第三模块坐标系及其变换

第三模块坐标系及其变换第1页，共54页。（优选）第三模块坐标系及其变换第2页，共54页。1.理解坐标平移的定义,领会坐标平移的必要性和实际意义;2.掌握坐标平移公式,能够运用坐标平移公式的计算。教学目标第3页，共54页。

下图为一个要车削的工件，在为数控机床编制程序时，要从圆弧过渡到圆弧时，怎样设计坐标系，才能使所得到的每一段圆弧的方程尽量地简单，从而有利于程序的编制和机械加工呢？

课题提出第4页，共54页。

课题分析选取圆弧的圆心O为坐标系的原点,能得到该圆弧的方程为。相应圆弧的方程为若将坐标原点选取在第5页，共54页。O区别二圆的位置及其方程的繁简程度。第6页，共54页。一、定义

不改变坐标轴的方向和长度单位，只把坐标系的原点平移到某一个定点，使其变成一个新的坐标系，叫做坐标系的平移变换，简称为坐标平移。XYOXYO相关知识第7页，共54页。XOY二、坐标平移公式

平面上任意一点P在坐标系XOY中的坐标是(x,y)，在坐标系

中的坐标是设点在坐标系XOY中的坐标为平移变换公式是或第8页，共54页。XY0c-12例平移坐标轴，化简圆的方程。

解：已知圆的方程为

把原来坐标系平移，变换为以

为原点的新坐标系

根据坐标平移公式：方程化简为

第9页，共54页。极坐标与参数方程课题二第10页，共54页。1.理解极坐标的概念,能够计算点的极坐标以及求曲线的极坐标方程;2.理解极坐标与直角坐标的关系,掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式;教学目标3.理解参数方程的概念,能够建立曲线的参数方程;4.能够运用极坐标或参数方程的相关知识解决实际问题。第11页，共54页。

上图为机械传动中常见的阿基米德螺线，又称为等速螺线。它是由一个动点M沿着一条射线l做等速直线运动（速度为v），同时这条射线又绕着它的端点O做等角速旋转运动（角速度为）所形成的轨迹.课题提出试求该轨迹方程？第12页，共54页。课题分析

动点M在运动时,它和原点的连线与x轴所成的夹角以及它与原点的距离都是时刻变化着的.因此在我们所熟悉的直角坐标系中，其运动方程即等速螺线的方程式难以表达.第13页，共54页。一、极坐标的概念

在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。

选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。

这样就建立了一个极坐标系。XO相关知识第14页，共54页。极坐标系内一点的极坐标的规定：XOM

对于平面上任意一点M，用

表示线段OM的长度，用

表示从OX到OM

的角度，

叫做点M的极径，

叫做点M的极角，有序数对（

，

）就叫做M的极坐标。

强调：

表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；

表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM

为终边的角。第15页，共54页。练习：说出下图中各点的极坐标。第16页，共54页。二、曲线的极坐标方程

与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点P的坐标

与

之间的关系，然后列出方程f(

,

)=0，再化简并说明。

例求过极点，倾角为的射线的极坐标方程。oMX﹚分析：

如图，所求的射线上任一点的极角都是，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为第17页，共54页。

例求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OMoX﹚AM在中有

即可以验证，点A的坐标也满足上式。第18页，共54页。根据所求曲线即等速螺线的定义

整理可得等速螺线的极坐标方程

建立极坐标系

初始位置

求等速螺线的极坐标方程

第19页，共54页。在机械传动中，利用凸轮将旋转运动变为直线运动，凸轮的轮廓曲线就是等速螺线。第20页，共54页。OXY

在直角坐标系中,以原点作为极点,X轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位。θ

设点M的极坐标为(ρ,θ)点M的直角坐标为三、极坐标与直角坐标的关系

设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ)θ的大小由点(x,y)所在的象限确定。第21页，共54页。例将点M的极坐标化成直角坐标。所以,点M的直角坐标为解:例将点M的直角坐标化成极坐标。因为点在第三象限,所以解:所以,点M的极坐标为第22页，共54页。四、参数方程由等速螺线的方程

其中t把两个变量联系在一起。

定义：在坐标平面内，如果一条曲线F(x,y)=0上任意一点(x,y)的坐标都可以表示为某一个变量的函数，即该方程组为曲线称为曲线F(x,y)=0的参数方程

第23页，共54页。渐开线

将一直线沿着一个半径r为的圆周作相切滚动，则此直线上任意一点的轨迹就称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆。第24页，共54页。

渐开线的一个重要性质：该曲线上的任一点M到基圆的切线MB恰是渐开线在M点处的法线。

在机械制造中，大多数齿轮的轮廓线为圆的渐开线，采用这种齿形的齿轮，具有加工较为简单，磨损少，传动平稳等特点。为参数渐开线的参数方程为第25页，共54页。切点课题三第26页，共54页。

掌握圆的切线方程、直线与圆弧以及圆弧与圆弧相切的切点坐标的计算公式和计算方法。教学目标第27页，共54页。

在下图所示的数控加工零件图样中，A、B、C各点都是该零件轮廓上的基点，试求这些点的坐标。

课题提出第28页，共54页。

图样中的B、C是一个圆与两条直线相切的切点问题。

课题分析

在工程技术和机械加工，特别是在数控加工中，有些圆弧的位置和联接点往往在零件图样上不加标注，这时就需要我们用坐标的方法来计算。

第29页，共54页。d用r表示圆的半径，d表示圆心到直线的距离，则（1）直线和圆相交d＜r（2）直线和圆相切d=r（3）直线和圆相离d＞rr观察直线与圆的位置关系

相关知识第30页，共54页。YXO思考1.圆的切线有哪些性质？2.求切线方程的关键是什么？3.切线的斜率一定存在吗？

已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。一、求圆上一点的切线方程

第31页，共54页。YXO分析：利用平面向量知识.OMMP=0x0x

+y0y=r2设P（x,y)是切线上不同于M的任意一点,则当P与M重合时，P的坐标仍满足上面方程。P(x,y)

已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。第32页，共54页。X0Y自圆外一点向圆作切线并求切点P

的坐标。

过点向圆作切线，切点是

则切线方程为

解方程组得为其中二、求圆外一点向圆作切线所得切点的坐标第33页，共54页。三、求直线与椭圆相切的切点坐标

如图所示，直线段AB与标准椭圆相切于点B，试求切点B的坐标。

分析建立如图所示的直角坐标系，可设AB的直线方程为

由于直线AB与椭圆相切，利用一元二次方程只有一个解的条件，可求出b，然后求出切点。第34页，共54页。解

建立坐标系如图

由于解得

故切点B的坐标为

联立

得第35页，共54页。四、求两圆内切的切点坐标

第36页，共54页。五、求两圆外切的切点坐标

第37页，共54页。

练习：下图所示的是某数控加工零件的图样，现要加工型面，试求其中的圆心位置。第38页，共54页。空间曲面课题四第39页，共54页。1.理解空间直角坐标系的概念;2.掌握空间两点间距离的公式；教学目标3.理解空间曲面方程的概念，能够求出空间动点的轨迹方程；4.了解几种常见曲面的曲面方程。第40页，共54页。课题提出

在大型的热力电厂，我们经常可以看到形状如图所示的高大冷却塔，它的曲面是根据什么建造出来的呢？第41页，共54页。课题分析

事实上，冷却塔的表面可以视为是由空间的一条曲线C

：绕着它的中轴（Z轴）旋转而形成的旋转曲面。第42页，共54页。X横轴Y纵轴Z竖轴定点空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系。一、空间直角坐标系相关知识第43页，共54页。Ⅶ面面面空间直角坐标系把空间隔离成了八个部分ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ第44页，共54页。空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点第45页，共54页。空间两点间的距离第46页，共54页。空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为第47页，共54页。解原结论成立。第48页，共54页。

如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,二、曲面方程的定义第49页，共54页。求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程。解设轨迹上的动点为轨迹方程。

第50页，共54页。故所求方程为方程。特别,当M0在原点时,球面方程为解设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面。例