高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第03讲 集合的基本运算

第03讲集合的基本运算目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点1、并集 3知识点2、交集 3知识点3、补集 3知识点4、集合基本运算的一些结论 403题型精讲举一反三 5题型一：交集的定义与基本运算 5题型二：并集的定义与基本运算 6题型三：补集的定义与基本运算 6题型四：集合交并补混合运算 7题型五：根据集合运算求参数取值 9题型六：韦恩图在集合问题中的运用 11题型七：容斥原理的实际解题应用 13题型八：集合新定义类问题 1404过关测试 17

知识点1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：知识点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）．知识点2、交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：知识点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合．知识点3、补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：知识点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．知识点4、集合基本运算的一些结论，若A∩B=A，则，反之也成立若A∪B=B，则，反之也成立若x（A∩B），则xA且xB若x（A∪B），则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．

题型一：交集的定义与基本运算【例1】（25-26高一下·湖南株洲·阶段检测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则.【变式1-1】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，由，得，所以，所以.【变式1-2】（2026·云南·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，则.【变式1-3】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知集合，集合，即.因此.题型二：并集的定义与基本运算【例2】已知集合，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，在数轴上表示出集合，如图，由图知.【变式2-1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知集合，，．【变式2-2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，集合（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，．【变式2-3】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.题型三：补集的定义与基本运算【例3】（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，则，所以.【变式3-1】（23-24高一上·河北唐山·期中）设全集，集合，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】全集，集合，则.【变式3-2】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知全集，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】已知全集，则.【变式3-3】（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（

）A．3 B．7 C．15 D．31【答案】B【解析】依题意，，故，则的真子集个数为．题型四：集合交并补混合运算【例4】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合，，，求：(1);(2);(3)【解析】（1）由，，可得.（2）因为，，所以.（3）因为，或，或.【变式4-1】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合，(1)求；(2)求.【解析】（1）易知，又，所以；（2）易知或，；因此或.【变式4-2】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，，(1)求，；(2)求．【解析】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图．则，.（2）依题意：或，或，所以．【变式4-3】（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，，(1)求，；(2)求，.【解析】（1）集合，，利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图：则，.（2）依题意可得，，所以，.题型五：根据集合运算求参数取值【例5】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为，所以，又，所以或，所以，．（2）由（1）知或，又中只有一个整数，由图知，，且，解得，所以实数的取值范围是．【变式5-1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或．(1)当时，求；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，因为或，所以，故；（2）由（1）知，若，则，当时，则，解得，满足题意；当时，由题意可得，解得．综上所述，，即的取值范围为．【变式5-2】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，.(1)若，求；(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答.问题：若选__________，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，则，故.（2）若选①，，可得，则.当时，，由，可得，故；当时，，由，可得，故.综上，实数的取值范围为；若选②，因，可得，则.当时，，由，可得，故；当时，，由，可得，故.综上，实数的取值范围为；若选③，因为，可得，则.当时，，由，可得，故；当时，，由，可得，故.综上，实数的取值范围为.【变式5-3】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围；(3)若，求实数m的取值范围．【解析】（1）当时，，又集合，则；（2）由得，所以，即m的取值范围是；（3）当时，符合题意，此时有，即.当时，有或，解得，综上，实数的取值范围为．题型六：韦恩图在集合问题中的运用【例6】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则=_____________【答案】【解析】由题意，知全集，又，画出Venn图如下图所示，即得.故答案为：.【变式6-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．

【答案】【解析】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为，，，或，，或，故答案为：．【变式6-2】（25-26高一上·新疆·期中）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为__________.【答案】【解析】因为全集，集合，，则，由图可知，阴影部分区域所表示的集合为.故答案为：.【变式6-3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知全集，集合，，或，那么阴影部分表示的集合为_____．

【答案】【解析】由图知，阴影部分为，而，又，所以.故答案为：题型七：容斥原理的实际解题应用【例7】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人．【答案】8【解析】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人，则由图可得，解得，故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人.故答案为：.【变式7-1】（25-26高一上·河南南阳·期中）某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有__________名同学.【答案】55【解析】由图可得这个班共有学生人.故答案为：55.【变式7-2】（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人．【答案】5【解析】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示，则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人．故答案为：5.【变式7-3】某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人．【答案】5【解析】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合，则，，，，，．设三项都参加的人数为，则，因为，所以由得，解得，即三项都参加的有5人．故答案为：5．题型八：集合新定义类问题【例8】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义

(1)结合Venn图，请用集合的描述法表示；(2)若，，求；(3)若，，且，求实数的取值集合．【解析】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，所以.（2）由题意可知：，因为，，则，，所以或.（3）因为，，可知，则，且，又因为，可得，所以实数的取值集合为.【变式8-1】已知R的子集U为一个数集，集合.(1)设，求：集合A的非空真子集个数；(2)设证明：若则.【解析】（1）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以，它有8个元素，则有个非空真子集.（2）因为，所以设，，所以，而，，则，得证.【变式8-2】（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合，集合，且中恰有2个元素，定义，写出的全部子集.【解析】由集合且中恰有2个元素，得，，又，则，，又，则，所以的全部子集为：，.【变式8-3】（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合.(1)若，直接写出集合和；(2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）；(3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由.【解析】（1）由题意，集合，且，当时，可得；当时，可得.（2）由题意，集合，对于，其中，当时，此时中的元素个数最少，若时，中的元素个数最少；（3）若时，可得，要使得且，则，即.若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立.综上可得：，.

1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以.2．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）设全集，集合，则的子集个数为（

）A．4 B．7 C．8 D．16【答案】C【解析】因为，所以，所以的子集个数为.3．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，集合，集合，，所以，，，选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）；选项B：因为，所以一定成立；选项C：当时，集合，集合，，C错误；选项D：当，时，集合，集合，，D错误.4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，，∴，则．故选：C.5．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（

）人.A．10 B．12 C．14 D．19【答案】D【解析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，由题意，所以，则只参加一项比赛的有人.故选：D6．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】联立可得，若方程组无解，则，所以．故选：A．7．（2024·黑龙江吉林·二模）已知全集，，则集合（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知，集合中没有元素，，故AC错误；若，则，又，则，不符合题意，排除选项B，若，则，又，则，符合，故D正确．故选：D8．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：1)属于，属于；2）中任意多个元素的并集属于；3）中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合：①；②；③；④．其中是集合上的拓扑的集合的序号是（

）A．② B．①③ C．②④ D．②③【答案】D【解析】②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑；④中，故④不是集合上的一个拓扑；因此集合上的拓扑的集合的序号是②③.故选：D．9．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，则，故B错误；对于C，若，则，则，故C正确；对于D，若，又，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10．（多选题）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（

）A．3 B． C．2 D．1【答案】AC【解析】由，得，所以或，若，则，此时，，符合题意；若，解得或，当时，，，符合题意；当时，，集合不满足互异性，不合题意；综上，的值可以为或2.故选：AC.11．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________．【答案】【解析】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性，所以或，解得，此时，符合题意，故12．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）集合，若且，则的取值为_________．【答案】【解析】由集合，因为，则或，解得或或，当时，集合，可得，不满