（包括端点），设F(0,t),t∈−b,b，则AF=(2,t)，

由题意，得则2=3x+4y，所以3x+4y=2，

设x+y=m，x+2y=n，m,n>0，设3x+4y=g(x+y)+q(x+2y)=(g+q)x+(g+2q)y，对照系数，可得g+q=3g+2q=4，

解得g=2,q=1，则3x+4y=2m+n，所以2m+n=2，可得1因为1=1由基本不等式，得2mn+nm≥2则12(3+2mn+nm)≥19．【答案】B,C,D【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集【解析】【解答】解：因为复数z=i所以，复数z的虚部为110因为z=因为复数z的共轭复数z=−因为10z所以，复数z是方程10x2+6x+1=0的一个根，故D正确.

10．【答案】A,C,D【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；独立性检验的应用；正态密度曲线的特点【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量ξ∼N1,σ2所以P(ξ≥2)=1−0.82=0.18，则P(ξ≤0)=P(ξ≥2)=0.18，所以P(0<ξ<2)=P(ξ<2)−P(ξ≤0)=0.82−0.18=0.64，故A正确；对于B，设样本数据x1,x则数据2x1+1,2由题意，可得2=1所以数据2xs==4×2=8，故B错误；对于C，由题意，可得x=又因为回归方程为y=1.45x+7所以605+a5=1.45×100+7，解得对于D，在独立性检验中，χ2统计量越大，观测值与期望值的差异越显著，犯错的概率越小，

则两个分类变量不独立的把握越大，故D正确.

故答案为：ACD.

11．【答案】A,C【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的值【解析】【解答】解：法1：赋值法对于A：令m=n=0可得f0对于B：令m=1，n=−1得f−1=12，f−1对于C：∀x1，x2∈0,+∞，且∵fx∴f=因为x2−x因为x1>0，所以所以2x即fx2>fx1对于D：令m=x，n=1得fx+1当x→+∞时，fx>1，2x+1−1→+法2：原型函数法∵fm+n+2令gx=fx−1，则令hx=g满足条件的函数hx的原型函数为hx=kx由f1=3得k=1，所以对于A：f0对于B：f−x=−x·2对于C：x>0且在0,+∞上单调递增，2x>0且在所以fx在0,+对于D：当x→+∞时，fx→+∞，不存在故答案为：AC.

【分析】利用两种方法求解，即赋值法和原型函数法.利用已知条件和函数求值的方法、函数奇偶性定义、函数单调性的定义以及不等式恒成立问题求解方法，从而逐项判断找出正确的选项.12．【答案】40【知识点】二项展开式的通项【解析】【解答】解：因为x+2x5令10−3k2=2，解得k=2，

所以，含x2项的系数为2【分析】先利用二项式定理得出x+2x5的展开式的通项，再令x的幂指数等于2，从而求出对应的k值，再将k13．【答案】2,4【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值【解析】【解答】解：因为fx则当x∈0,π3又因为函数fx在0,π3上的值域为−12结合正弦曲线可知π2≤π3ω−π6≤7π6，

解得14．【答案】2【知识点】球内接多面体；空间向量基本定理；图形的对称性【解析】【解答】解：由题意，可得△ABC,△BCD为等腰直角三角形，

又因为△ACD,△ABD为等边三角形，所以点O1是BC取AD的中点M，点O2在线段O1M设截面与AC交于点E，则截面与BD相交于点F，设O1E=x则O∵O1∴λx=μyλ(1−x)=1又∵AC=BD，∴AE=DF，CE=BF，可证△O1CE≌△∴O1E=O1翻折可得O1所以L的最小值为22+3．（若截面与CD相交，则截面与AB相交，情况与上面一样）

故答案为：22+3.

【分析】由题意可得点O1是BC的中点，点O2在线段O1M上(点M是15．【答案】（1）解：法一：由余弦定理，

可得b⋅a∴a=2acosA，∴cosA=12，

∵A∈0,π法二：由正弦定理，

可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，∴sinB+C=2sinAcosA，

∵A∈0,π，∴sinA≠0，∴cosA=12，

∵A∈（2）解：法一：∵a2=b∴(b+c)∴(b+c)2≤4，则b+c≤2∴b+c的最大值为2.法二：由bsinB=csinC=asinA∴b+c==2当B=π3时，【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.

法一：利用已知条件和余弦定理将角化为边，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值．

法二：利用已知条件和正弦定理将边化为角，再利用两角和的正弦公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.（2）法一：利用余弦定理结合基本不等式求最值的方法，从而得出b+c的最大值．

法二：利用正弦定理将边化为角，再利用三角恒等变换公式和正弦型函数求最值的方法，从而得出b+c的最大值．（1）法一：借助余弦定理可得b⋅a∴a=2acosA，∴cosA=12，∵A∈0,π法二：借助正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，∴sinB+C=2sinAcosA，∵A∈0,π，∴sinA≠0，∴cosA=12，∵A∈（2）法一：∵a2=∴(b+c)∴(b+c)2≤4，即b+c≤2∴b+c的最大值为2.法二：由bsinB=csinC=∴b+c==2当B=π3时，16．【答案】（1）证明：如图，延长AO交BC于点H，取B1C1的中点H1，连接HH1和A1H1，

∵点O为△ABC的重心，△ABC为正三角形，

∴点H为BC的中点，BC⊥AH，

又∵点H为B1C1的中点，侧面BCC1B1是等腰梯形，

∴BC⊥HH1，

∵AH∩HH（2）解：法1：如图，以点H为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A33,0,0，B0,3,0，C0,−3,0．

在梯形AHH1A1中，作A1M⊥AH交AH于点M，作H1N⊥AH交AH于点N，

由正三角形的性质，可得A1H1=323，AH=33，

由勾股定理，得HH1=323，

由AA12−AM2=HH12−HN2,AM+HN=AH−A1H1，

得9−AM2=274−HN2AM+HN=323，

则AM=3,HN=32，

由勾股定理，得H1N=6．

∴H132,0,6，B132,32,6，

∴AB=−33,3,0，BC=0,−6,0，BB1=32,−32,6，

设平面BCC1B1的法向量为n=x,y,z，

由n⋅BC=0n⋅BB1=0，得−6y=032x−32y+6z=0，

令z=−1，则x=22，y=0，

∴n=22,0,−1，

∴|cos〈AB,n〉|=AB⋅nAB⋅n=6618=63，

∴直线AB与平面BCC1B1所成角的正弦值为63．

法2：如图，过点A作AT⊥HH1交HH1于点T，连接BT，

∵BC⊥平面AHH1A1,BC⊂【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）延长AO交BC于点H，取B1C1的中点H1，连接HH1和（2）利用三种方法求解.

方法一：先建系，则得出点的坐标，再利用正三角形的性质和勾股定理，从而得出向量的坐标，求出平面BCC1B1的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出直线AB与平面BCC1B1所成角的正弦值.

方法二：过点A作AT⊥HH1交HH1于点T，连接BT，利用线面垂直证出面面垂直，再利用面面垂直的性质定理得出线面垂直，从而得出∠ABT是直线AB与平面（1）如图，延长AO交BC于点H，取B1C1的中点H1，连接∵点O为△ABC的重心，△ABC为正三角形，∴点H为BC的中点，BC⊥AH，又∵点H为B1C1∴BC⊥HH∵AH∩HH1=H，AH,HH1⊂平面∵A1O⊂平面AH（2）法1：如图，以点H为坐标原点建立空间直角坐标系．则A33,0,0，B在梯形AHH1A1中，作A1M⊥AH交AH于点M，作由正三角形的性质可得A1H1=3由AA即9−AM2=274∴H13∴AB=−33,3,0设平面BCC1B由n⋅BC=0n⋅BB1=0∴n∴|cos∴直线AB与平面BCC1B法2：如图，过点A作AT⊥HH1交HH1于点∵BC⊥平面AHH1A∴平面BCC1B又∵平面BCC1B1∩平面AHH1∴AT⊥平面BCC∴∠ABT是直线AB与平面BCC在梯形AHH1A1中，作A1M⊥AH交AH于点M，作由正三角形的性质可得A1H1=3由AA即9−AM2=所以cos∠NHH1=∴AT=AH⋅sin∠AHH在Rt△ABT中，sin∠ABT=ATAB=63，即直线AB法3：如图，补形为正三棱锥P−ABC．设点A到平面BCC1B1的距离为d，直线AB与平面∵VA−PBC=由AB=6，AA1=A1由勾股定理得PO=26，即d=2∴sinθ=dAB=63，即直线AB17．【答案】（1）解：∵fx是偶函数，∴f则log2∴2x=log24x∴4x+a=1+a⋅4（2）解：（ⅰ）由（1）可得fx∴gx令u=2x，则∵x∈0,2，∴u∈∵y=u+1u在1,4上单调递增，

∴gx的值域为2,（ⅱ）令t=2x+12x，则则不等式m4x+14x−2mgx+3≥0令ht=mt2−2mt−2m+3，

因为h当m=0时，ht当m>0时，ht在2,174单调递增，

则h(t)min当m<0时，ht在2,174单调递减，

则h(t)min综上所述，m的取值范围是−48【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；对数型复合函数的图象与性质【解析】【分析】(1)利用已知条件和偶函数的定义，从而得出a的值.(2)（ⅰ）由（1）得出函数gx=2x+12（ⅱ）令t=2x+12令ht=mt2−2mt−2m+3，利用h（1）∵fx是偶函数∴f即log∴2x=log24∴4x+a=1+a⋅（2）（ⅰ）由（1）可得fx∴gx令u=2x，则∵x∈0,2，∴u∈∵y=u+1u在1,4上单调递增∴gx的值域为2,（ⅱ）令t=2x+12不等式m4x+14x−2mg令ht=mt2−2mt−2m+3，h当m=0时，ht当m>0时，ht在2,174单调递增，h当m<0时，ht在2,174单调递减，h综上所述，m的取值范围是−4818．【答案】（1）解：设甲生产线生产的这批电子产品有a件，

乙生产线生产的这批电子产品有b件，

因为事件A=“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，

事件B=“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，

事件C=“混合在一起的某一零件是合格品”，

则PA=aa+b，PB=ba+b，

由PC（2）解：由（1）可知，甲生产线产品占总量的15，

所以X∼B则PX=0=C3PX=2=C3所以X的分布列：X0123P6448121则EX（3）解：从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为15则pn由pn≥p则当n=99或100时，pn【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式【解析】【分析】(1)利用已知条件和古典概率公式、全概率公式，从而得出甲、乙两条生产线的产量之比．(2)由（1）可知甲生产线产品占总量的15，利用二项分布定义，从而可得X∼B(3)由题意可得pn=Cn2⋅(0.02)（1）设甲生产线生产的这批电子产品有a件，乙生产线生产的这批电子产品有b件，事件A=“混合在一起的电子产品来自甲生产线”，事件B=“混合在一起的电子产品来自乙生产线”，事件C=“混合在一起的某一零件是合格品”，则PA=a由PC得ab所以甲、乙两条生产线的产量之比为1:4．（2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的15，所以X∼BPX=0=CPX=2=C所以X的分布列：X0123P6448121EX