2025~2026学年难点9新定义问题练(期末重难点攻略)

2025~2026学年难点9新定义问题练(期末重难点攻略)一、单选题1.定义：非零向量、的外积记作是一个向量，其中，命题①在数值上等于以、为邻边的平行四边形面积；命题②.则两个命题的真假为（）

A．①真，②真B．①真，②假C．①假，②真D．①假，②假2.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（）

A．B．C．D．3.《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．4.如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（）

A．B．C．D．二、填空题5.在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i.已知点A，点B，将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）.三、多选题6.欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（）

A．，使得B．当且仅当时成立C．与互为共轭复数D．，，7.“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，在中，当最大内角小于时，费马点满足，当最大内角不小于时，最大内角的顶点为费马点.已知在中，角所对的边分别为，且，，，点为的费马点，则（）

A．B．C．D．在上的投影向量为8.阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则（）

A．直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为B．若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面D．若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正切值为四、填空题9.若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“半余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是“半余三角形”，则________．五、解答题10.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心､重心､垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且．(1)求的值；(2)证明：；(3)若，求的值．11.定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“互助函数”，向量为函数的“互助向量”.(1)已知，若函数的“互助向量”为，求的最大值；(2)向量为函数的“互助向量”，的一条边长度等于的最大值，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，求这三个半圆围成的平面区域上任意两点间距离的最大值；(3)若函数为向量的“互助函数”，，.判断，，能否作为三边长？若能，给出证明；若不能，请说明理由.12.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面.例如，若P是正四面体N一个顶点，则N在P处的离散曲率为.如图，在三棱锥PABC中：(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；(2)若平面ABC，，，三棱锥PABC在顶点C处的离散曲率为.①若点O和点