《线性代数（第7版）》第三章 线性方程组-new

1第三章线性方程组2本章讨论关于线性方程组的两个问题：

一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的消元解法.

二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解.若有解，则有多少组解；若有无穷多解，如何表示.

运用n维向量的理论可全面地解决第二个问题.3引例用消元法解线性方程组解§3.1

线性方程组的消元解法456用“回代”的方法求出解：，其中c

取任意常数.7小结：1．上述解方程组的方法称为消元法；

2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（

与

相互替换）（以

替换

）（以

替换

）83．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是同解变换.9因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算.若记称为方程组(1)的增广矩阵.对线性方程组的消元过程完全可以转换为对增广矩阵的初等行变换过程.10用矩阵的初等行变换解方程组(1)：1112对应的方程组为由下到上逐个解得，其中c取任意常数.13例1解线性方程组解消元14解得唯一解回代从以上例子可以看出，用消元法解线性方程组时，在消元过程结束后，我们得到一个阶梯形矩阵.回代过程则进一步化阶梯形矩阵为简化的阶梯形矩阵.15一般地，如果一个阶梯形矩阵满足条件：每一非零行的第一个非零元素为1，且它所在列的其它元素全为0，则称该矩阵为简化的阶梯形矩阵.下面矩阵是简化的阶梯形矩阵吗？不是是是1617对于一般的线性方程组系数矩阵增广矩阵(3.1)线性方程组(3.1)的矩阵形式为常数项未知量18对方程组的增广矩阵施以初等行变换，相当于把原方程组变换成一个新的方程组，不难证明新方程组是原方程组的同解方程组.消元法也适用于一般的线性方程组：用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，可实现消元过程.再利用初等行变换将阶梯形矩阵化为简化的阶梯形矩阵，可完成回代过程.

对增广矩阵施以行对换变换，相当于交换两个方程的次序；对增广矩阵施以行倍乘变换，相当于用非零数k乘以某一个方程的两边，这两种变换显然不会改变方程组的解.同解19不难证明，原方程组的解是新方程组的解；反之，新方程组的解也是原方程组的解.于是，新老方程组是同解方程组.对增广矩阵施以行倍加变换，比如将第i行的k倍加到第j行上，相当于将第i个方程乘以k加到第j个方程上，第j个方程会从

变为20方程组有解的充分必要条件是(如果有必要，可重新安排方程中未知量的次序)一般地，利用矩阵的初等行变换按照从左往右，从上往下的顺序将增广矩阵化为阶梯形矩阵，完成消元的过程.21定理3.1.线性方程组解的判定定理：在有解的情况下，22在方程组有解时，再利用初等行变换按照从右往左，从下往上的顺序将阶梯形矩阵化为简化的阶梯形矩阵，完成回代的过程来得到方程组的解.23我们称xr+1,xr+2,…,xn这n-r个未知量为自由未知量，每取定自由未知量的一组值，即可得原方程组的一个解.原方程组与下列方程组同解.24这是原方程组无穷多解的一般形式，一般称为方程组的全部解(或通解).25解例2解线性方程组262728解例3解线性方程组2930解例4313233当线性方程组的常数项均为零时，即下面形式的线性方程组称为齐次线性方程组显然零向量必为它的解，称为零解.定理3.2推论(3.9)其矩阵形式为齐次线性方程组(3.9)有非零解的充分必要条件是：34例5

解齐次线性方程组

解这是一个齐次线性方程组，且方程个数等于未知量个数.35由此可得原方程组的同解方程组是

36从而原方程组的全部解是

注.

从本例可以看出，对于一个齐次线性方程组，只需要对其系数矩阵做初等行变换即可.37§3.2

向量与向量组的线性组合一、向量及其线性组合定义3.1称为n维行向量,称为n维列向量，其中或38向量可视为特殊的矩阵,因此,向量相等的概念与矩阵相等相同：两个n维向量相等当且仅当它们各对应分量都相等.39所有分量均为零的向量称为零向量，记为

0.向量的加减法、数乘等概念与矩阵也完全相同.定义3.2和，记为40由向量的加法及负向量的定义，可以定义向量的减法.则定义3.3向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算.数量乘积，41所有n维实向量的集合记为Rn，我们称Rn为实n维向量空间，它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算，并且这两种运算满足以下八条运算律：

其中a,b,g

都是n维向量,0是n维零向量,k,l

为实数.(加法交换律)；(加法结合律)；(数乘分配律)；(数乘分配律)；(数乘结合律)；定义3.442除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：例1解移项规则43二、向量组的线性组合根据向量的加法与数乘的定义,一般的线性方程组(3.1)它称为方程组(3.1)的向量形式,其中都是m维列向量.于是,线性方程组(3.1)是否有解,就相当于是否使线性关系式成立，即常数列向量可以写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系存在一组数:44定义3.5例如,b=(2,-1,1),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1),显然b=2a1-a2+a3

,或者说b可由a1,a2,a3线性表示.即b是

a1,a2,a3的线性组合,

45定理3.3证.线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.即

46

47例3.例4.称为n维基本单位向量组.例2.48例5解49类似地，50补例解5152但表示法不唯一.

其中c为任意常数.53三、向量组等价定理3.4设有两个向量组如果向量组(A)中每个向量均可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示.如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而向量组(B)又可由向量组(C)线性表示，则向量组(A)也可由向量组(C)线性表示.证.设有向量组54如果将式②代入式①可得：①②整理后得：即向量组(A)可由向量组(C)线性表示.55定义3.6设有两个向量组如果向量组(A)和向量组(B)可以互相线性表示，则称向量组(A)与向量组(B)等价,可记作根据定义3.6和定理3.4，可得到向量组等价的下述性质：

(1)

反身性

任一向量组和它自身等价.

(2)

对称性

如果向量组(A)和(B)等价，则(B)与(A)等价.(3)

传递性

如果向量组(A)和(B)等价，向量组(B)与(C)等价,则向量组(A)和(C)等价.56例6

设向量组

解故(B)可由(A)线性表示.试判断三个向量组是否相互等价.所以向量组(A)可由向量组(B)线性表示.故(A)与(B)等价.故(C)可由(A)线性表示.所以向量组(A)与(C)不等价.由此可知向量组(B)与(C)不等价.57例7

已知向量组

解试问：当a取何值时，向量组(A)与(B)等价？当a取何值时，向量组(A)与(B)不等价？若逐个验证这六个线性方程组是否有解，过程是否繁琐.同时判断a取何值时，向量组(A)与(B)等价或不等价.5859因此，此时向量组(A)与(B)不等价.60§3.3

向量组的线性相关性一、线性相关与线性无关齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：它称为齐次线性方程组的向量形式,其中都是m维列向量.因为零向量是任意向量组的线性组合，所以齐次线性方程组一定有零解.问题是齐次线性方程组是否有非零解，即是否存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn,使得关系式6162定义3.7例如63定理3.5证.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩小于未知数的个数n，由此定理得证.

等价于：64定理3.5’这一结论对于行向量组也成立.

等价于：65(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组有(无)非零解,66推论1证.根据定理3.5,67推论2证.设当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关.对于齐次线性方程组由于m<n,其方程个数小于未知数个数，故有非零解.由此得证.68例1.

证明Rn中的基本单位向量组证.

因为单个向量线性相关当且仅当它为零向量：例2.证.

因为69解.例3

判断下列向量组是否线性相关.70解.例4

判断下列向量组是否线性相关.71例5证.方法一72证.方法二73定理3.6如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.证.74例6等价命题：如果一个向量组线性无关,则其任一部分组线性无关.部分相关整体相关整体无关部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.任何一个含有零向量的向量组线性相关.因为零向量线性相关，故由定理3.6可知，该向量组也线性相关.75二、关于线性组合与线性相关的定理定理3.7证(必要性)使则76定理3.8证77再证表法唯一.设有两种表示法，即表法唯一.定理3.9设有两个向量组证由定理条件可知向量组(B)可由向量组(A)线性表示，如果s<t,则向量组(B)线性相关.78③①②因为s<t，故齐次线性方程组79有非零解.因此可取k1,k2,…,kt为⑤的一组非零解.这个非零解可使方程组④成立，因而可使方程组③成立，即有一组不全为零的数k1,k2,…,kt，使得式②成立.所以，向量组(B)线性相关.⑤④80等价说法由上述推论知，推论设向量组(A)与向量组(B)等价，如果向量组(A)与(B)都是线性无关的，则s=t.证且彼此等价，若向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且向量组(B)线性无关，则

t≤s.81§3.4向量组的秩一、向量组的极大无关组该向量组就至少包含一个向量的部分组线性无关；再考察包含两个向量的部分组，如果有两个向量的部分组线性无关，则往下继续考察三个向量的部分组；依此类推，最后总能达到向量组中有r(r≤s)个向量的部分组线性无关，而没有多于r个向量的部分组线性无关，则含有r个线性无关的向量的部分组是其中最大的线性无关的部分组,称之为极大线性无关组.82极大无关组.定义3.8一个线性无关的向量组,它的极大无关组就是它本身.任何一个向量组,只要它含有非零向量,就一定有极大无关组.仅含零向量的向量组不存在极大无关组.☎☎83例如，设有向量组向量组的极大无关组可能不止一个，但是极大无关组所含向量的个数是相同的.☎84证.(必要性)定理3.1085(充分性)任何一个向量组与其极大无关组可互相线性表示，即向量组与其极大无关组等价.☎86二、向量组的秩向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为

定义3.9规定：全由零向量组成的向量组的秩为零.

例如，向量组87自身,因此反之,若我们把矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行秩;把矩阵A的列向量组的秩称为矩阵的列秩.解决方法：将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算.基本问题：

给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.88定理3.11证.（必要性）89是A的r+1个线性无关的列向量组成的矩阵.90（充分性）9192矩阵A的行秩与列秩相等.因为矩阵的行秩、列秩均等于矩阵的秩r(A).推论我们还可以证明：如果对矩阵A仅施以初等行变换化为矩阵93类似地，如果对矩阵A仅施以初等列变换化为矩阵

，则矩阵的行向量组与A的行向量组间有相同的线性关系.总结：矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量组的线性关系.94为适应新能源汽车的快速发展,切实解决群众“充电难”问题,某县发改委统筹推进4个乡镇(A、B、C、D)的充电桩资源配置工作.每个乡镇的需求可分为3个核心维度:直流快充桩台数、交流慢充桩台数和充电桩配套停车位个数.4个乡镇的具体需求对应4个三维向量:A对应(2,4,2),即乡镇A需要新增2台直流快充桩、4台交流慢充桩、2个配套停车位;B对应(1,1,0),C对应(2,3,1),D对应(3,5,2).将四个需求向量分别设为例1.求该向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.95解.方法一96解.方法二对矩阵A施以初等行变换，化为阶梯形矩阵，并在矩阵右侧标注所作的变换.97注.

由例1可以看出，如果需要求出一个向量组的极大无关组或秩，并将其余向量用该极大无关组线性表示，只需由此向量组构造矩阵A.其中方法一要求各向量作为A的列向量组，并将A化为简化的阶梯形矩阵；而方法二要求各向量作为A的行向量，在对A施以初等行变换时，需要记录计算过程.一般地，我们利用方法一计算这类问题.98解补例设向量组求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.99100例2.证.101定理3.12

等价的向量组必有相同的秩.注意：上述定理的逆命题不成立，即秩相等的两个向量组未必等价.设有两个向量组如果向量组(A)与(B)等价，则证.102例3证.设即AB的每个列向量是A的列向量组的线性组合,由定理3.11及例2可得：103类似地，设即AB的每个行向量是B的行向量组的线性组合由定理3.11及例2可得：104推论若P,Q为可逆矩阵,则有证.或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明.105§3.5线性方程组解的结构在有解的情况下，3.1节中给出结论：其中A为m

n矩阵，为增广矩阵.

当线性方程组有无穷多解时，我们来讨论与这一问题有关的方程组的解的结构，希望用有限个解表示出所有无穷多解.106一、齐次线性方程组解的结构由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当(*)有非零解(即无穷多解)当且仅当107齐次线性方程组解的性质：证.证.108定义3.10如果满足：注.若(*)只有零解，则基础解系不存在.即基础解系为(*)的全体解向量组的一个极大无关组.由上述性质可知，如果一个齐次线性方程组由非零解，则它就有无穷多解，这无穷多个解构成了一个n维向量组.如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组，就能用它的线性组合来表示方程组的全部解.109定理3.13证.110111112113解.例1求下面齐次线性方程组的一个基础解系：

注.

定理3.13的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.对系数矩阵施以初等行变换114自由未知量取为

基础解系：115例2用基础解系表示如下方程组的全部解.

解对系数矩阵施以初等行变换116基础解系：117例3证.将矩阵B按列分块，设

则118二、非齐次线性方程组解的结构119非齐次线性方程组解的性质：证.证.120定理3.14证.由性质(1)可知，(**)的一个解，所以只需证明，(**)的任意一个解121由定理3.14可知，如果(**)有解，则只需要求出它的一个特解η，并求出其导出组的基础解系那么其全部解可以表示为

当(**)有解时，如果其导出组仅有零解，则该非齐次线性方程组只有一个解；如果其导出组由无穷多解，则该非齐次线性方程组也有无穷多解.122解例4用基础解系表示如下线性方程组的全部解：对增广矩阵施以初等行变换123导出组的基础解系：124特解：所以所给方程组的全部解为其中为任意常数.125由此例可以看出,求非齐次线性方程组Ax=b

的全部解(或通解),并要求用其导出组的基础解系表示时,应首先对方程组的增广矩阵施以初等行变换,化为阶梯形矩阵,并判断方程组是否有解.当方程组有无穷多解时,先求出方程组的一个特解η,然后求得对应的导出组的一个基础解系其中r=r(A)<n,则原方程组的全部解为126解补例方程组(1)

为何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？(2)

无穷多解时，求出全部解(用向量表示).

无解;127有无穷多解,全部解为k为任意常数.128§3.6投入产出数学模型

投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家列昂惕夫首先提出的,它是研究一个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性模型,一般称为投入产出模型.投入产出模型可应用于微观经济系统,也可应用于宏观经济系统的综合平衡分析.目前,这种分析方法已在全世界多个国家和地区得到了普遍的推广和应用.自20世纪60年代起,我国就开始把投入产出分析方法应用于各地区及全国的经济平衡分析.129一、投入产出平衡表设一个经济系统可以分为n

个生产部门,各部门分别用1,2,…,n

表示.第i

部门只生产一种产品i,并且没有联合生产,即产品i

仅由第i

部门生产.一方面,每个生产部门将自己的产品分配给各部门作为生产资料或满足社会的非生产性消费需要,并提供积累;另一方面,每个生产部门在其生产过程中也要消耗各部门的产品.这样各部门之间形成了一种复杂的相互交错的关系,这一关系可以用投入产出(平衡)表来表示.130投入产出表可以按实物形式编制,也可按价值形式编制,下面仅讨论价值型投入产出表.因此,后面提到的诸如“产品量”“单位产品”“总产品”“最终产品”等,分别指“产品的价值”“单位产品的价值”“总产值”“最终产品的价值”等.记xi(i=1,2,…,n)表示第i部门的总产品;yi

(i=1,2,…,n)表示第i

部门的最终产品;xij(i,j=1,2,…,n)表示第i

部门分配给第j

部门的产品量,或者说第j

部门消耗的第i部门的产品量;zj

(j=1,2,…,n)表示第j部门新创造的价值;vj(j=1,2,…,n)表示第j部门的劳动报酬;mj(j=1,2,…,n)表示第j

部门创造的纯收入(包括利润、税收等).131132

投入产出表分四个部分,称为四个象限.

左上角为第Ⅰ象限,在这一部分,每个部门都以生产者和消费者的双重身份出现.从每一横行来看,该部门作为生产部门,将自己的产品分配给各部门;从每一纵列来看,该部门又作为消耗部门在生产过程中消耗各部门的产品.行与列的交叉点是部门间流量,这个量也以双重身份出现,它是行部门分配给列部门的产品量,也是列部门消耗的行部门的产品量.这一部分反映了该经济系统生产部门之间的技术性联系,它是投入产出表最基本的部分.133右上角为第Ⅱ象限,反映各部门用于最终产品的部分.每一横行反映了该部门最终产品的分配情况;每一纵列表明用于消费、积累等方面的最终产品分别由各部门提供的数量.

左下角为第Ⅲ象限,反映总产品中新创造的价值部分.每一列指出该部门的新创造的价值,包括劳动报酬和该部门创造的纯收入.

右下角为第Ⅳ象限,这部分反映总收入的再分配,比较复杂,有待进一步研究.134二、平衡方程从表3-1的行来看,第Ⅰ,Ⅱ象限每一行存在一个等式,即每个部门作为生产部门分配给各部门用于生产消耗的产品加上本部门的最终产品,应等于它的总产品,即1.产品分配平衡方程组用求和号表示可以写成这个方程组称为产品分配平衡方程组.135从表3-1的行来看,第Ⅰ,Ⅲ象限的每一列也存在一个等式,即每个部门作为消耗部门,各部门为它的生产消耗转移的产品价值加上本部门新创造的价值,应等于它的总产值,即2.产值构成平衡方程组用求和号表示可以写成这个方程组称为产值构成平衡方程组.136三、直接消耗系数

第j

部门生产单位产品直接消耗的第i

部门的产品量,称为第j

部门对第i

部门的直接消耗系数,以aij

表示,即物质生产部门之间的直接消耗系数基本上是技术性的,因而是相对稳定的,通常也称为技术系数.

各部门间的直接消耗系数构成的n

阶矩阵定义3.11换句话说，aij也就是第j

部门生产单位产品需要第i

部门直接分配给第j

部门的产品量.137直接消耗系数aij(i,j=1,2,…,n)具有下列性质:称为直接消耗系数矩阵.138直接消耗系数aij(i,j=1,2,…,n)具有下列性质:整理后得那么139也就是由性质(1)，上式可写成利用