微积分第六版 第3章 导数与微分

1第三章导数与微分第一节引出导数概念的例题一

物体做变速直线运动的速度设s表示一物体从某个时刻开始到时刻t做直线运动所经过的路程,则s是时刻t的函数s=f(t).23当物体做匀速运动时，它的速度不随时间而改变，则但是,当物体做变速运动时,它的速度随时间而变化,此时，取极限得瞬时速度4例15①解6②7二切线问题切线—割线的极限位置8二切线问题切线—割线的极限位置9二

切线问题切线—割线的极限位置10二

切线问题切线—割线的极限位置11二

切线问题切线—割线的极限位置12二

切线问题切线—割线的极限位置13二

切线问题切线—割线的极限位置14二切线问题切线—割线的极限位置15二切线问题切线—割线的极限位置16二

切线问题切线—割线的极限位置17切线MT的斜率为18解练习1xy因此切线方程为切线斜率为19第二节导数概念一

导数的定义定义3.12021例1因此解2223由导数定义可将求导数的方法概括为以下几个步骤:(2)作出比值:24例2解25例3解26例4解27例5解由此可得28前面我们给出的导数都用如下形式:导数定义的等价形式:29011/π－1/π极限不存在,但例6用定义讨论函数解二

导数的实际意义3031切线方程为法线方程为导数描述的是因变量随自变量的变化快慢程度，不只适用于物理、几何，更广泛用于经济、生物、工程等领域.以总成本函数C(x)为例，其导数C'(x)称为边际成本，表示产量在x附近发生无穷小增加时单位产量的成本变化率，实际中可近似为从x单位增加到x+1单位的额外成本.类似地可定义边际收益、边际利润、边际效用等.关于导数在经济学中的更多应用,将在4.8节中详细讨论.导数的应用32例7解所以切线方程为33练习：解所求切线方程为或或L的斜率34三左、右导数★★四可导与连续的关系注意：该定理的逆定理不成立,即连续未必可导.35定理3.136例8解所以注意：根据定理3.1,我们知可导一定连续.如果我们已经判断出函数在某点处不连续,则立即可以得出不可导的结论;如果函数在某点处连续,则不能得出可导的结论.例6和例8说明连续不一定可导.3738例9解39解40解4142练习解练习解4344第三节导数的基本公式与运算法则一常数的导数即二幂函数的导数以后证明：特别，则由二项式定理可知45三代数和的导数证46所以即注意：公式可推广到有限多个可导函数的代数和，即4748例1

研究人员基于2015—2025年的实际数据,拟合得到我国高铁运营里程函数(单位:万千米)如下:其中,t表示自2015年起经过的年数(即t=0对应2015年).求2025年高铁运营里程的瞬时增长率(单位:万千米/年),并解释该导数值在现实中的工程意义.解49四乘积的导数证5051推论证2、可推广到有限多个函数的乘积，如

一般地，有52例2解53或用定义：解五商的导数证5455所以56得57例3求下面函数的导数：

解58例4求下面函数的导数：

或解解59六对数函数的导数得可知即6061七三角函数的导数即即626364练习解类似可得即65三角函数的导数公式66例5求下面函数的导数：

解67练习解练习解八复合函数的导数68证：69于是可得或写为所以，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.70推广或71例6解7273例7解例8解例9解74例10解例11解75注意:双曲正切函数与Sigmoid函数类似,也是一种激活函数.76练习解练习解77练习：求导数78九反函数的导数即,反函数的导数等于直接函数导数的倒数。或证得79证80十反三角函数的导数（1）解即81类似有8283练习解类似有xy84例12

解例13

解85练习求下面函数的导数：

十一

隐函数的导数问题：若隐函数可导,能否不经显化而直接求导

?答：8687即解：88例14解得解89解得方程两边关于x求导,得

例15解90解例16所求切线方程为方程两边关于x求导,得

解得由题意91练习解注意:若是求在某点的导数,也可先把数值代入导数满足的方程，再解方程，较简便。方程两边关于x求导,得

92十二

指数函数的导数法1：法2：两边取对数,写成隐函数形式即特别地,取对数求导法例17解例18解例19解93十三

取对数求导法方法步骤：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围：9495例20解等式两边取对数得或解对数恒等式上式两边关于x求导,得96例21解等式两边取对数得注意：需把

y换回成原来表达式。上式两边关于x求导,得97说明：所以故省略绝对值。98练习解等式两边取对数得上式两边关于x求导,得99练习：解等式两边取对数得上式两边关于x求导,得100练习解等式两边取对数得方程两边关于x求导,得101思考：解用对数求导法得--局部对数求导法十四

由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得即102103例22解例23解104练习解

所求切线方程为十五导数公式105106十六综合杂例例24解107例25解108109解先变形为再两边关于x求导，例26110解例27111例28解因此，112例29证113例30解

在某玩具厂的发泡材料生产线中,液态原料被注入模具后迅速发生化学反应并膨胀,形成球形泡沫颗粒.实验观测表明,在膨胀初期,泡沫球的半径r以0.5cm/s的速度匀速增加.求当泡沫球的半径r=10cm时,其体积V增加的速度.114115116第四节高阶导数问题：变速直线运动的加速度.因为加速度a是速度v对时间t的变化率，117118或119解例1解例2

120解例3

121一般地有同理可得拓展：122123解练习求下列函数的二阶导数：(1)(2)(3)(4)124练习解125练习解126练习解127练习解128练习解练习解或解129130常用

n阶导数公式：(α不为正整数)131第五节函数的微分实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.一微分的定义(1)：(2)：问题132133定义3.3问题：考察本节开头正方形金属薄片面积，正方形面积S的微分为答：函数微分中自变量改变量的系数“A”就是函数在点x处的导数，即134所以证135问题：可微和可导的关系？答：证：(1)

必要性136(2)充分性137138由上面的讨论可知:函数可微必可导,可导必可微,可导与可微是一致的.因此,我们说自变量的微分就是自变量的改变量.于是,函数的微分可以写成即,函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积.139所以导数也称为“微商”.由于求微分的问题可归结为求导数的问题,因此求导数与求微分的方法叫作微分法.另一方面，例1解函数的微分为例2解140141练习解所以练习解142二微分的几何意义以直代曲

143三

微分法则144145四微分形式的不变性结论：此性质称为一阶微分的形式不变性例3解方法一方法二14