自动控制原理-第9章

第9章非线性控制系统前面各章研究了线性系统的建模、分析与设计问题，但实际上，几乎所有现实的物理系统及组成系统的所有元器件都在不同程度上具有非线性特性，因此非线性控制系统广泛存在。如果系统在工作范围内点点存在导数，那么可以将系统进行线性化处理，将其视为线性系统，按照线性系统的理论对系统进行分析与综合。这种非线性称为非本质非线性，而当系统在工作范围内不存在点点可微，也就是说，不能够进行线性近似时，这种非线性称为本质非线性。这一章讨论几种典型的本质非线性特性。返回上一页9.1非线性系统概述9.1.1典型的非线性特性1.饱和特性当输入信号在一定范围内变化时，具有饱和特性环节的输入输出呈现线性关系。当输入信号的绝对值超过线性区继续增大时，输出量趋于某一常数值，饱和特性如图9-1所示。其数学表达式为其中， 为线性区；k为线性区增益；x(t)为输入信号；y(t)为输出信号。一般放大器的执行元件都具有饱和特性，有时在系统工作中，也会人为地引入饱和特性，对控制信号进行限幅，保证系统元件在额定工作条件下安全运行。下一页返回9.1非线性系统概述2.死区特性死区特性又称为不灵敏特性，当输入信号很小时，元件没有输出信号，当输入信号绝对值增加到某个值以上时，该元件才有输出，此时输入输出为线性关系，死区特性如图9-2所示。其数学表达式为图中， 为死区或不灵敏区；k为线性增益。死区特性常见于许多控制系统中的测量元件、执行元件，如测量元件的不灵敏区，伺服电机的死区电压（启动电压）。一般情况下要考虑死区对系统性能的影响，在工程实践中，有时为了提高系统的抗干扰能力，会人为地引入或增大死区。上一页下一页返回9.1非线性系统概述3.间隙特性间隙特性表现出正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入输出关系上出现闭合回路，即输入输出关系不是单值对应的，又称为滞环特性。间隙特性如图9-3所示。其数学表达式为图中：间隙宽度为2a；k为线性增益。这类特性表明，当系统静止时，输入信号开始作用，且当输入信号小于间隙a时，输出为0；当输入信号大于间隙a时，输出随输入作线性变化。当输入反向时，其输出保持在方向变化时的输出值上，直到输入反向运动到2a后，输出才作线性变化。间隙特性常存在于齿轮传动机构中，为保证转动灵活不发生卡死现象，齿轮之间有少量的间隙，当主动轮改变方向时，从动轮保持原位不动，直到间隙消除之后才改变方向。除了齿轮传动中的间隙外，电磁元件的磁滞、液压传动中的油隙均属于这类特性。上一页下一页返回9.1非线性系统概述4.继电器特性继电器工作的输入输出特性称为继电器特性。继电器的类型较多，从输入输出特性看可以分为如下几种类型。（1）理想继电器特性（2）具有死区的继电器特性（3）具有滞环的继电器特性上一页下一页返回9.1非线性系统概述（4）具有死区和滞环的继电器特性4种继电器特性如图9-4所示。继电器特性中死区的存在是由于继电器线圈需要一定数量的电流才能产生吸合作用。滞环的存在是由于铁磁元件磁滞特性使继电器的吸上电流与释放电流不一样大。上一页下一页返回9.1非线性系统概述9.1.2非线性系统的特点非线性系统与线性系统相比，有许多特点。1.稳定性在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与初始条件和输入信号无关，但非线性系统则不同，其稳定性不仅与系统结构参数有关，并且还与输入信号和初始条件有关。系统在某些初始条件或输入信号下是稳定的，而在另一些初始条件或输入信号下却是不稳定的。上一页下一页返回9.1非线性系统概述2.动态响应线性系统的动态过程与输入信号、初始条件无关。运动状态或收敛于平衡状态或发散，只有当系统处于临界稳定时，才会出现等幅振荡。但实际上，只要系统参数稍有变化，系统状态要么发散，要么变为收敛，不能持续保持等幅振荡状态。而对于非线性系统，由于振荡的振幅将受到非线性特性的限制，即使没有受到外界作用，也可能产生具有一定频率和振幅的稳态振荡，这种振荡称为自持振荡、自振荡或自激振荡。它们的出现和自振荡幅值与初始条件和输入的幅度大小有关，改变系统结构，参数能够改变这种自激振荡的振幅和频率。自激振荡是非线性系统研究的重要内容之一。通常情况下，系统正常工作时不希望产生自激振荡，要想办法抑制它，但在有些情况下，为达到某种目的，却特意引用自激振荡。上一页下一页返回9.1非线性系统概述3.频率响应频率响应又叫正弦稳态响应。对于线性系统，当输入信号为正弦信号时，其输出的稳态分量是同频率的正弦信号。而对于非线性系统，当输入信号是正弦信号时，其稳态输出通常是含有高次谐波分量的非正弦周期函数。4.叠加原理对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，其基本特性就是叠加原理。对于非线性系统，不能使用叠加原理。上一页返回9.2非线性系统的分析方法9.2.1描述函数法描述函数法是一种频域分析方法，是线性环节频率特性法在非线性特性中的推广。其基本思想是在一定条件下用非线性环节在正弦信号作用下输出信号的基波分量代替整个输出，得出非线性环节的等效近似频率特性。在应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统必须满足以下条件：（1）非线性系统的结构要简化为只有一个非线性环节N和一个线性部分G(s)相串联的闭环结构，如图9-5所示。（2）非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即 ，由此可以保证非线性环节在正弦输入信号作用下的输出不含直流分量，即输出的平均值为零。下一页返回9.2非线性系统的分析方法（3）系统的线性部分具有良好的低通特性，这样当非线性元件输出的高次谐波通过线性部分后被大大削弱。线性部分的低通滤波性越好，描述函数法分析结果越准确。（4）非线性环节中不包含储能元件，其输出与输入信号的频率无关。非线性环节的描述函数计算按以下步骤进行。第一步：设非线性环节的输入信号为正弦信号

e(t)=Asinω0t则非线性环节的输出是一个非正弦周期函数。第二步：将x(t)展开成傅里叶级数 上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法式中，A0是直流分量。由于非线性环节的输入输出是奇对称的，所以A0=0。另外由傅里叶级数展开式可以看出，非线性环节的输出不仅含有基波分量，而且还含有高次谐波分量，通过线性部分后，使高次谐波分量大为衰减。上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法第三步：取傅里叶级数中的基波，给出描述函数定义式，求得其描述函数。此时输出的基波分量为其中：类似于线性环节频率特性的定义，非线性环节的描述函数定义为非线性环节输出的基波分量与正弦输入的复数化，记为N(A)。上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法当 时，N是一个复数。如果非线性特性为单值奇函数时，A1=0， ，于是有NA=B1/A，这时的描述函数是一个实函数，输出的基波信号x1(t)与输入正弦信号e(t)是同相位的。典型非线性环节的描述函数见表9-1。上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法9.2.2组合非线性特性的描述函数当非线性系统中含有两个或两个以上非线性环节时，要求出等效的非线性特性的描述函数。1.非线性环节并联两个非线性环节并联的系统如图9-6所示。当输入为x(t)时，两个环节的输出基波分量分别是输入信号乘以各自的描述函数，即总的输出基波分量为 ，即非线性环节并联后总的描述函数等于各非线性环节描述函数之和。上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法2.非线性环节串联串联非线性环节总的描述函数不等于每个非线性环节描述函数的乘积，应当首先求出串联非线性环节的等效非线性特性，然后根据等效非线性特性求出总的描述函数。并且如果环节串联顺序发生变化，则等效的非线性特性会不相同，总的描述函数也不一样。非线性环节串联如图9-7所示。例9.1两个非线性环节并联如图9-8所示，求等效的非线性特性。解：由于非线性特性具有对称性，所以给出正半周期表达式。上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法假设 ，则等效特性图如图9-9所示。例9.2两个非线性环节以如图9-10所示的两种顺序串联，求等效的非线性特性。解：第（1）种情况令上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法当 ，即y≥s时，z=M。当 ，即0≤y<s时，z=0。根据对称性，等效的非线性特性如下等效特性图如图9-11所示。上一页下一页返回9.2非线性系统的分析方法第（2）种情况当y≥s时，y=M，因为M>s，所以当x<s时，y=0,z=0。故等效非线性特性为等效特性图如图9-12所示。上一页返回9.3用描述函数法分析稳定性9.3.1非线性系统的稳定性分析描述函数法本质上是一种频率响应法，用描述函数法分析非线性系统的稳定性实质上是线性系统奈奎斯特稳定判据在非线性系统中的推广。用描述函数法分析非线性系统时，首先将系统简化为如图9-13所示结构，其中：N(A)为等效非线性部分；G(s)为等效线性部分。采用描述函数法，系统的闭环频率响应为系统的特征方程为： 或 。其中-1/NA称为非线性特性的负倒描述函数，复平面上-1/NA的轨迹是稳定的临界线，因此可以利用-1/NA轨迹 与轨迹之间的相对位置来判别系统稳定性。下一页返回9.3用描述函数法分析稳定性为了判别系统的稳定性，画出-1/NA和G(jω)的轨迹，如图9-14所示3种情况。判断非线性系统稳定性的方法如下：（1）如果在复平面上，-1/NA曲线不被G(jω)的曲线包围，如图9-14（a）所示，则非线性系统是稳定的。（2）如果在复平面上，-1/NA曲线被G(jω)的曲线包围，如图9-14（b）所示，则非线性系统是不稳定的。（3）如果在复平面上，-1/NA曲线与G(jω)曲线相交，如图9-14（c）所示，则在非线性系统中产生周期性振荡，振荡的振幅由-1/NA曲线交点处对应的A值决定，振荡的频率由G(jω)曲线交点处的ω值决定。上一页下一页返回9.3用描述函数法分析稳定性9.3.2自持振荡分析若复平面中-1/NA曲线与G(jω)曲线相交，即方程

有解，则交点处对应着等幅振荡，其方程的解ω和A分别对应着这个周期运动信号的频率和振幅。若系统受到一个瞬时扰动偏离原来状态，扰动消失后，系统又恢复到原来频率和振幅的等幅持续振荡，则该稳定的等幅振荡被称为自持振荡；反之，若该振荡不能稳定地存在，则必然转移到其他运动状态。其他状态有可能是由原来的周期运动变为收敛、发散或另一稳定的周期状态。上一页下一页返回9.3用描述函数法分析稳定性以图9-15为例，图中-1/NA与G(jω)有两个交点a和b，它们对应于不同的振荡频率和振幅。设a点的振幅及频率为Aa与ωa，b点的振幅及频率为Ab与ωb，在这两点产生的周期运动是否为自持振荡，需要进行具体分析。首先来看a点，如果受到一个轻微的扰动使振荡的振幅略有增大，这时工作将沿-1/NA曲线上A增大的方向移动到c点，由于c点不被G(jω)所包围，系统稳定，所以响应要收敛，振幅要衰减，逐步恢复到Aa，返回工作点a；若由于扰动使振荡的振幅略有减小，则工作点将沿-1/NA曲线由a点转移到d点，由于d点被G(jω)所包围，系统不稳定，响应要发散，振幅将变大，工作点又从d点返回a点。由此可见a是稳定工作点，可以形成稳定的自持振荡。上一页下一页返回9.3用描述函数法分析稳定性用同样的方法可以分析b点，可知b点的振荡状态将随扰动作用如此变化，扰动使振幅增大时，b点转移到振幅更大的点c；扰动使振幅减小时，b点转移到振幅衰减的点f，因此b点对应的周期振荡不是稳定的，在b点不产生自持振荡。由上述分析可知，如图9-15所示的系统最终呈现两种可能的运动状态：当扰动较小时，即扰动振幅小于Ab时，系统收敛，不出现自持振荡；当扰动较大，其振幅超过Ab时，系统将出现自持振荡，其振幅为Aa，频率为ωa。上一页下一页返回9.3用描述函数法分析稳定性若将G(jω)曲线包围的区域看成是不稳定区域，不被G(jω)曲线包围的区域看成是稳定区域，如图