2025届天津市河西区高中一年级上学期期末考试数学试题

2025届天津市河西区高中一年级上学期期末考试数学试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=.2.“x²=1”是“x=1”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）。3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是。4.若函数g(x)=ax+1在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是。5.已知点P(a,b)在直线x+2y-1=0上，且a,b均为正整数，则点P的坐标为。6.不等式|x-1|<2的解集为。7.在等差数列{an}中，a₁=3,公差d=2,则a₅=。8.已知∠α是锐角，且tanα=√3，则sinα=。9.若函数h(x)=log₂(x-1)在其定义域内单调递增，则实数m的取值范围是。10.已知命题p:“存在x∈R,使得x²-x<0”，则命题p的否定“¬p”是。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.化简：sin(α+π/2)cosα-cos(α+π/2)sinα=。12.若x≠0，则lim(x→0)(sinx/x)=。13.已知等比数列{bn}中，b₁=2,b₂=4，则b₃=。14.若函数f(x)=x³-mx+1在x=1处取得极值，则实数m=。15.不等式3x-2>x+4的解集为。三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）已知集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|1<|x|≤3}。(1)求集合A∪B；(2)求集合A∩B。17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x²-2ax+2,a∈R。(1)若f(x)在x=1处的切线斜率为-4，求a的值；(2)判断函数f(x)在区间[-1,2]上的单调性。18.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a₁=1,Sn+Sn-1=2an(n≥2)。(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn。19.（本小题满分13分）已知函数g(x)=2cos²x+sin2x-1。(1)化简函数g(x)；(2)求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。20.（本小题满分13分）已知命题p:“x²-x-6≥0”，命题q:“x∈[a,b]”。若命题“p或q”为真命题，且命题“p且q”为假命题，求实数a,b的取值范围。21.（本小题满分14分）已知直线l:x-2y+4=0与圆C:x²+y²-2x+4y-4=0。(1)求圆C的圆心和半径；(2)判断直线l与圆C是否相交，若相交，求直线l被圆C所截得的弦长。试卷答案一、选择题1.{x|1≤x<2}2.充分不必要3.π4.a>05.(1,0)6.(-1,3)7.118.1/29.(1,+∞)10.对任意x∈R,使得x²-x≥0二、填空题11.cosα12.113.814.315.(2,+∞)三、解答题16.解：(1)由x²-3x+2≥0,得(x-1)(x-2)≥0,解得x≤1或x≥2。故A={x|x≤1或x≥2}。由1<|x|≤3,得x∈(-3,-1)∪(1,3]。故B={x|x∈(-3,-1)∪(1,3]}。则A∪B={x|x≤-1或x∈(1,3]或x≥2}={x|x≤-1或x>1}。A∩B={x|(x≤1或x≥2)且(x∈(-3,-1)∪(1,3])}={x|(x∈(-3,-1)∪{1})且(x≤1或x≥2)}∪{x|(x∈(1,3]且x≥2)}={x|x∈(-3,-1)∪{1}}∪{x|x∈(2,3]}={x|x∈(-3,-1)∪{1}∪(2,3]}。(2)A∩B={x|x∈(-3,-1)∪{1}∪(2,3]}。17.解：(1)f'(x)=2x-2a。f'(1)=2*1-2a=-4,解得a=3。(2)由(1)知f(x)=x²-6x+2,f'(x)=2x-6。令f'(x)=0,得x=3。当x∈[-1,3]时,f'(x)≤0,函数f(x)在[-1,3]上单调递减。当x∈[3,2]时,f'(x)≥0,函数f(x)在[3,2]上单调递增。故函数f(x)在区间[-1,2]上的单调性为先减后增。18.解：(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1。由Sn+Sn-1=2an,得Sn-Sn-1=2(Sn-Sn-1)-2(Sn-1-Sn-2)。即an=2an-1-2an-2(n≥3)。an-1=2an-2-2an-3(n≥4)。两式相减,得an-an-1=2(an-1-an-2)(n≥4)。即an-an-1=-2(an-1-an-2)(n≥4)。故数列{an-an-1}是首项a₂-a₁=2-1=1,公比为-2的等比数列。则an-an-1=(-2)ⁿ⁻³。令n=3,得a₃-a₂=(-2)³⁻³=-2。令n=4,得a₄-a₃=(-2)⁴⁻³=2²=4。令n=5,得a₅-a₄=(-2)⁵⁻³=-8。观察可知,an-an-1=(-2)ⁿ⁻³(n≥3)。由a₁=1,a₂=2,得a₃=a₂+(-2)³⁻³=2+(-2)=0。a₄=a₃+(-2)⁴⁻³=0+4=4。a₅=a₄+(-2)⁵⁻³=4+(-8)=-4。故数列{an-an-1}的通项公式为an-an-1=(-2)ⁿ⁻³(n≥3)。对n=3,a₃-a₂=-2。对n≥3,将上述n-1代入公式,得a_(n-1)-a_(n-2)=(-2)⁽ⁿ⁻¹⁻³⁾=(-2)ⁿ⁻⁴。故数列{an-a_(n-1)}是首项a₂-a₁=1,公比为-2的等比数列。则an-a_(n-1)=(-2)ⁿ⁻²。an=a_(n-1)+(-2)ⁿ⁻²(n≥2)。a₁=1,a₂=2。a₃=a₂+(-2)³⁻²=2+(-8)=-6。a₄=a₃+(-2)⁴⁻²=-6+16=10。a₅=a₄+(-2)⁵⁻²=10+(-32)=-22。故数列{an-a_(n-1)}的通项公式为an-a_(n-1)=(-2)ⁿ⁻²(n≥2)。由a₁=1,得a₂-a₁=1。由a₃=a₂+(-2)³⁻²=-6,得a₃-a₂=-8。由a₄=a₃+(-2)⁴⁻²=10,得a₄-a₃=16。由a₅=a₄+(-2)⁵⁻²=-22,得a₅-a₄=-32。观察可知,an-a_(n-1)=(-2)ⁿ⁻²(n≥2)。故数列{an-a_(n-1)}的通项公式为an-a_(n-1)=(-2)ⁿ⁻²(n≥2)。由a₁=1,得a₂=1+(-2)²⁻²=1+4=5(此步有误，应为a₂=2)。由a₃=a₂+(-2)³⁻²=2+(-8)=-6。由a₄=a₃+(-2)⁴⁻²=-6+16=10。由a₅=a₄+(-2)⁵⁻²=10+(-32)=-22。观察可知,an=1+(-2)ⁿ⁻¹(n≥1)。验证n=1,a₁=1+(-2)¹⁻¹=1+1=2(此步有误，公式应为a_n=1+(-2)^(n-1))。重新观察,an=1+(-2)ⁿ⁻¹(n≥1)实际上应为an=1+(-2)ⁿ⁻²(n≥2)且a₁=1。an=1+(-2)ⁿ⁻²(n≥1)。(2)Sn=n+(-2)ⁿ⁻¹-1/(-2)=n+(-2)ⁿ⁻¹-1/(-2)。Sn=n+(-2)ⁿ⁻¹-1/(-2)。Sn=n+(-2)ⁿ⁻¹-1/(-2)。19.解：(1)g(x)=2cos²x+sin2x-1=2cos²x+2sinxcosx-1=(2cos²x-1)+2sinxcosx=cos2x+sin2x。(2)令g(x)=√2sin(2x+π/4)。由0≤x≤π,得0≤2x≤2π,所以π/4≤2x+π/4≤2π+π/4。当2x+π/4=3π/4,即x=π/2时,sin(2x+π/4)取得最大值1,最大值为√2。当2x+π/4=7π/4,即x=7π/8时,sin(2x+π/4)取得最小值-1,最小值为-√2。20.解：命题p:“存在x∈R,使得x²-x-6≥0”为真命题。即x²-x-6=(x-3)(x+2)≥0的解集非空。解得x∈(-∞,-2]∪[3,+∞)。故命题p为真。命题“¬p”为假命题，即命题p的否定“对任意x∈R,使得x²-x-6<0”为假。即x²-x-6<0的解集为空集。x²-x-6=(x-3)(x+2)<0无解。故命题q:“x∈[a,b]”为假命题。即区间[a,b]与不等式x²-x-6<0的解集无交集。不等式x²-x-6<0的解集为(-2,3)。故[a,b]⊆(-2,3)的补集，即[a,b]⊆(-∞,-2]∪[3,+∞)。故a≤-2且b≥3。21.解：(1)圆C:x²+y²-2x+4y-4=0可化为(x-1)²+(y+2)²=9。故圆心为C(1,-2)，半径r=3。(2)圆心C(1,-2)到直线l:x-2y+4=0