数学竞赛试题做法及答案

数学竞赛试题做法及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且f'(1)=0，则下列说法正确的是（）（2分）A.f(x)在x=1处必为极值点B.f(x)在x=1处必为拐点C.f(x)在x=1处可能为极值点也可能为拐点D.f(x)在x=1处不可能为极值点【答案】C【解析】f'(1)=0说明x=1是驻点，但不一定是极值点，需要结合二阶导数判断，若二阶导数不为0则为极值点，若二阶导数为0则可能为拐点。2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1,1/2}C.{1,1/2,0}D.{0}【答案】B【解析】A={1,2}，B⊆A说明1或2是ax=1的解，分别得a=1或a=1/2。3.若复数z满足z^2=|z|^2，则z在复平面上对应的点位于（）（2分）A.实轴上B.虚轴上C.以原点为圆心的圆上D.以原点为圆心的圆外【答案】C【解析】设z=a+bi，则(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=a^2+b^2，得a^2-b^2=a^2+b^2且2ab=0，解得b=0或a=0，即z为纯实数或纯虚数。4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2-c^2=ab得2abcosC=ab，cosC=1/2。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=2a_(n-1)+1(n≥2)，则S_5的值为（）（2分）A.31B.32C.33D.34【答案】C【解析】a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，S_5=1+3+7+15+31=57。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为（）（2分）A.8，-10B.10，-10C.8，-8D.10，-8【答案】D【解析】f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，最大值为f(3)=2，最小值为f(-2)=-10。7.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为奇数的概率为（）（2分）A.1/4B.1/3C.1/2D.3/4【答案】C【解析】两个奇数或两个偶数之和为偶数，概率为(3/6×3/6)+(3/6×3/6)=1/2。8.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2/2，则k^2+b^2的值为（）（2分）A.1/2B.1C.3/2D.2【答案】B【解析】圆心到直线的距离d=√(1-(√2/2)^2)=1/2，d=|b|/√(1+k^2)，得|b|=√2/2，k^2+b^2=1。9.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的前9项和S_9为（）（2分）A.45B.54C.63D.72【答案】C【解析】由等差数列性质得3a_3=15，3a_4=21，得a_3=5，a_4=7，d=2，a_1=3，S_9=9a_1+36d=63。10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的最小值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】f(x)=2|x|+2，当x=0时取得最小值2。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若a>b，则a^2>b^2B.若a^2>b^2，则a>bC.若a>b，则1/a<1/bD.若a^2>b^2，则|a|>|b|【答案】D、C【解析】A错，如a=1，b=-2；B错，如a=-2，b=1；C对；D对。2.已知函数f(x)=sin(x+α)在x=π/4处取得最大值，则α的可能取值为（）（4分）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4【答案】A、C【解析】sin(x+α)=1得x+α=2kπ+π/2，α=2kπ-π/4，k∈Z，当k=0时α=-π/4，当k=1时α=7π/4，当k=1/2时α=5π/4。3.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=e^xC.y=ln(x)D.y=1/x【答案】A、B【解析】y'=2x>0，y'=e^x>0，y'=1/x>0，y'=-1/x^2<0。4.已知直线l1：ax+by+c=0与直线l2：mx+ny+p=0相交于点P(1,2)，则下列等式中成立的是（）（4分）A.a+b=cB.m+n=pC.2a+b=c-2D.2m+n=p-2【答案】C、D【解析】将P(1,2)代入两条直线方程得a+2b+c=0，m+2n+p=0，即2a+b=c-2，2m+n=p-2。5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a、b的取值分别为（）（4分）A.a=3，b=2B.a=3，b=-2C.a=-3，b=2D.a=-3，b=-2【答案】A、D【解析】f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=0得3-2a+b=0，f(1)=1-a+b-1=0得b=a，解得a=3，b=2或a=-3，b=-2。三、填空题（每题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_n+a_(n+1)=n+2(n≥1)，则a_5的值为______。（4分）【答案】8【解析】a_2+a_3=3，a_3+a_4=4，a_4+a_5=5，a_2=1，a_3=2，a_4=2，a_5=3。2.函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得最小值，且f(x)的图像与x轴交于两点A、B，则|AB|=2，则p______，q______。（4分）【答案】-2，-3【解析】f'(1)=2+p=0得p=-2，f(1)=1+p+q=-1得q=-3，f(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)，|AB|=4。3.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆心C的坐标为______，半径r=______。（4分）【答案】(1,-2)，2【解析】圆心(1,-2)，半径r=√[(1)^2+(-2)^2-(-3)]=2。4.已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)，若f(x)在x=π/4处取得最大值，则α=______（k∈Z）。（4分）【答案】2kπ-π/4【解析】f(x)=√2sin(x+α+π/4)，α+π/4=2kπ+π/2得α=2kπ-π/4。四、判断题（每题2分，共10分）1.若x>0，则x+1/x≥2（）（2分）【答案】（√）【解析】x+1/x≥2√(x×1/x)=2。2.若a、b为实数，且a^2+b^2=1，则a+b=1（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=0，a+b=1；如a=0，b=1，a+b=1；如a=1/√2，b=1/√2，a+b=√2>1。3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】f(x)=x^3在(-∞,+∞)上单调递增但存在间断点。4.若a_n→A，b_n→B，则(a_n+b_n)→A+B（）（2分）【答案】（√）【解析】根据数列收敛性质。5.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则f'(c)=0（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值必要条件。五、简答题（每题4分，共12分）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx，若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=2，求a、b的值。（4分）【答案】a=3，b=2【解析】f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=0得3-2a+b=0，f(1)=1-a+b=2得b=a+1，解得a=3，b=2。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，S_n=2a_(n+1)-n(n≥1)，求通项公式a_n。（4分）【答案】a_n=2^(n-1)【解析】S_n=2a_(n+1)-n，S_(n-1)=2a_n-(n-1)，两式相减得a_(n+1)-a_n=2a_n-2a_(n-1)-1，解得a_n=2^(n-1)。3.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0，求圆上到直线l：x+y-1=0距离最远的点的坐标。（4分）【答案】(2,-1)【解析】圆心(1,-2)，到直线距离d=|1-2|/√2=√2，最远点在圆心关于直线的对称点，对称点(2,-1)。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。（10分）【答案】最大值为2，最小值为-10【解析】f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，最大值为max{2,2}=2，最小值为min{-10,-4}=-10。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n+1/(n+1)(n≥1)，求通项公式a_n。（10分）【答案】a_n=(-1)^n/(n+1)【解析】a_n=S_n+1/(n+1)，a_(n-1)=S_(n-1)+1/n，两式相减得a_n-a_(n-1)=a_n+1/(n+1)-a_(n-1)-1/n，解得a_n=(-1)^n/(n+1)。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，求f(x)的最小值，并说明此时x的取值范围。（25分）【答案】最小值为2，x∈[-1,1]【解析】f(x)=2|x|+2，当x=0时取得最小值2，此时x∈[-1,1]。2.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx，若f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=2，求a、b的值，并判断x=1处是极大值还是极小值。（25分）【答案】a=3，b=2，极小值【解析】f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=0得3-2a+b=0，f(1)=1-a+b=2得b=a+1，解得a=3，b=2，f''(x)=6x-2a，f''(1)=4>0，极小值。---标准答案一、单选题1.C2.B3.C4.A