高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第14讲 函数的应用（一） - 副本

第14讲函数的应用（一）目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一：一次函数模型的应用 3知识点二：二次函数模型的应用 3知识点三：解决实际应用问题 303题型精讲举一反三 5题型1：一次函数模型应用 5题型2：二次函数模型应用 9题型3：分段函数模型应用 12题型4：幂函数模型应用 16题型5：耐克函数模型应用 2104过关测试 26

知识点一：一次函数模型的应用1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R．知识点二：二次函数模型的应用1、二次函数的一般形式是其定义域为R．2、若，则二次函数在时有最小值；若，则二次函数在时有最大值．3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答．知识点三：解决实际应用问题1、解决实际应用问题的过程2、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．3、函数模型的综合应用函数的应用题是利用函数模型解决实际问题．在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的．第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素．第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述．第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果．第五阶段，解释数学模型的结果．根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等．

题型1：一次函数模型应用例1．某校组织全体七年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．经过前期调研，学校决定分两批购买树苗共800棵．第一批用9000元购买了相同数量的甲、乙两种树苗，且每棵甲种树苗的价格比每棵乙种树苗的价格少30元，购买甲种树苗的费用是购买乙种树苗费用的一半．(1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元．(2)学校在购买第二批树苗时，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，乙种树苗的售价打九折．若要求第二批购买的甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使第二批购买树苗的费用最少？【解析】（1）设一棵甲种树苗x元，则一棵乙种树苗元，（元），（元），根据题意，得，解得，经检验：是分式方程的解，，则购买一棵甲种树苗30元，一棵乙种树苗60元；（2）设第二批买乙种树苗棵，总费用为w元，（棵），（棵），（棵），即第二批共600棵树苗，则甲种树苗棵，根据题意，得，解得，总费用，，是正整数，w随增大而增大，当时，w最小，，则当学校购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵时，费用最少．例2．为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进篮球、排球及足球若干，已知篮球80元/个．调查发现购买1个篮球，2个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元．(1)足球和排球的单价各是多少？(2)该校根据需求打算购买篮球和排球共50个，且篮球数量不少于排球数量的3倍．请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？【解析】（1）设足球单价为元，排球单价为元，根据题意：，解得．答：足球单价80元，排球单价50元．（2）设购买排球个，则购买篮球个，总费用为元．由篮球数量不少于排球数量的3倍，得，解得，为非负整数，最大值为12．总费用，，随的增大而减小，当取最大值12时，最小，此时，（元）．答：购买篮球38个，排球12个时费用最少，最少费用为3640元．例3．为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购，两种图书．已知购买2本种图书和3本种图书共需170元，购买4本种图书比购买5本种图书多10元．(1)求，两种图书的单价；(2)该校计划购买，两种图书共50本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少，并计算最少费用．【解析】（1）设，两种图书的单价分别为，元，由题意可得，，解得，答：种图书单价为元，种图书单价为元；（2）设购买种图书为本，所需费用为元，则种图书为本，根据种图书的数量不超过种图书数量的一半可得，，解得，由题意可得，，∵，∴随的增大而增大，又∵，且为整数，∴当时，最小，为元，此时购买种图书为本，答：购买种图书本，种图书本时所需费用最少，最少费用为元．变式1．“保护环境，人人有责”，为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买，两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：单价（万元/台）每台处理污水量（吨/月）型12240型10200(1)设购买型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨，试写出与，与的函数解析式；(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？【解析】（1）根据题意得，（x为不大于10的自然数），（x为不大于10的自然数）；（2）根据题意得，解得，∴有三种方案：①型1台，型9台；②型2台，型8台；③型3台，型7台；∵中∴W随x的增大而增大∴时，取得最小值，为（万元），∴当型1台，型9台时费用最少，最少需要102万元．变式2．作为中国最大的咖啡产区，云南咖啡凭借“浓而不苦、香而不烈、略带果味”的独特风味，远销全球个国家和地区，年出口量同比增长某游客了解得知：购买盒挂耳咖啡和盒速溶咖啡需元，购买盒挂耳咖啡和盒速溶咖啡需元．(1)求每盒挂耳咖啡和速溶咖啡的价格分别是多少？(2)该游客准备购买两种咖啡共盒，其中购买挂耳咖啡的数量不少于速溶咖啡的，且挂耳咖啡的数量不超过盒，他应如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少？【解析】（1）设挂耳咖啡每盒是元，速溶咖啡每盒是元，根据题意得：，解得：．答：每盒挂耳咖啡是元，每盒速溶咖啡是元．（2）设购买挂耳咖啡盒，则速溶咖啡为盒，根据题意得：，解得：，总费用则为，，当时，值最小，最小值为：，答：购买盒挂耳咖啡和盒速溶咖啡，最低费用为元．变式3．校园文创商店计划购进中原非遗剪纸与泥塑摆件两种文创产品．已知购进3件剪纸、2件泥塑共需160元；购进2件剪纸、3件泥塑共需140元．(1)求每件剪纸、每件泥塑摆件的进价分别为多少元；(2)若该商店准备一次性购进两种文创产品共100件，剪纸数量不少于泥塑数量的2倍，且总进货资金不超过3400元，请求出最优进货方案．【解析】（1）设每件剪纸的进价为元，每件泥塑摆件的进价为元，根据题意得：，解得：，答：每件剪纸的进价为40元，每件泥塑摆件的进价为20元；（2）设购进泥塑a件，剪纸件，根据题意得：解得：，∵是正整数，故可取30，31，32，33，总进货资金：，∵，∴随的增大而减小，∴当时，总资金最少．此时，剪纸数量为（件）答：最优方案为购进泥塑33件，剪纸67件．题型2：二次函数模型应用例4．（2026·高一·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？【解析】（1）设，由图可知，函数图象过点，所以，解得，所以，由解得.所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.（2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，则，则利润，其开口向下，对称轴为，所以当时，利润取得最大值为，所以当单价为元时，取得最大利润为元.（3）由（2）得利润，又该商品每天获得的利润不低于1280元，则，整理得，即，解得，销售量是减函数，所以当时，销售量最小，且最小值为件.例5．（2026·高一·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元.(1)要使生产该产品获得的利润为元，求.(2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值.【解析】（1）由得，解得或.因为，所以.（2）解法一：生产该产品所需时间为h，所以生产该产品获得的利润为元，.令，则.所以当时，取得最大值，利润最大值为，故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元.解法二：生产该产品获得的利润为元，.令，则.令，则当时，取得最大值，此时.因为，所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元.例6．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）我市为打造世界级旅游胜地，方便游客游玩，拟建设旅游轻轨．经调研测算，每辆列车的载客数量（单位：人）与发车时间间隔（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过分钟时，每辆列车均为满载状态，载客量为人；当时，每辆列车的载客数量与成正比．假设每辆列车的日均总车票收入（单位：万元）．(1)求关于的函数表达式；(2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均总车票收入最大？并求出该最大值．【解析】（1）当时，，；当时，，且当时，，解得，，.综上所述，.（2）当时，，当且仅当时，等号成立；当时，在上单调递减，此时，且，所以当发车间隔为分钟时，每辆列车的日均总车票收入最大，且最大值为万元.变式4．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米.(1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积.【解析】（1）设矩形花园的长为米,根据题意可得，所以，，又，所以，又阴影部分是宽度为1米的小路，可得，所以，；（2）由（1）知，，，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.变式5．（2026·高一·上海静安·阶段检测）某创业团队拟生产两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图1），产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）(1)分别将两种产品的利润表示为投资额的函数；(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入两种产品的生产.设投入产品万元，求：生产两种产品能获得的利润的最大值.【解析】（1）由已知设，又函数过点，则，解得，即函数过点，则，解得，即；（2）设投入产品万元，投入产品万元，，则利润，所以当，即时利润取最大值为，即最大利润为4.0625万元.题型3：分段函数模型应用例7．（2026·高一·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完．(1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式；(2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）由题意，总收入为（万元）．当时，；当时，．所以2026年的利润（2）当时，，当时，利润最大，最大为万元．当时，，当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元．因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元．例8．（2026·高一·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完.(1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式；(2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本；(3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润，故当时，；当时，；当时，.综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为.（2）由题意可知：要收回成本，须满足，当时，则，解得，且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本.（3）当时，则在内单调递增，所以在内的最大值为；当时，则，因为的图象开口向下，对称轴为，可知在内单调递增，所以在内的最大值为；当时，则，当且仅当，即时，等号成立，所以在内的最大值为；且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元.例9．（2026·高一·江西上饶·期末）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障.(1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；(2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？【解析】（1）当时，，当时，，所以.（2）由（1）得当时，，所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元，当时，，当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元，故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元，由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得，所以该企业最早5年后还清贷款.变式6．（2026·高一·江西新余·期末）新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完.(1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）：(2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?【解析】（1）销售额为万元，当时，，当时，，所以；（2）当时，，当时，万元，当时，单调递减，所以时，万元.综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元.变式7．（2026·高一·宁夏银川·期末）中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）.(1)求函数的解析式；(2)当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由.【解析】（1）由题意得，又，所以.（2）当时，，在上单调递减，在上单调递增，图象对称轴为，则当时，取得最大值；当时，，当且仅当，即时，取得最大值.因为，所以的最大值为，故当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元．题型4：幂函数模型应用例10．（2026·高一·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.

(1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式；(2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金）【解析】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：，从而，故；芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式，由图像可知，的图像过点，即，解得，故所求函数关系式为.（2）由题意可知，，，由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值.即投入千万时，利润最大，最大值为千万.例11．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③.(1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由；(2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳）【解析】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除；因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意；又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意；因此在时，，当时，；结合图象可知经过点、；即，解得，即；函数经过点、，即，解得，即；因此符合题意的两函数解析式为①和②.（2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳，当时，令，解得；当时，令，解得；综上可得，当时，满足题意；因此该水域生态环境最佳的时长为.例12．（2026·高一·上海浦东新·期末）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶）(1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系；(2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速.【解析】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升8元，而汽车每小时油耗升，则行车总费用为，.（2）由（1）知，令，设，则因为，故，所以所以当时，函数严格增，则当时，行车油费最低，最低为元.（3）在24小时内送达行驶速度为，由题意知行车总费用，当时，函数严格增，的最小值为，当时，函数严格增，，所以综上所述，最优车速为50千米/时.变式8．（2026·高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.149161(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？【解析】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得解得此时，当时，，当时，，与表格中的和相差较大，所以不适合作为与的函数模型.②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得解得此时，当时，，当时，，刚好与表格中的和相符合，所以更适合作为与的函数模型.（2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，令，则经计算，当时，取最大值（万元），即，时（每亩约38棵），利润最大.变式9．（2026·高一·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？【解析】设今年碳排放量为.（1）由题意得，所以，得.（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，将代入得，即，得.故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.题型5：耐克函数模型应用例13．（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）某学校计划建造一座高为10米的长方体形的体艺馆，其中地面面积为，地面的一边长为（单位：米），工程施工单位给出报价：体艺馆的墙面造价为0.03万元，屋顶和地面造价共计40万元，总造价记为万元.(1)求总造价关于的表达式，并求出的最小值；(2)由于学校资金有限，要求总造价不得超过108万元，求边长的限制范围.【解析】（1）由题意，地面另一边的长度为米，则墙面面积为平方米，所以，而，当且仅当米时取等号，则的最小值为万元；（2）由题意，可得，所以，即.例14．（2026·高二·辽宁沈阳·期末）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，则，，当且仅当，即时等号成立，∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元；（2）由题意可得，对任意的恒成立，则，即在恒成立，又，当且仅当即时等号成立，，又，故.例15．（2026·高一·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．(1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求．(2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值．【解析】（1）由，得，解得或，因为，所以；（2）生产该产品获得的利润为，．令，则，所以当时，利润取得最大值，最大值为730000，故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元．变式10．（2026·高一·北京·阶段检测）某企业准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过3万元）．已知加工此批农产品还要投入成本万元（不包含推广促销费用），若加工后的成品的销售价格定为元/件．(1)求此批产品利润的表达式（用表示）；（利润=销售额成本推广促销费）(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？【解析】（1）设此批产品利润为万元，所以，；（2）因为，当且仅当，即时取等号，故当推广促销费投入万元时，此批产品的利润最大，最大利润为万元.变式11．（2026·高一·湖北·阶段检测）某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.(1)写出与之间的函数关系式；(2)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.（参考数据：，，，）【解析】（1）由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为，且该机床每年的生产总收入为万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元，可得与之间的函数关系式.（2）由（1）知，因为，当或时，盈利额达到最大值为万元，因为，所以机器使用年后机床剩余价值比使用年后的剩余价值大，使用年后机床剩余价值为：（万元），所以按第一方案处理，总获利为（万元）；又由，令，，则，当时，，，则，即，因此可得在上单调递增；当时，，，则，即，因此可得在上单调递减.又，当时，年平均盈利为万元，当时，年平均盈利为万元，又，所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：（万元），所以按第二方案处理，总获利为（万元）.由于，则选第一方案较为合理.变式12．（2026·高一·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元.(1)写出一年的总运费y与x的函数关系式；(2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨?(3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内?【解析】（1）依题意可知一年的购买次数共次，且所以总运费;因此一年的总运费y与x的函数关系式为；（2）由（1）可知一年的总运费为万元，总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即时，等号成立；即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小为万元.（3）根据题意可知需满足，整理可得，即，解得，所以每次购买量的范围是.

1．（2026·高一·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．享受折扣的购物金额折扣优惠超过500元不超过1000元的部分10％超过1000元的部分20％王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（

）．A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元【答案】A【解析】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元，当时，；当时，，优惠金额；当时，，优惠金额为，而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此，解得，所以王先生购物实际付款（元）.故选：A2．（2026·高一·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（）A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝【答案】B【解析】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度经小时到达地，∴当时，；∵在地停留小时，∴当时，；综上知，函数解析式是.故选：B3．（2026·高一·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（

）A．50元 B．52元 C．53元 D．55元【答案】D【解析】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件，利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大.故选：D.4．（2026·高一·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】D【解析】由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元所以，，所以，所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元.故选：D.5．（2026·高一·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（

）万元A．5 B．4.8 C．4.6 D．4【答案】B【解析】设，由图知当时，，所以，所以，设，由图知当时，，所以，，设产品投入万元，则产品投入万元，则企业利润，令，则，则，所以当时，取得最大值为，此时，所以，产品投入万元，产品投入万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为万元.故选：B.6．（2026·高一·湖北孝感·期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（

）元.A．990 B．1190 C．1490 D．2190【答案】B【解析】收入是18000元，根据缴纳个税规定分四段，第一段5000元不缴税；第二段3000元缴税为；第三段9000元缴税为；第四段1000元缴税为；所以该职工10月份应缴纳个税为：元故选：B.7．（2026·高一·湖北·期中）2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为.则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当传令兵回到排尾时所用时间为，由题意，则，解得，因为全队正好前进了，即，所以传令兵回到排尾时所走的路程为.故选：A.8．（2026·高一·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（

）A．440元 B．450元 C．460元 D．470元【答案】B【解析】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个.收入.因为二次函数开口向下，当时，取得最大值.此时最大收入为元.故选：B9．（多选题）（2026·高一·福建宁德·期中）如图，在中，，，、是边、上的动点，点、均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则下列结论正确的是（

）A．的面积为B．C．在定义域内先增后减D．当取最大值时，【答案】AC【解析】对于A选项，取的中点，连接，则，且，所以的面积为，A对；对于BCD选项，过作，垂足为，设与交于点，由等面积法可得，则.由，得，则，所以，则，则在上单调递增，在上单调递减，B错C对，当取最大值时，，，此时，D错.故选：AC.10．（多选题）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（

）

A．甲车出发2h时，两车相遇B．乙车出发1.5h时，两车相距170kmC．乙车出发2h时，两车相遇D．甲车到达C地时，两车相距40km【答案】BCD【解析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；甲车的速度为240÷4＝60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；∵，∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；故选：BCD11．（多选题）（2026·高一·福建福州·期末）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（

）A．取得最大值时每月产量为台B．边际利润函数的表达式为C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【解析】对于A选项，，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，因为函数为减函数，则，C对；对于D选项，因为函数为减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.故选：BCD.12．（2026·高一·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为，则A的报价为（元），B给出的总价为元.由.因为，所以函数在上单调递增，且当时，，故，由，所以实数的取值范围是.故答案为：13．（2026·高一·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）【答案】【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值（元）故答案为：14．某社区为提升居民生活便利性，在中心广场旁开设了一家便民超市，超市内售卖两种不同规格的饮用水，分别是适合日常随身携带的“小瓶装”饮用水和适合家庭囤积的“大瓶装”饮用水.其中，小瓶装饮用水每瓶的标准容量为300毫升，为鼓励居民按需购买，超市对小瓶装饮用水的售价实行分段定价策略：当居民一次性购买小瓶装饮用水的数量（为正整数，且）不超过10瓶时，按照每瓶2元的单价计费；当购买数量超过10瓶时，前10瓶仍按每瓶2元计费，超出10瓶的部分则按照每瓶1.5元的优惠单价计费.而大瓶装饮用水每瓶的标准容量为500毫升，由于进货成本相对稳定，其售价实行统一固定定价，无论居民一次性购买多少瓶（购买数量为正整数，且），每瓶售价均为3元，不额外设置数量折扣.在一个周末的上午，该社区居民王先生打算为家里储备一批饮用水，他来到这家便民超市后，首先在小瓶装饮用水货架前确定了购买数量，结账时支付了26元；随后他又转到大瓶装饮用水货架前，根据家庭一周的饮水量估算了购买数量，结账时支付了18元.假设王先生在购买过程中，两种规格饮用水的每瓶实际容量与标准容量完全一致，且将购买的所有小瓶装饮用水和大瓶装饮用水全部倒入一个事先准备好的、足够大的空水桶中时，没有发生任何洒漏、损耗等情况.那么，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为________毫升.【答案】7200【解析】小瓶装饮用水的数量，当时，最多花费元，而王先生支付了26元，，设购买小瓶装水瓶，则，解得，故小瓶装水总容量为毫升，大瓶装饮用水的数量，已知大瓶每瓶元，支付元，则瓶，故大瓶装水总容量为毫升，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为毫升.故答案为：.15．（2026·高一·安徽·期末）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？【解析】（1）根据题意得，当时，，当时，，故（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，此时.当时，，当且仅当时，等号成立.因为，故当时，取得最大值24，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片.16．（2026·高一·天津·期末）随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本300万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台.(1)求企业获得年利润M（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大?并求最大年利润.【解析】（1）每百台高级设备售价为90万元，年产量（百台）时销售收入为万元，总成本为，所以，.所以年利润，.（2）由（1）当时，，故当（百台）时，（万元），当时，，当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元），因为1300万元>1203万元，所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1300万元.17．（2026·高一·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）.(1)求的表达式；(2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？【解析】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元），则乙产品的利润当时，，所以，当时，，所以，综上所述，.（2）当时，令，则，，则，当时，函数有最大值，即当时，函数有最大值.当时，，当且仅当，即因为.所以当甲投入万元，乙投入万元时，才能使总利润最大，最大利润是万元.18．（2026