自动控制原理-第5章

5.1引言在前面各章中，采用了基于复频变量s的传递函数来描述控制系统，并用系统在S平面上的零、极点来分析和解释系统响应。本章将要介绍另一种系统分析和设计方法，即频率特性法。它是一种重要而且实用的系统分析方法。系统的频率特性定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应。在这种情况下，系统的输入信号是正弦信号，线性系统的内部信号及其输出信号也是稳态的正弦信号，这些信号频率相同，幅值和相角则各有不同。下一页返回5.1引言评判一个控制系统时，首先应该看它是否稳定；如果系统是稳定的，还应进一步考查它的相对稳定性。本章要在实频率域中来研究系统的稳定性，所采用的方法是频率特性法。频率特性法具有下述优点：频率特性具有明确的物理意义；计算量小，一般采用简单近似的作图方法，简单、直观，易于在工程技术界使用；另外，可以采用实验的方法获得系统或元件的频率特性，这对于机理复杂或机理不明而难以列出微分方程的系统或元件而言有重要的实用意义。正因为这些优点，频率特性法在工程技术领域得到非常广泛的应用。上一页返回5.2频率特性设线性定常系统的传递函数为G(s)，输入正弦波信号为 （5-1）式中，R为正弦信号的幅值；ω为角频率。其拉氏变换式为 （5-2）则输出为 （5-3）输出信号中的稳态分量是与输入信号极点对应的分量 （5-4）下一页返回5.2频率特性式中， （5-5） （5-6）式（5-4）经拉氏逆变换得 （5-7）代入式（5-5）得 （5-8）式中， 。上一页下一页返回5.2频率特性由此可以看出，对于一稳定的线性定常系统G(s)，当输入r(t)为正弦波信号时，其稳态响应ys(t)为同一频率的正弦波信号，且ys(t)相对r(t)的幅值之比为 ，是系统的幅频特性；ys(t)与r(t)的相位差是 ，是系统的相频特性。因此，系统（或对象）的传递函数G(s)中令 而得的 就代表了系统（或对象）的频率特性。系统频率特性也是系统数学模型的一种表示方式。对于稳定的系统，其频率特性也可以通过实验的方法测得，即在系统输入端施加不同频率的信号，测量其输出的稳态响应，根据输出信号与输入信号的幅值比和相位差就能够获得系统的频率特性曲线。但对于不稳定系统，由于其稳态响应中包含不稳定极点产生的发散或振荡的分量，因此就不能够通过实验测取。上一页下一页返回5.2频率特性

为一复数，可以表示为指数、三角或实部和虚部的形式为 （5-9）式中，相位角为 （5-10）为方便计算，一般取 。 和 也分别称为 的实频特性和虚频特性。某环节若有负的相位角，则称为相位滞后，为滞后环节；若有正的相位角，则称为相位超前，为超前网络。对于任何实际的物理系统，当输入正弦波信号的频率很高时，输出响应信号的幅值一定很小，这说明实际物理系统的传递函数分母的阶次一定比分子的阶次要高。（注意：请思考为什么？）上一页返回5.3频率特性图系统的频率特性可以用频率特性曲线函数表示，也可以在不同的坐标系中，用不同的图形和曲线表示，称为系统的频率特性图。本节将介绍两者常用的频率特性图，即极坐标图和Bode图。下一页返回5.3频率特性图5.3.1极坐标图根据式（5-9），复数 在复平面上是一个点或一个向量。以直角坐标或极坐标表示复平面，画出当ω由0变到∞时 的轨迹，所得的图形称为该系统的极坐标图，也称奈奎斯特（Nyquist）图。图5-1RC滤波器主要采用式（5-9）绘制极坐标图，在绘图过程中一般取几个关键的点确定坐标，然后勾出简图即可，如先找出 和 时 的位置，然后再找1～2个中间点。画简图时也可以根据 的相频特性 确定曲线的走向，再根据幅频特性 定位。下面用例子来进一步说明。例5.1RC滤波器的频率特性。滤波器如图5-1所示。上一页下一页返回5.3频率特性图其传递函数为 （5-11）于是有 （5-12）式中， 。则相频特性为 （5-13）幅频特性为 （5-14）上一页下一页返回5.3频率特性图实频特性为 （5-15）虚频特性为 （5-16）取 ， 和ω=∞三个点求以上个频率特性，得表5-1。由此作极坐标图如图5-2所示。其实可以进一步推得： 是一个圆的方程，可以看到图5-2中出现的就是一个半圆。表5-2给出了一些典型环节的极坐标图。上一页下一页返回5.3频率特性图例5.2已知 ，绘制其频率特性的极坐标简图。可以将该传递函数进行分解得式中， ； ，因此由表5-1可容易获得表5-3中的数据。绘制极坐标图如图5-3所示。上一页下一页返回5.3频率特性图5.3.2波特（Bode）图波特（Bode）图又称为对数坐标图，或对数频率特性图。波特图由两个图组成：幅频特性图和相频特性图，分别表示频率特性的幅值和相位角与角频率之间的关系。相对极坐标图而言，由于幅值和相位的分开，使系统的频率特性更加直观和清晰。波特图的横坐标是角频率按对数分度，即按 分度，单位为弧度/秒（rad/s）；幅频特性图的纵坐标取 ，单位是分贝（dB），按线性分度 ；相频特性图的纵坐标取相位角的线性分度，单位是度 。横坐标取对数分度后能够显示非常宽的频率范围，从而能同时显示低频、中频和高频的频率特性。由于取对数分度，频率按倍数增加时在坐标上等间隔，如频率由ω变为称为10ω倍频，记为dec，如图5-4所示。上一页下一页返回5.3频率特性图幅频特性图的纵坐标按幅值的对数（分贝数）取值，从而可以使相乘环节的传递函数的幅频特性在波特图上直接通过代数相加得到，这在分析由基本环节组成的控制回路时非常有用。例5.3RC滤波器的波特图。重新考查例5.1给出的滤波器为一阶惯性环节，其频率特性传递函数为得幅频特性为 （5-17）相频特性为 上一页下一页返回5.3频率特性图通过计算机可以绘制出精确的波特图，如图5-4所示。但工程应用时每次画精确的波特图并不方便，因此可以通过简化，用直线来近似，从而获得近似的波特简图。在低频段，即 时， ，则式（5-17）可以近似为 （5-18）为0dB线上的直线。在高频段，即 时， ，则式（5-17）又可近似为 （5-19）上一页下一页返回5.3频率特性图这是一条斜率为 ，在 处穿越0dB线的直线。两条直线在（0dB，1/T）处相交，如图5-5所示，我们称 为转折频率，称两条直线为渐近线，并称两条渐近线形成的折线为一阶惯性环节的渐近幅频特性。相频特性也类似，找3个点，其频率特性见表5-4。因此，可作出RC滤波器（一阶惯性环节）的波特图简图如图5-5所示。表5-5给出了一些典型环节的波特图。上一页下一页返回5.3频率特性图对于二阶振荡环节 ，可以计算其幅频特性和相频特性为 （5-20） （5-21）式中， 。其频率特性的渐近线如表5-5所示，转折频率为。但二阶振荡环节的精确幅频特性曲线与值有关，如图5-6所示。可见在一定条件下幅频特性曲线随频率增加并非单调下降，因此来分析一下其极值 （5-22）上一页下一页返回5.3频率特性图可得当 时，式（5-22）有解为 （5-23）即幅频特性在ωr∞处取得最大值，称ωr为谐振频率，可见当ζ→0时ωr→ωn。可得谐振峰值为 （5-24）可以证明Mr随（ ）的减小而单调递增。一般情况下绘制传递函数G(s)的波特图时，设其由各基本环节构成 （5-25）上一页下一页返回5.3频率特性图则对数幅频特性和相频特性分别为 （5-26） （5-27）可见利用组成传递函数的各个基本环节的对数频率特性，进行代数求和获得整个传递函数的对数频率特性，再利用表5-5各个基本环节的频率特性渐近线，就能够很容易地绘制出传递函数的频率特性渐近线。而在一些关键点上，则可以通过计算来精确求出幅值或相角。因此绘制一般传递函数的波特图的具体步骤如下：上一页下一页返回5.3频率特性图（1）把传递函数分解成各基本环节之积。（2）标出各基本环节的转折频率及其斜率。（3）从最低频率段开始确定斜率，最低频段由积分环节和放大环节起作用。（4）频率由低到高，每经过一个转折频率，斜率改变，加上对应基本环节的斜率。（5）在每一段折线上标明斜率。（6）对相频特性，首先找出ω→0和ω→∞时的相位角，对于各转折频率点，进行适当估计近似绘制即可。例5.4已知系统开环传递函数为绘制其波特图。上一页下一页返回5.3频率特性图将传递函数进行整理得

各基本环节按频率由低向高的顺序排列如下。（1）低频段：放大环节， ；积分环节， ；（2）第一个转折频率点：ω1＝rad/s，二阶振荡环节， ；（3）第二个转折频率点：ω2

＝2rad/s，一阶惯性环节， ；（4）第三个转折频率点：ω3

＝5rad/s，一阶微分环节， 。上一页下一页返回5.3频率特性图将各个转折频率依次标于频率轴上，如图5-7所示。低频段 应该就是 的频率特性，可以确定幅频特性渐近线斜率为 ，并且，在 时， ，即该直线在 处穿越0dB线；或者，取 ，计算 。到第一个转折频率点 ，直线斜率变为 ；到第二个转折频率点 ，直线斜率变为 ；到第三个转折频率点 ，直线斜率变为 。由此可以画出幅频特性图，如图5-7所示。对于相频特性，可计算出当 时 ；当 时， ，对于转折频率点可以进行适当的估计。上一页下一页返回5.3频率特性图5.3.3最小相位系统如果一个环节传递函数的极点和零点的实部全部小于或等于零，则称这个环节为最小相位环节。如果传递函数中具有正实部的零点或极点，或有延迟环节（若把用极点和零点的形式近似表达时，会发现它也具有正实部零点），这个环节就是非最小相位环节。对于闭环系统，如果它的开环传递函数有正实部的极点或零点，或有延迟环节，则称该系统为非最小相位系统。在一些幅频特性相同的环节之间存在着不同的相频特性，其中最小相位环节的相位移（相位角的绝对值）最小，也最容易控制。设系统（或环节）传递函数分母阶次（s的最高幂次数）是n，分子的阶次是m，串联积分环节的个数是v，对于最小相位系统，当 时，对数幅频特性的斜率为 ，相位等于 ；当 时，相位等于 。符合上述特征的系统一定是最小相位系统。上一页下一页返回5.3频率特性图数学上可以证明，对于最小相位系统，对数幅频特性和相频特性不是相互独立的，两者之间存在严格的关系。如果已知对数幅频特性，通过公式可以把相频特性计算出来。同样，通过公式也可以由相频特性计算出幅频特性。所以两者包含的信息内容是相同的。从建立数学模型和分析、设计系统的角度看，只要详细地画出两者中的一个足够了。由于对数幅频特性容易画，所以对于最小相位系统，通常只绘制详细的对数幅频特性，而对于相频特性只画简图，或者不绘制相频特性图。上一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据对线性定常系统稳定性的判断在第3章里已经介绍了一种非常有效的方法，即劳斯判据，但劳斯稳定判据分析闭环系统的稳定性存在两个缺点：①必须知道闭环系统的特征方程；②不能指出系统的稳定程度。第4章介绍的根轨迹方法也能够十分直观地分析出闭环系统极点位置，从而获知其稳定性以及稳定程度，但根轨迹必须清晰地知道开环零极点的分布。年，奈奎斯特（Nyquist）提出了一种利用开环频率特性判定闭环系统稳定性的方法，称为奈奎斯特稳定性判据。由于开环频率特性容易获得，甚至可以在不知道开环传递函数的时候，通过实验测得，因此该方法相对劳斯判据更加有效；另外奈奎斯特稳定性判据还能够在一定程度上指出闭环系统稳定的程度，因此，其在频率域控制理论中一直占有重要的地位。下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据5.4.1S平面上的围线映射在讨论奈奎斯特稳定性判据以前，首先介绍一下围线映射的概念。围线映射是指通过函数F(s)将s平面上的闭合曲线映射到另一个平面上。设 是复变量，函数F(s)本身也是复变量，记 ，可以在F(s)复平面上用坐标 来表示围线映射的结果。主要考察围线和围线映射对零极点包围的情况，先看一个例子。设 （5-28）在s平面上构造围线，如图5-8（a）所示为一顺时针围绕原点的正方形(A→B→C→D→A)，边长是2。根据式（5-28），可以计算得映射到F(s)平面上的曲线，图5-8（b）则给出了F(s)平面上的映射曲线(A→B→C→D→A)，从中可以看出，映射曲线顺时针包围F(s)平面的原点一周。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据从图5-8（a）可知，围线顺时针包围了F(s)的零点（0，j0）一周，而没有包围F(s)的极点（-2，j0）。对于围线上的点，到F(s)的零点和极点分别形成两个向量a和b，如图5-8（a）所示，当点s1沿围线顺时针行走一周时，可以看到向量a顺时针旋转一周，而向量b没有。这也是为什么图5-8（b）中映射的围线顺时针包围原点一周的原因。由此可以得到柯西（Cauchy）定理。柯西（Cauchy）定理：设F(s)是s的有理函数，如果闭合曲线Γs顺时针方向在s平面包围了F(s)的z个零点和p个极点，那么映射曲线ΓF也以顺时针方向在F(s)平面包围原点n=z-p周。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据5.4.2奈奎斯特稳定性判据从柯西定理进一步推导，就能够获得奈奎斯特稳定性判据。如图5-9所示为负反馈闭环系统为线性定常系统。设其开环传递函数为 （5-29）并设其闭环特征式为 （5-30） 上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据可见F(s)的零点 就是闭环系统的极点，而F(s)的极点 则是开环传递函数的极点。我们希望闭环系统是稳定的，也就是希望F(s)的零点 都不能位于s平面的右半平面。假设F(s)在s平面的右半平面有p个极点，如果能够构造出包围s平面的右半平面的围线，那么该围线映射到F(s)平面的闭合曲线应该逆时针围绕原点p周，才表明F(s)没有位于s平面的右半平面零点，即闭环稳定。奈奎斯特稳定性判据就是基于这个思想建立的。如图5-10所示，在s平面上，沿顺时针 构造围线，该围线包围s平面的右半平面，称为奈奎斯特围线。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据由以上可以发现以下几点：（1）从奈奎斯特围线映射到 平面的闭合曲线围绕原点等同于映射到 平面的闭合曲线围绕（-1，j0）点。（2）观察 的围线映射知，当s沿虚轴的正半轴 运行时，映射到 的曲线就是第5.3.1节介绍的 的极坐标图。（3）由于 时， ，因此奈奎斯特围线无穷远处的半周映射到L(s)平面为一个点，即原点。（4）由于 为有理分式， 与 共轭，因此从虚轴的负半轴映射到L(s)平面的曲线与正半轴的映射相对实轴对称。因此，作 的极坐标图及其关于实轴对称的图形，就能够得到 奈奎斯特围线映射到平面的闭合曲线，称之为 的（完整的）奈奎斯特图。由此获得奈奎斯特稳定性判据。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据：若闭环系统的开环传递函数 有p个正实部极点，则闭环系统稳定的充要条件是：当s顺时针方向包围s平面右半平面的围线变化一周时， 的映射曲线，即奈奎斯特图，按逆时针方向包围点（-1，j0）p周。例5.5考虑如图5-9所示的单回路控制系统，其中作其极坐标图，并按实轴对称补充得完整得奈奎斯特图，如图5-11所示。可见曲线没有包围（-1，j0）点。由于开环传递函数稳定，因此闭环系统稳定。其实，如果闭环系统不稳定，根据柯西定理， 的奈奎斯特图必将顺时针包围（-1，j0）点。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据前面讨论的开环传递函数中不包含积分项，即没有位于原点的开环极点。如果开环传递函数中包含位于原点的极点时，即 （5-31）其中为串联积分环节个数我们需要对奈奎斯特围线进行适当的处理：如图5-12所示，在原点附近，为了让奈奎斯特围线不经过原点，构造一个无穷小的半圆 ，这时，因为 ，有 ，因此 （5-32）可得表5-6的数据。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据可见当s沿无穷小的半圆 运动时，映射曲线将在无穷远处顺时针转 。无穷远处的映射曲线与开环传递函数的极坐标图及其实轴对称曲线将构成一条闭合的曲线，形成完整的奈奎斯特图。例5.6继续考虑图5-9所示的单回路控制系统，此时取作其极坐标图，并补充成完整的奈奎斯特图，如图5-13所示。开环系统稳定。可见当K值较小时（图5-13（a）），奈奎斯特图不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定；当K值较大时（图5-13（b）），奈奎斯特图顺时针包围（-1，j0）点两周，闭环系统不稳定。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据临界的K值有很多求法，这里介绍求极坐标图与实轴交点的方法。由于在实轴上： ，从而得因此，当 时，闭环稳定；当 时，闭环不稳定。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据例5.7负反馈系统开环传递函数为 作其极坐标图，并补充成完整的奈奎斯特图，如图5-14所示。可得，当 时，得图5-14（a）；当 时，得图5-14（b）。开环系统稳定，因此，当 时，闭环稳定；当 时，闭环不稳定。对于复杂的奈奎斯特图，如果都采用数包围（-1，j0）点的周数的方法很容易出错，这里介绍一种数穿越数的方法，非常简便。上一页下一页返回5.4奈奎斯特稳定性判据开环极坐标图按逆时针方向（从上往下）穿过（-1，j0）点左边负实轴，称为正穿越（相角增加）；按顺时针方向（从下往上）穿过（-1，j0）点左边负实轴，称为负穿越（相角减少），如图5-15所示。可知，开环极坐标图逆时针包围（-1，j0）点的周数等于其正穿越和负穿越次数之差，因此，奈奎斯特稳定性判据还可以表述为：若闭环系统的开环传递函数 有p个正实部极点，则闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0→∞时， 的极坐标图在（-1，j0）点左边负实轴上的正负穿越次数之差等于p/2。当开环传递函数含积分项时需注意负实轴的无穷远处是否有穿越；另外，如果极坐标图从（-1，j0）点左边负实轴上出发，穿越数算1/2次。例5.8负反馈系统开环极坐标图及开环不稳定极点数分别如图5-15所示。上一页返回5.5控制系统的相对稳定性例5.6中可以看到，随着K的增加，闭环系统有可能从稳定变为不稳定，这在前几章的例子中也有所见（如根轨迹一章中）。实际系统运行过程中经常会发生参数变化或是扰动，这就要求系统不但要稳定，而且要有足够的稳定程度，或称为稳定裕度，这就是相对稳定性的概念。在后面章节的分析，可以获知稳定裕度还与系统动态性能指标存在密切的关系。稳定裕度有不同的参数化描述，先看例5.6中的闭环系统：当 时极坐标图经过（-1，j0）点，闭环系统临界稳定。当 时闭环系统稳定，如图5-16所示，那么曲线离（-1，j0）点越远，系统稳定裕度越大。有两种比较直观的方式可以参数化系统的稳定裕度：下一页返回5.5控制系统的相对稳定性（1）极坐标图与负实轴的交点离（-1，j0）点的距离，或者是（-1，j0）点的模长比上交点的模长，也即图5-16中 。（2）极坐标图与单位圆的交点形成的向量到负实轴的角度，即沿极坐标图运行到离原点距离为1时与负实轴的相位角之差，也即图中的γ。由此可以推出幅值裕度和相位裕度两个稳定裕度的概念。上一页下一页返回5.5控制系统的相对稳定性5.5.1相位裕度幅值穿越频率：开环频率特性幅值为1时的角频率，即极坐标图与单位圆的交点的角频率，如图5-16所示，记为ωc

。图5-17的波特图中，幅值穿越频率为幅频特性曲线穿越0dB线的频率点。相位裕度：开环频率特性在ωc处的相位角与-180°之差，记为γ，有 （5-33）相位裕度在波特图上的表示如图5-17所示。对于开环稳定的系统，相位裕度为正时闭环系统稳定，图5-16和图5-17中画的都是相位裕度为正时的情况。一般要求相位裕度在 范围内系统的动态性能较好。上一页下一页返回5.5控制系统的相对稳定性5.5.2幅值裕度相位穿越频率：开环频率特性的相位为时的角频率，即极坐标图与负实轴的交点的角频率，如图5-16所示，记为ωg。图5-17的波特图中，相位穿越频率为相频特性曲线穿越线的频率点。幅值裕度：开环频率特性在ωg处的幅值的倒数，记为Kg，有 （5-34）在图5-17波特图中，幅值裕度表示为 （5-35）对于开环稳定的系统，要求幅值裕度Kg>1，或者 ，称幅值裕度为正，在波特图上与相位穿越频率ωg对应的幅频特性应在0dB线以下，如图5-17所示。一般要求幅值裕度在Kg=2~3，或者 的范围内时系统的动态性能较好。上一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标5.6.1闭环频率特性图一般情况下闭环频率特性不能够直接获得，而且在分析系统性能时也往往不需要知道闭环频率特性，一般只需知道开环频率特性就可以了，这在后面介绍开环频率特性与系统动态特性的关系时会加以说明。闭环频率特性图一般来自于开环频率特性，对于图5-9所示的单回路负反馈系统，闭环传递函数为 （5-36）先设H(s)=1，即闭合系统为单位负反馈，则 （5-37）下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标设开环频率特性为 ，则 （5-38）因此闭环系统幅值特性为 （5-39）设M为固定常数，当M≠1时，则式（5-39）可化为 （5-40）当M=1时，式（5-39）可化为 （5-41）上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标可见当时，U和V满足直线式（5-41）的方程，当M≠1时，U和V满足一组圆式（5-40）的方程。类似等高线原理，针对一组预先设定的M值，在 平面上作满足式（5-40）的圆或式（5-41）的直线，如图5-18所示，称为等M圆。若已知单位负反馈系统开环频率特性，在等M圆图上作极坐标图，如图5-18所示，曲线与各等M圆形成一组交点，取各交点所对应的M值和频率ω，就获得了闭环频率特性。由式（5-40）知，当M→∞时，等M圆的圆心趋于（-1，j0）点。因此当开环极坐标图靠近（-1，j0）点时，闭环幅值也趋于无穷大，系统趋于临界稳定，这样的分析结果与前面讨论稳定裕度时的结果是一致的。上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标当闭环系统并非单位负反馈时，式（5-36）可改写为 （5-42）由 的频率特性从等M圆获得的频率特性 ，再结合 的频率特性，就可获得式（5-42）的闭环频率特性。由式（5-36），可以有这样的结果 （5-43）上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标可见，当 时，系统频率特性取决于反馈通道的特性。开环幅值特性一般情况下在低频和中低频区域有 的特性，而系统动态特性也往往体现在低频和中低频区域，因此，一个系统动态性能的好坏在很大程度上取决于反馈通道（这在系统灵敏度分析时也有类似的结论）。一个闭环系统的反馈通道一般是指测量通道，这个结论说明，在设计一个控制系统时，首先把测量通道的性能做到最好是获得一个良好系统的前提。一般情况测量通道都能够做到快速、精确的性能，因此，相对前向通道而言，反馈通道可以忽略其动态特性而变为1或常数。但是当反馈通道特性不好时，往往需要采取一些特殊的补偿方法。当 时往往在高频区，由于H(s)一般有比G(s)更宽的频响特性，因此在 时也有 ，闭环系统也已经大大衰减了。上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标闭环系统的频率特性一般有图5-19中两种形状，图中曲线1表示闭环幅频特性随频率增加单调下降；曲线2先上升，过频率点ωr后再下降。5.3节中二阶振荡系统的频率特性（图5-6）就具有曲线2的特点。称ωr为谐振频率，对应的幅值称为谐振峰值。频率为0对应的幅值 称为零频值。当幅频特性曲线衰减到

时，对应的频率ωb称为截止频率，频率范围(0,ωb)也称为闭环系统的带宽。由图5-19可以看到，在频率大于ωb后系统衰减得较快，因此对于高于截止频率的信号，系统输出呈较大衰减。上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标对一个闭环系统，往往是要求输出能够最大程度地复现输入信号，反映在频率特性上就是要求在0～∞范围内幅频特性都是1或常数，相频特性都为 。当然，实际的物理系统是不可能做到的。而系统的带宽反映了输出复现输入信号的能力，从这个角度讲，系统的带宽是越大越好；但是在有高频干扰的情况下需要系统对干扰能够进行有效的抑制，这时带宽就不一定越大越好了，可能需要一定的折中。上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标5.6.2频率特性与控制系统性能指标之间的关系前面时域分析中系统的稳态性能指标是稳态误差ess和开环放大系数K；动态性能指标有最大超调量σp、过渡过程时间ts、上升时间tr、峰值时间tp和振荡次数N等。系统频域的性能指标主要包括两类：开环指标和闭环指标。开环指标有幅值穿越频率ωc、相位裕度γ、相位穿越频率ωg和幅值裕度Kg，其中和较常用。闭环指标有谐振频率ωr、谐振峰值Mr和截止频率ωb（带宽）。对于一个标准的二阶单位负反馈系统，如图5-20所示，可以导出频域性能指标与系统参数之间的关系式为 （5-44） （5-45）上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标

（5-46） （5-47） （5-48）对比二阶振荡系统的时域性能指标，可以发现与频域性能指标间有以下关系：（1）σp

、γ和Mr都仅由ζ唯一确定，因此它们之间也存在一一对应关系。（2）ωc

、ωr和ωb在系统阻尼比ζ一定的情况下都仅与ωn有关，因此它们的大小也是相互对应的，如当ζ=4时， ；同时，它们还和过渡过程时间相对应，如 （5-49）上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标可见穿越频率越大，过渡过程时间越短；同样，系统带宽越大，过渡过程时间越短。由此可以进一步总结出以下结论。（1）表示系统阻尼大小的指标有：ζ、σp

、γ和Mr

。（2）表示系统响应快慢的指标有：ts、ωc

、ωr和ωb

。（3）在ζ一定时，ωc

、ωr和ωb越大，系统响应越快。对于一般的高阶系统，可以采用以下经验公式进行性能指标之间的换算 （5-50） （5-51） （5-52）上一页下一页返回5.6频率特性与控制系统性能指标例5.9考察雕刻机控制系统，图5-21给出了雕刻机控制系统的框图模型。本例的设计目标是：用频率响应法选择增益的值，使系统阶跃响应的各项指标保持在允许的范围内。设计的基本思路是：首先选择增益的初始值，绘制系统的开环和闭环Bode图，然后用闭环Bode图来估算系统时间响应的各项指标；若得到的系统不能满足设计要求，则调整的取值，再重复前面的设计过程；最后，再利用实际计算来检验设计结果。为此，我