2025届四川省成都市金牛区高二下学期期末数学测试卷（含答案）

2025届四川省成都市金牛区高二下学期期末数学测试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∪B=A,则实数a的取值集合为(A){1}(B){1,2}(C){0,1,2}(D){0}2.“x>1”是“x^2>x”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.若复数z满足(1+i)z=2-i(i为虚数单位),则z的共轭复数为(A)1-i(B)1+i(C)-1+i(D)-1-i4.已知向量a=(1,k),b=(-2,4),若a⊥b,则实数k的值为(A)-2(B)2(C)-4(D)45.已知函数f(x)=sin(2x+π/3),则下列说法正确的是(A)f(x)的最小正周期为π(B)f(x)的图像关于直线x=π/6对称(C)f(x)在区间[0,π/2]上单调递减(D)f(x)的最大值为16.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4,则圆心C到直线3x+4y-1=0的距离为(A)1(B)√2(C)√5(D)57.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,若a_3=5,S_5=25,则该数列的公差d为(A)1(B)2(C)3(D)48.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n(n+1)/2,则a_1+a_3+a_5+...+a_9的值为(A)55(B)70(C)85(D)1009.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,则方程f(x)=0的实数根个数为(A)1(B)2(C)3(D)410.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,且f(a)=1,f(b)=4,若存在实数c∈(a,b),使得f(c)=3,则下列结论一定正确的是(A)f(a)+f(b)=f(c)(B)2f(c)=f(a)+f(b)(C)f(c)=2f(a)(D)f(c)=f(b)-f(a)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.已知点A(1,2),B(3,0),则向量AB的坐标为__________.12.已知直线l1:ax+3y-6=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行,则实数a的值为__________.13.已知函数f(x)=log_a(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是__________.14.已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n,若b_1=1,T_3=7,则该数列的公比q为__________.15.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值,且极值为-1,则a+b的值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(本小题满分15分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,且PA=2√2,E为棱PC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面PCD;(2)求三棱锥P-BCD的体积.17.(本小题满分15分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=√3/2,且椭圆C经过点(2,1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l与椭圆C相切于点M(1,√3),过点M作直线m平行于椭圆C的右准线,若直线l与直线m交于点N,求直线MN的斜率.18.(本小题满分15分)已知数列{a_n}是等差数列,数列{b_n}是等比数列,且a_1=b_1=1,a_4+b_4=16,a_7+b_7=12.(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式;(2)设c_n=a_n+b_n,求数列{c_n}的前n项和S_n.19.(本小题满分20分)已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意x∈[1,4],恒有f(x)≥ax^2+bx+c成立,求实数a,b,c的取值范围.20.(本小题满分20分)已知函数g(x)=e^x-ax^2(e为自然对数的底数,a为实数).(1)当a=1时,求函数g(x)的单调区间;(2)若存在x_0∈(0,1),使得g(x_0)=1,求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1.C2.A3.A4.A5.A6.C7.B8.C9.C10.B二、填空题11.(2,-2)12.-213.(1,+∞)14.215.-4三、解答题16.(1)证明:取CD中点F,连接AF,EF.因为ABCD是菱形,所以AF⊥CD,且AF=√3.又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.因为E为PC中点,所以PE=EC,所以EF=1/2PC=√2.又PA=2√2,所以AE=√(AF^2+EF^2)=√(3+2)=√5.因此AE^2+EF^2=AF^2,所以∠AEF=90°,即EF⊥AE.又EF⊥CD,AF⊥CD,且AF∩EF=F,所以CD⊥平面AEF.因为AE⊂平面AEF,所以CD⊥AE.又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AE=A,所以CD⊥平面PAB.因为AB⊂平面PAB,所以CD⊥AB.又AB∩AE=A,所以平面ABE⊥平面PCD.(2)解:连接DF.因为F是CD中点,所以DF是等腰三角形PCD底边上的高,也是中线,所以DF⊥PC.又CD⊥平面PAB,所以DF⊥平面PAB.在直角三角形PAF中,PA=2√2,AF=√3,所以PF=√(PA^2+AF^2)=√(8+3)=√11.所以三棱锥P-BCD的体积V=1/3*S_ΔBCD*PF=1/3*(1/2*2*2)*√11=4√11/3.17.(1)解:设椭圆C的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0).离心率e=c/a=√3/2,所以b^2=a^2-c^2=a^2-(√3/2a)^2=1/4a^2,即b=a/2.将点(2,1)代入椭圆方程,得4/a^2+1/(a/2)^2=1,即4/a^2+4/a^2=1,解得a^2=8,所以a=2√2,b=√2.所以椭圆C的标准方程为x^2/(8)+y^2/(2)=1.(2)解:设直线l的方程为y=k(x-1)+√3.将直线方程代入椭圆方程,得x^2/(8)+[(k(x-1)+√3)^2]/(2)=1,整理得(1+4k^2)x^2+8√3k(k-1)x+8(k^2-2k-1)=0.因为直线l与椭圆相切,所以Δ=(8√3k(k-1))^2-4(1+4k^2)*8(k^2-2k-1)=0.解得k=-√3/3.所以直线l的方程为y=-√3/3(x-1)+√3,即x+√3y-2=0.椭圆C的右准线方程为x=8/√3.所以直线m的方程为y=-√3/3(x-8/√3).联立直线l和直线m的方程,解得N(2,√3).所以直线MN的斜率为(√3-√3)/(2-1)=0.18.(1)解:设数列{a_n}的公差为d,数列{b_n}的公比为q.由a_1=b_1=1,得a_4=1+3d,b_4=q^3.由a_4+b_4=16,得1+3d+q^3=16.由a_7=1+6d,b_7=q^6.由a_7+b_7=12,得1+6d+q^6=12.解方程组{1+3d+q^3=16,1+6d+q^6=12},得d=1,q=2.所以a_n=1+(n-1)*1=n,b_n=1*2^(n-1)=2^(n-1).(2)解:c_n=a_n+b_n=n+2^(n-1).S_n=1+2+3+...+n+(1+2+4+...+2^(n-1)).前一项和为n(n+1)/2.后一项和为首项为1,公比为2的等比数列前n项和,为(1*(2^n-1))/(2-1)=2^n-1.所以S_n=n(n+1)/2+2^n-1.19.(1)解:f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x+2/3)=3[(x-1)^2-1/3]=3(x-1+√3/3)(x-1-√3/3).令f'(x)=0,得x=1+√3/3或x=1-√3/3.当x∈(-∞,1-√3/3)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(1-√3/3,1+√3/3)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1+√3/3,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=2√3/9-4/3;f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)=-2√3/9+4/3.所以函数f(x)在x=1-√3/3处取得极大值2√3/9-4/3,在x=1+√3/3处取得极小值-2√3/9+4/3.(2)解:对于任意x∈[1,4],恒有f(x)≥ax^2+bx+c成立,即x^3-3x^2+2x≥ax^2+bx+c恒成立,即x^3-(3+a)x^2+(2+b)x-c≥0恒成立.令h(x)=x^3-(3+a)x^2+(2+b)x-c,h'(x)=3x^2-2(3+a)x+2+b.①当3+a≤0,即a≤-3时,h'(x)>0,h(x)在[1,4]上单调递增.所以h(x)_{min}=h(1)=1-(3+a)+(2+b)-c=0,即a+b+c=0.此时h(4)=64-16(3+a)+4(2+b)-c=4-4a+4b=4(a-b+1)<0,不满足h(x)≥0恒成立,舍去.②当3+a≥4,即a≥1时,h'(x)<0,h(x)在[1,4]上单调递减.所以h(x)_{min}=h(4)=4-4a+4b=4(a-b+1)≥0,即a-b+1≥0,即a+b≥-1.此时h(1)=1-(3+a)+(2+b)-c=0,即a+b+c=0.所以c=-(a+b)≤-(-1)=1.此时h(4)=4-4a+4b=4(a-b+1)≥0恒成立,满足h(x)≥0恒成立.所以a≥1且c≤