高一预习人教A版（2019）高中数学必修一第06讲 集合与逻辑用语中的参数问题

2/2第06讲集合与逻辑用语中的参数问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一：解决集合与逻辑用语有关的参数问题的对策 303题型精讲举一反三 4题型一：元素与集合关系求参数 4题型二：集合元素个数求参数 5题型三：集合包含关系求参数 6题型四：两集合相等求参数 10题型五：集合交并补运算求参数 11题型六：由全称量词命题的真假求参数 13题型七：由存在量词命题的真假求参数 15题型八：根据充分必要条件求参数 1704过关测试 20

知识点一：解决集合与逻辑用语有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．

题型一：元素与集合关系求参数例1．（2026·高二·重庆·期中）已知集合，且，则（

）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】因为集合，且，当时，即，解得或，若时，，，集合的元素出现重复，故舍去；若时，，符合题意.当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去.综上所述，.例2．（2026·高一·浙江温州·期末）已知，则（

）A．0或1 B．或1 C．或0 D．1【答案】B【解析】因为，显然，即，若，则，符合题意；若，解得，则，符合题意；综上所述：或1.故选：B.例3．（2026·高一·全国·期末）已知，则a的值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】因为，所以，解得，，故选：A．变式1．已知集合，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，又且，则.故选：D题型二：集合元素个数求参数例4．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（

）A．0或4 B．4 C．0或 D．0【答案】C【解析】集合，表示关于的方程的解集，当时，解得，则，符合题意；当时，，解得，此时，符合题意,综上可得或.例5．（2026·高一·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】B【解析】由条件知，解得.故选：B例6．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由，且，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数．对于A选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素；故A错误，对于B选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素；故B错误，对于C选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素；故C错误，对于D选项，时，满足的的值为，则集合中有个元素，故D正确.故选：D变式2．（2026·高一·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若集合中恰有5个元素，则，所以.故选：C.变式3．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】B【解析】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意；当，即时，由集合有且只有一个元素，可得判别式，解得，综上可知或，故实数的所有可能值的和为4.故选：B．题型三：集合包含关系求参数例7．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知集合，非空集合.若，求实数m的值.【解析】因为，所以．由题知，当时，，即，解得或．若，则，得到，满足题意；若，则，不符合题意．当时，，即，解得或．若，则，不合题意．当时，由韦达定理得，同理可得符合题意.综上所述，实数的值为3．例8．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）设集合，.(1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围.【解析】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根，所以，解得，所以实数a的取值范围为；（2）由，可得，解得或，因为，所以或或或；当时，，解得；当时，，无解，故舍去；当时，，解得；当时，，无解，故舍去；综上所述：实数a的取值范围为.例9．（2026·高一·湖北·阶段检测）已知关于的方程的两根均在集合内．(1)求实数的取值集合；(2)设，满足时，求实数的取值范围．【解析】（1）由，或.（2）集合，由题，：当时，，解得：；满足题意，当时，或，解得：.综上所述：.变式4．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）定义运算：对任意，有

.

设集合，且，且集合B是集合U的子集.(1)求集合U;(2)求实数m的取值范围.【解析】（1）因为对任意，有.且，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；所以集合.（2）由（1）知集合.对于方程，.当即时，，满足题意；当即时，.集合B不是集合U中的子集，不合题意；当即时，方程有两个不相等的实根，记为，且则.由题知.当或或时，均不符合.所以当时，无m的值符合题意.综上所述：实数的取值范围是：.变式5．已知或.（1）若或，，求的取值范围.（2）若，，求的取值范围.【解析】（1）即的范围小于的范围.当，即时，，满足；当，即时，要使，由图1得，①②等号不同时成立，解得.综上所述，的取值范围为或.（2）BA即的范围小于的范围.要使BA，优先考虑是否为空集.当，即时，，满足BA；当，即时，要使BA，由图2得或，解得.又因为，所以.综上所述，的取值范围为.题型四：两集合相等求参数例10．设a，，若集合，则______．【答案】0【解析】因为右侧集合中有，分母不能为0，故，两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即，因此，此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，，此时，符合条件.所以.例11．已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________.【答案】1【解析】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）.由A＝B，得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性；②解得，此时A＝B＝，符合题意.综上，，所以.例12．（2026·高一·安徽·期中）若，则_____.【答案】2【解析】由题意，则，解得，则，解得（不满足互异性，舍去），所以，故答案为：2变式6．（2026·高三·北京·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为_____.【答案】或【解析】由集合，因为，则或，解得或，当时，集合，满足；当时，集合，满足，综上可得，实数的值为或.故答案为：或.变式7．（2026·高一·福建泉州·期中）设集合，，若，则_____．【答案】【解析】因为集合，，且，故，解得.故答案为：.题型五：集合交并补运算求参数例13．（2026·高一·湖南张家界·期末）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1），，且，，故实数的取值范围为（2）由，得，，故实数的取值范围为.例14．（2026·高一·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，.(1)当时，求①；②；(2)若满足，求实数m的取值范围.【解析】（1）①当时，，而，所以.②或，所以或.（2）由，得，当时，，解得；当时，，解得，所以实数m的取值范围是.例15．（2026·高一·河北廊坊·阶段检测）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数m的取值范围.【解析】（1）当时，则，故（2）由可得,当时，则，解得，当时，则，解得，综上可得变式8．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）设，或，若(1)，求的取值范围；(2)，求的取值范围；(3)，求的取值范围.【解析】（1）因为，或，且，所以，解得，因此实数的取值范围是.（2）因为，则，所以或，解得或，因此实数的取值范围是或.（3）由题意可得，因为，则，所以，解得，因此实数的取值范围是.题型六：由全称量词命题的真假求参数例16．（2026·高三·山东聊城·阶段检测）已知集合，集合，非空集合．(1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合；(2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合．【解析】（1）非空集合，由“”是“”的充分条件，得，而，则或，解得或，所以实数b的取值构成的集合为.（2）由“，都有”为真命题，得，而，，则或，当时，，解得；当时，，解得，所以实数a的取值构成的集合是.例17．（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知命题，，命题，．(1)当p为假命题时，求实数a的取值范围；(2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．【解析】（1）由为假命题，得为真命题，即，，即在时有解，所以，，易知当时，，所以，即实数a的取值范围是．（2）由（1）可知，当为真命题时，；当为假命题时，．当q为真命题时，方程在上有解，故，解得；当为假命题时，．所以当为真命题，为假命题时，；当为假命题，为真命题时，．所以当和中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是或．例18．已知集合，且．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围．(2)若命题是真命题，求实数的取值范围．【解析】（1）因为命题“”是真命题,则,所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）由题意知，得.因为命题是真命题，所以.若，则或，且，即.故若，则，故实数的取值范围为.变式9．已知命题，都有，命题：，使得成立，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．【解析】当时，的最小值为2，因为为真命题，所以；当时，的最大值为，若为真命题时，，因为为假命题，所以；综上，的取值范围为．变式10．已知集合，．(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．【解析】（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是．（2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是．题型七：由存在量词命题的真假求参数例19．（2026·高一·新疆喀什·阶段检测）已知集合，或.(1)求，；(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.【解析】（1）由或，得，.（2）由为假命题，得为真命题，则，而，，则当时，，即，；当时，由，得或，解得，所以m的取值范围为或.例20．（2026·高一·河北·期中）已知，.(1)若是真命题，求实数的取值集合；(2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）若是真命题，则，解得，所以；（2）因为“”是“”的充分条件，所以，因为，所以，解得，所以实数的取值范围为.例21．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为．(1)求集合；(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）命题为真命题，，解得，又；（2）是的必要不充分条件，是的真子集，解得，故实数的取值范围为变式11．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知命题为假命题.(1)求实数的取值集合；(2)已知集合，若“”是“”的必要且不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）因为命题为假命题，所以命题为真命题，当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得；综上可得实数的取值集合；（2）因为“”是“”的必要且不充分条件，所以真包含于；又，当，即时，符合题意；当，则，解得；综上可得实数的取值范围.变式12．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）（1）若命题p：，为真命题，求t的取值范围；（2）已知集合、集合（）.若，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，即，由题意，，故t的取值范围（2），，因为，所以当时，即，时，满足题意；当时，由可得或，解得，综上，实数的取值范围或.题型八：根据充分必要条件求参数例22．（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）已知集合，，全集.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，集合，全集，则或，又因为集合，故.（2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，当时，，解得；当时，由题意可得，解得，检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意；当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.例23．（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，.(1)若，求；(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，因为，，所以；（2）因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以或，所以，故实数的取值范围为.例24．（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知集合，．(1)当时，求，；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，由可得或，故或，故或，；（2）由，则，故，由“”是“”的充分不必要条件，故，则有，解得，故.变式13．（2026·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合.(1)若是的必要条件，求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m，使是的充要条件.【解析】（1）∵是的必要条件，故，∴，解得，即所求实数m的取值范围是.（2）∵若是的充要条件，则，∴，由于该方程组无解，即不存在实数m，使是的充要条件.变式14．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知，．(1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）要使是的充要条件，需使，即，此方程组无解，故不存在实数，使是的充要条件．（2）要使是的必要条件，需使．当时，，解得，满足题意；当时，，解得，要使，则有，解得，所以．综上可得，当实数时，是的必要条件．

1．（2026·高一·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（

）A． B． C．或 D．1或【答案】B【解析】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去；②，解得或（舍去），当时，，满足题意，则.故选：B.2．（2026·高一·重庆·期中）已知集合，且，则（

）A． B．或 C．3 D．【答案】D【解析】由题意，是集合的元素，则或，解得或.根据集合元素的互异性检验：当时，且，集合中出现重复元素，故舍去；当时，，，集合，符合题意.综上，.故选：.3．（2026·高一·四川宜宾·阶段检测）若，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】B【解析】若，则或，解得无解或，综上，的值为0.故选：B.4．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（

）A． B． C．且 D．或【答案】D【解析】当时，则需满足且，解得，当中只有一个元素时，则或，解得，综上可知：集合中至多有一个元素，则或，故选：D5．（2026·高一·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】C【解析】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则；当，即时，由集合有且只有一个元素，得，解得，因此或，所以实数的所有可能值的乘积为3.故选：C6．已知，，若集合，则的值为________．【答案】1【解析】根据题意，，，所以，故，则，故，则，解得．当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去，当，时，，符合题意，所以．故答案为：17．（2026·高一·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则________.【答案】【解析】由题意，或，所以或，当时，集合中两个元素均为1，不符合集合中元素的互异性，舍，当时，，满足题意，所以.故答案为：8．（2026·高一·广东广州·期中）设，若，则=__________.【答案】【解析】，根据集合相等条件可得，..故答案为：.9．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合，．(1)若，求实数a的值；(2)若，求实数a的取值范围．【解析】（1）由，代入可得，解得.（2）由，解得或4，即集合，因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，不成立；当时，，解得.综上，实数a的取值为范围为或，10．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合(1)若，用列举法写出集合A，并写出集合的所有子集；(2)若集合，且，求的取值范围.【解析】（1）当时，，

集合的所有子集有：、、、.（2），，

或或或，

①当时，对于方程，，解得，②当时，对于方程，满足，得，③当时，对于方程，满足，得，

④方法1：当时，对于方程，满足，得，方法2：当时，对于方程，满足，得.

综上所述，实数的取值范围是.11．若，当时，；当时，数轴表示如图所示，求实数m的取值范围.【解析】当时，由图，则解得；又时，，综上可知，实数的取值范围是．12．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知集合，集合.(1)当时，求，；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）当时，，所以，又因为或，所以.（2）因为，所以，当，即时，，符合题意，当，即时，若，则，解得，综上，的取值范围为.13．（2026·高一·贵州·阶段检测）已知集合或，.(1)若，求，；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）若，则，则或，，则或；（2）由，则，解得.14．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合．(1)若，求；(2)若，求的值．【解析】（1）当时，集合，因为，所以.（2）由集合，，因为，可得，当时，解得；当时，此时方程组无解，综上可得，实数的值为.15．（2026·高一·广东深圳·期中）已知，或．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因，或，又，则，解得，所以的取值范围为.（2）因为，当，即时，，满足，当时，由，得到，解得，所以，综上所述，的取值范围为.16．（2026·高一·安徽·期中）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合．(1)求集合；(2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）当为真命题时，即“，”为真命题，所以，所以或，所以若为假命题，则的范围是，所以.（2）因为是的必要不充分条件，所以⫋，因为时，若⫋，只需，解得，经检验，和时满足