核心素养导向的九年级数学深度教学设计：待定系数法求二次函数解析式的探究与应用

核心素养导向的九年级数学深度教学设计：待定系数法求二次函数解析式的探究与应用

  一、教学全景深度分析

  （一）课程标准与核心素养关联性解读

  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“函数”主题下的核心知识板块。课标明确要求：“会用待定系数法确定二次函数的表达式。”这一要求并非孤立的技能习得，而是承载着多重核心素养的发展使命。从“数学抽象”角度看，将具体情境中的数据点抽象为函数图象上的坐标，进而抽象为关于待定系数的方程或方程组，是数学化过程的关键体现。在“逻辑推理”层面，学生需要理解为何需要两个点确定一次函数、三个点确定二次函数，其背后是求解线性方程组解的唯一性条件，蕴含着深刻的方程与函数思想。至于“数学建模”，待定系数法是构建函数模型以描述和解决现实问题的一项核心工具，学生通过“设-列-解-代-答”的规范步骤，完整经历从现实世界到数学世界，再回归现实世界的建模循环。“数学运算”素养则贯穿始终，涉及解二元、三元一次方程组等基础运算，要求准确、熟练且能选择最优算法。

  （二）教材知识结构与逻辑脉络剖析

  在浙教版九年级上册教材体系中，本节内容是二次函数全章承上启下的枢纽。在此之前，学生已系统学习二次函数的定义、图象及其基本性质（开口、顶点、对称轴、增减性），并掌握了形如$y=ax^2$、$y=ax^2+k$、$y=a(x-h)^2$、$y=a(x-h)^2+k$的图象特征。这些顶点式形式虽直观，但均假设顶点已知或位于原点，其普适性有限。待定系数法的引入，正是为了突破这一局限，赋予学生求解任意条件下二次函数解析式的普适工具。它上承函数图象与性质，下启二次函数与一元二次方程、不等式的关系以及复杂实际应用问题。教材通常呈现三种形式：一般式$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$、顶点式$y=a(x-h)^2+k$、交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$。教学的关键在于引导学生洞察三种形式的内在联系与选用策略，理解形式选择的优劣取决于已知条件的特征，从而培养其优化决策的数学思维。

  （三）学习者认知基础与潜在障碍诊断

  九年级学生已具备的认知基础包括：熟练掌握一次函数及其待定系数法（两点确定一直线）；能解二元、三元一次方程组；熟悉二次函数的图象是抛物线，并对其基本性质有直观认识；具备初步的数形结合思想。然而，潜在的认知障碍不容忽视：其一，思维定势迁移风险。从一次函数的“两点定一线”到二次函数的“三点定一曲线”，学生易产生“点的数量与函数次数简单对应”的浅层理解，未能深刻领悟其背后是方程组解的存在性与唯一性条件。其二，形式选择困惑。面对三种表达式，学生往往机械记忆“顶点坐标用顶点式，与x轴交点用交点式，其他用一般式”，但在条件组合复杂（如已知对称轴和另一点）或条件隐含时，便会陷入选择困难。其三，运算能力瓶颈。解三元一次方程组对部分学生仍是挑战，运算错误将直接导致探究失败，挫伤学习信心。其四，建模意识薄弱。难以将实际问题有效转化为数学条件（点的坐标），特别是如何从文字描述中提取“顶点”、“对称轴”、“最值”、“交点”等关键信息。

  二、高阶教学目标体系

  （一）知识与技能维度

  1.准确复述并理解待定系数法的基本思想与操作步骤（设、列、解、代、验）。

  2.能根据已知条件（点的坐标、对称轴、顶点、与坐标轴交点等）的特征，灵活且恰当地选择二次函数的一般式、顶点式或交点式，设立待求的解析式。

  3.通过建立并求解关于待定系数的方程或方程组，熟练、准确地求出二次函数的解析式。

  4.初步掌握将二次函数的某些几何特征（如对称轴方程、顶点坐标、与x轴交点横坐标）转化为关于系数$a,b,c$的代数等量关系的能力。

  （二）过程与方法维度

  1.经历“观察已知条件-预判函数图象-选择表达形式-建立方程求解-验证反思”的完整问题解决过程，体会策略选择与优化的必要性。

  2.通过对比用一般式、顶点式、交点式解决同一问题的不同运算过程，发展分析比较、评估最优解法的元认知能力。

  3.在解决综合性与实际应用问题的过程中，强化数学建模思想，提升从复杂情境中抽象数学关系、建立函数模型的能力。

  （三）核心素养与情感态度价值观维度

  1.深化对函数与方程内在联系的理解，进一步体认“待定系数法”作为连接函数表达式与图象（或具体数据）的桥梁作用，发展数学抽象与逻辑推理素养。

  2.在克服选择困惑和运算困难的过程中，培养严谨求实、不畏艰难的意志品质和精益求精的科学态度。

  3.通过感受二次函数模型在抛物线运动、最优化设计等现实领域的广泛应用，增强数学应用意识，体会数学的理性精神与实用价值。

  三、教学重难点及突破策略

  （一）教学重点

  1.待定系数法求二次函数解析式的思想方法与规范步骤。

  2.根据已知条件灵活选用二次函数不同形式（一般式、顶点式、交点式）的策略。

  （二）教学难点

  1.对“为何三点确定一个二次函数”的深刻理解（超越点的数量对应，触及线性方程组理论本质）。

  2.面对非标准、隐含或混合条件时，如何创造性地转化条件并选择最优表达式，以简化计算。

  3.在复杂实际问题中，准确地将文字语言翻译为关于函数解析式中参数的等量关系。

  （三）突破策略设计

  1.针对难点一（理解本质）：设计“探究与发现”活动。首先回顾一次函数，提问：“为何两个独立条件（点）能确定$y=kx+b$？”引导学生从解二元一次方程组角度理解。类比迁移：“要确定$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$，需要几个独立条件？为什么？”让学生尝试建立方程组，直观感受三个独立方程解三个未知数的必然性。可通过几何画板动态演示，过两个定点有无数条抛物线，而过三个不在一直线上的定点，抛物线唯一，从数与形两个层面强化认知。

  2.针对难点二（形式选择与条件转化）：采用“对比辨析-变式训练”法。提供一组有梯度的例题：例1，已知三点坐标（直接，用一般式）；例2，已知顶点和另一点（直接，用顶点式）；例3，已知与x轴两交点及另一点（直接，用交点式）。引导学生总结初步选择策略。随后，出示变式：已知对称轴$x=2$，抛物线过$(1,3)$和$(3,7)$两点。让学生探索：能用顶点式吗？（顶点未知）能用一般式吗？（运算量如何？）进而引导发现：利用对称性，点$(1,3)$关于$x=2$的对称点$(3,3)$也在抛物线上，从而转化为已知三点。或由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$得到一个方程，再结合两点坐标得另两个方程。通过对比，让学生领悟“条件转化”的妙处，打破形式选择的僵化思维。

  3.针对难点三（实际应用建模）：创设“问题链”情境。例如，以拱桥为背景，设计层层递进的问题：(1)已知桥拱是抛物线，跨度（与x轴交点）、拱高（顶点纵坐标）已知，求解析式（自然引出顶点式或交点式）。(2)若已知桥面宽度和离桥面一定高度的宽度，如何建立坐标系、获取点的坐标？(3)若货车要通过，其高度和宽度限制如何转化为对函数值的约束？引导学生在具体情境中逐步抽象，完成建模全过程。

  四、教学资源与技术整合应用

  1.动态几何软件（如Geogebra）：用于动态演示过两点、三点的抛物线变化情况，直观验证“三点确定一条抛物线”；快速绘制所求函数图象，与已知点叠加验证结果的正确性；展示不同形式解析式所对应图象的几何特征（顶点、对称轴、交点）。

  2.交互式白板或智慧课堂系统：实时展示学生的不同解题思路和过程，便于对比、讨论和错误分析；进行即时课堂练习反馈，统计正确率，聚焦共性问题。

  3.学习任务单：设计包含问题导学、探究活动记录、例题解析空间、变式训练题、课堂小结反思等栏目的任务单，引导学生结构化地参与学习全过程。

  4.实物模型或高清图片：如抛物线形拱桥、喷泉、弹道曲线等的图片或简单模型，增强现实感。

  五、教学实施过程详案（共两课时）

  第一课时：待定系数法原理探究与基础应用

  （一）情境唤醒，问题导引（约8分钟）

    师：同学们，在前面的学习中，我们已经认识了二次函数这位“朋友”，知道了它的图象是优美的抛物线。我们曾研究过形如$y=2x^2$，$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+3$这样的函数。请大家思考，这些表达式有什么共同特点？

    生：它们都直接告诉我们抛物线的开口方向、大小、顶点位置。

    师：非常准确！但现实生活中，我们遇到抛物线时，往往首先知道的并不是这些标准的表达式形式。请看屏幕（展示一座抛物线形拱桥的图片与数据：桥拱最高点离水面2米，水面宽4米，以最高点为原点建立平面直角坐标系）。

    师：在这个坐标系中，我们知道了抛物线顶点的坐标是？

    生：$(0,2)$。

    师：还知道抛物线经过哪些点？它们的坐标是什么？

    生：与水面相交的两点，坐标是$(-2,0)$和$(2,0)$。

    师：现在，我们想用数学解析式来描述这座拱桥的轮廓，也就是求出这个二次函数的解析式。已知顶点和另外两点，我们该如何求出这个解析式呢？这就是今天我们要共同攻克的核心课题——用待定系数法求二次函数的解析式。

  （二）温故知新，方法迁移（约10分钟）

    师：说到待定系数法，对我们来说并非完全陌生。谁能回忆一下，我们曾在哪类函数的学习中使用过它？

    生：一次函数！求一次函数$y=kx+b$$(k\neq0)$的解析式。

    师：很好！请一位同学简述一下，当时我们是如何利用待定系数法求一次函数解析式的？

    生：比如已知一次函数图象经过点$(1,2)$和$(3,6)$。先设解析式为$y=kx+b$，因为点$(1,2)$在图象上，所以$x=1,y=2$满足解析式，代入得$2=k+b$；同理，点$(3,6)$代入得$6=3k+b$。这样就得到关于$k,b$的二元一次方程组，解出$k=2,b=0$，所以解析式是$y=2x$。

    师：叙述得非常清晰！请大家提炼一下，这个过程包含了哪几个关键步骤？

    师生共同归纳（板书）：

    1.设：设出含有待定系数的函数解析式。

    2.列：将已知点的坐标代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组。

    3.解：解这个方程或方程组，求出待定系数的值。

    4.代：将求出的待定系数值代回所设的解析式。

    5.验（可选但重要）：验证所得解析式是否满足其他已知条件或合理性。

    师：这就是待定系数法的通用“五步曲”。其核心思想是：先设定一个含有未知系数（待定系数）的通用形式，然后利用已知条件（点坐标满足解析式）构造方程，通过解方程来确定这些系数。这是一个典型的方程思想解决函数问题的范例。

  （三）类比探究，建立新知（约20分钟）

    活动一：从“两点定一线”到“三点定一曲线”

    师：一次函数$y=kx+b$中有两个待定系数$k$和$b$，所以需要两个独立条件（通常为两个点的坐标）来列方程组求解。那么，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$，它有几个待定系数？

    生：三个，$a,b,c$。

    师：因此，原则上我们需要几个独立条件？

    生：三个。

    师：是的，需要三个独立条件。最常见的条件就是三个点的坐标。让我们回到最初的拱桥问题。已知顶点$(0,2)$，以及点$(-2,0)$和$(2,0)$。我们如何用待定系数法求解？

    （学生尝试，教师巡视。预设大部分学生直接设一般式$y=ax^2+bx+c$）

    师：我看到很多同学设了$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$。将三个点坐标代入：

    代入$(0,2)$得：$c=2$。

    代入$(-2,0)$得：$0=4a-2b+2$。

    代入$(2,0)$得：$0=4a+2b+2$。

    解得：$a=-\frac{1}{2},b=0,c=2$。所以解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。

    师：解得很好。但我们注意到，顶点$(0,2)$是特殊的点。我们之前学过的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$就是顶点坐标。针对这个已知顶点的问题，有没有更简洁的设法？

    生：可以设顶点式！因为顶点是$(0,2)$，所以设解析式为$y=a(x-0)^2+2$，即$y=ax^2+2$。

    师：太棒了！这样设有什么好处？

    生：待定系数只剩下$a$一个了！只需要一个点就能求出来。

    师：对，我们用点$(2,0)$代入$y=ax^2+2$，得$0=4a+2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。立刻得到解析式$y=-\frac{1}{2}x^2+2$。对比两种方法，你有什么感受？

    生：用顶点式简单多了，只解一个一元一次方程。

    师：这给我们一个重要的启示：选择决定效率！根据已知条件的特征，选择合适的表达式形式，能极大简化计算。

    活动二：二次函数解析式的三种形式及其适用条件探究

    师：除了我们刚才用过的一般式$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$和顶点式$y=a(x-h)^2+k$，二次函数还有第三种常见形式——交点式（或两根式）。当已知抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(x_1,0)$和$(x_2,0)$时，可以设解析式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$(a\neq0)$。请大家思考，为什么可以这样设？

    生：因为当$x=x_1$或$x=x_2$时，函数值$y=0$，符合与$x$轴交点的定义。

    师：没错。这实际上是二次函数与一元二次方程根的关系的体现。现在，我们小组合作，完成下表（在学习任务单上），归纳三种形式的特征与适用条件。

    （虚拟生成小组讨论结果，教师引导完善）

    |解析式形式|待定系数|形式特征|适用条件（已知信息）|

    |:---|:---|:---|:---|

    |一般式$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$|$a,b,c$|普适形式|已知图象上任意三点的坐标|

    |顶点式$y=a(x-h)^2+k$$(a\neq0)$|$a,h,k$|直接给出顶点坐标$(h,k)$|已知顶点坐标和图象上另一点的坐标|

    |交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$(a\neq0)$|$a,x_1,x_2$|直接给出与x轴交点横坐标|已知抛物线与x轴两交点坐标及图象上另一点的坐标（注：$x_1,x_2$由已知交点给出，并非新待定系数）|

    师：需要强调的是，交点式中$x_1,x_2$通常是已知数，真正的待定系数只有$a$。另外，顶点式和交点式都可以通过展开化为一般式，它们是等价的，只是形式不同，各有便利之处。

  （四）初步应用，规范内化（约15分钟）

    例题精讲1：已知二次函数图象经过点$A(-1,-5)$，$B(0,-4)$，$C(2,2)$，求这个二次函数的解析式。

    师：请大家独立审题，判断应选用哪种形式？为什么？

    生：已知三个任意点，没有顶点或交点信息，选用一般式。

    （教师板演规范过程，强调书写步骤）

    解：设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$$(a\neq0)$。

    将$A(-1,-5)$，$B(0,-4)$，$C(2,2)$三点的坐标分别代入得：

    $\begin{cases}a-b+c=-5\c=-4\4a+2b+c=2\end{cases}$

    解这个方程组，得：$a=1,b=-2,c=-4$。

    所以，所求二次函数解析式为$y=x^2-2x-4$。

    （验证：将三个点坐标分别代入$y=x^2-2x-4$，均成立。）

    例题精讲2：已知抛物线的顶点坐标为$(-2,3)$，且过点$(-1,5)$，求此抛物线的解析式。

    （学生口答思路：选用顶点式。设$y=a(x+2)^2+3$，代入$(-1,5)$求$a$。教师板演关键步骤。）

    解：设抛物线解析式为$y=a(x+2)^2+3$。

    将点$(-1,5)$代入，得：$5=a(-1+2)^2+3$，即$5=a+3$。

    解得：$a=2$。

    所以，抛物线解析式为$y=2(x+2)^2+3$。

    例题精讲3：已知抛物线与$x$轴交于点$A(-3,0)$，$B(1,0)$，且经过点$C(2,10)$，求抛物线的解析式。

    （学生口答思路：选用交点式。设$y=a(x+3)(x-1)$，代入$(2,10)$求$a$。教师板演关键步骤。）

    解：设抛物线解析式为$y=a(x+3)(x-1)$。

    将点$C(2,10)$代入，得：$10=a(2+3)(2-1)$，即$10=5a$。

    解得：$a=2$。

    所以，抛物线解析式为$y=2(x+3)(x-1)$，即$y=2x^2+4x-6$。

  （五）课堂小结与作业布置（约7分钟）

    师：通过第一课时的学习，请大家反思并分享：你学到了什么？在方法选择上有什么新的认识？

    生1：我学会了用待定系数法求二次函数解析式的完整步骤。

    生2：我知道了二次函数有三种表达式，要根据题目给的条件选择最简单的一种。

    师：总结得很好。核心是：审题时先分析已知条件的特征，是任意三点？还是顶点+一点？或是与x轴交点+一点？根据特征灵活选用形式，优化计算。

    布置作业：

    1.基础巩固：教材课后练习中关于直接给出三种典型条件的题目各2道。

    2.预习思考：如果已知条件不是直接给出点的坐标，而是给出“对称轴为直线$x=1$”、“函数最大值为4”、“图象与y轴交于点$(0,-2)$”等，该如何处理？

  第二课时：条件转化、综合应用与建模实践

  （一）思维进阶：非标准条件的转化策略（约15分钟）

    师：上节课我们处理的条件都比较直接。今天我们来挑战一些“伪装”过的条件。请看问题：

    引例：已知二次函数图象的对称轴是直线$x=2$，且经过点$(1,4)$和$(3,2)$，求这个二次函数的解析式。

    （学生思考尝试，可能出现不同思路，教师组织交流）

    思路一（利用对称性求点）：

    生：因为对称轴是$x=2$，点$(1,4)$关于直线$x=2$的对称点是$(3,4)$。所以抛物线实际上经过$(1,4)$，$(3,4)$和$(3,2)$吗？不对，$(3,2)$是已知的，这样就有两个点$(3,4)$和$(3,2)$横坐标相同但纵坐标不同，这不可能是同一个函数图象上的点。我的推理有问题。

    师：大家检查一下，点$(1,4)$关于$x=2$的对称点横坐标应为$2\times2-1=3$，纵坐标不变，确实是$(3,4)$。但题目已给出另一个点$(3,2)$，这意味着什么？

    生：这意味着要么我找的对称点不对，要么题目给出的点$(3,2)$并不是我们想找的对称点。实际上，已知点$(3,2)$并不一定和$(1,4)$成对出现。我们只能确定，如果有一个点$(x_0,y_0)$在图象上，那么它关于$x=2$的对称点$(4-x_0,y_0)$也在图象上。但题目只给了两个点，我们不能擅自给其中一个点制造对称点，除非我们能证明这两个点恰好关于$x=2$对称。显然$(1,4)$和$(3,2)$不对称。

    师：分析得非常严谨！所以直接利用对称性构造第三个点行不通。那我们换一个角度。

    思路二（利用对称轴公式结合一般式）：

    生：我们可以设一般式$y=ax^2+bx+c$。对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$，得到第一个方程：$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$。

    将点$(1,4)$代入：$4=a+b+c$。

    将点$(3,2)$代入：$2=9a+3b+c$。

    将$b=-4a$代入后两个方程，得到关于$a,c$的二元一次方程组：

    $\begin{cases}a-4a+c=4\9a-12a+c=2\end{cases}$即$\begin{cases}-3a+c=4\-3a+c=2\end{cases}$

    师：大家看这个方程组，两个方程左边完全一样，右边却一个是4一个是2，这说明了什么？

    生：矛盾！这个方程组无解。

    师：这怎么可能？题目给出的条件应该是合理的。问题出在哪里？我们重新审视“对称轴是直线$x=2$”这个条件。在顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，对称轴就是$x=h$。我们能否直接利用这个？

    思路三（选用顶点式）：

    生：可以！因为对称轴是$x=2$，所以顶点横坐标$h=2$。设顶点式$y=a(x-2)^2+k$。

    将两点$(1,4)$和$(3,2)$代入：

    $\begin{cases}4=a(1-2)^2+k\2=a(3-2)^2+k\end{cases}$即$\begin{cases}4=a+k\2=a+k\end{cases}$

    师：又出现了矛盾！$a+k$既等于4又等于2。这到底是怎么回事？难道题目真的出错了？

    （让学生陷入认知冲突，教师引导深入思考）

    师：我们冷静分析。对称轴$x=2$意味着所有横坐标关于2对称的点，纵坐标相等。也就是说，对于函数值，有$f(2+t)=f(2-t)$。那么，点$(1,4)$的对称点应是$(3,4)$，但题目给出的另一个点是$(3,2)$，这意味着什么？

    生：哦！我明白了！如果函数同时经过$(1,4)$和$(3,2)$，且对称轴是$x=2$，那么根据对称性，点$(3,2)$关于$x=2$的对称点$(1,2)$也应该在图象上。这样，函数就同时经过了$(1,4)$和$(1,2)$，这是两个横坐标相同但纵坐标不同的点，这违反了函数的定义（一个$x$对应唯一$y$）！所以，根本不存在同时满足“对称轴为$x=2$”且“经过$(1,4)$和$(3,2)$”的二次函数！

    师：了不起的发现！这提醒我们，题目给出的条件之间必须相容（不矛盾）。我们通过逻辑推理发现了条件的不相容性。这是一个非常重要的教训：用待定系数法求解时，如果列出的方程组矛盾，说明已知条件本身可能存在问题，或者我们的理解、转化有误。请大家务必养成验证的好习惯。现在，我们把点$(3,2)$改成$(3,4)$，再试试。

    （学生迅速求解，得出$y=-2(x-2)^2+6$等正确结果）

    师：通过这个波折的例子，我们学到：第一，对于“对称轴”、“顶点”、“最值”等条件，要善于转化为$h,k$或$a,b,c$的关系式；第二，当条件复杂时，要警惕条件间的相容性；第三，顶点式在处理对称轴、顶点相关问题时往往更直接。

  （二）综合应用，融会贯通（约20分钟）

    例题4（混合条件）：已知二次函数当$x=1$时，有最大值$4$，且图象与$y$轴交于点$(0,3)$，求此函数的解析式。

    （引导学生分析：“当$x=1$时，有最大值4”等价于顶点坐标为$(1,4)$，且开口向下$a<0$。已知顶点和与y轴交点，选用顶点式。）

    解：由题意，顶点为$(1,4)$，且$a<0$。设解析式为$y=a(x-1)^2+4$。

    将点$(0,3)$代入：$3=a(0-1)^2+4$，得$3=a+4$，解得$a=-1$。

    所以，函数解析式为$y=-(x-1)^2+4$，即$y=-x^2+2x+3$。

    师：这里$a=-1<0$，符合开口向下有最大值的条件。

    例题5（实际建模）：一座抛物线型拱桥如图所示，桥拱最高点$C$离水面$AB$的高度$h$为$4$米，跨度$AB$为$12$米。以$AB$所在直线为$x$轴，$AB$的中垂线为$y$轴建立直角坐标系。

    (1)求该抛物线的解析式；

    (2)若水面上升$1$米，则此时水面宽度$DE$是多少米？

    （师生共同分析建模过程）

    解：(1)由题意，顶点$C$坐标为$(0,4)$，点$A$坐标为$(-6,0)$，点$B$坐标为$(6,0)$。已知顶点和与x轴交点，可选用顶点式或交点式。

    解法一（顶点式）：设抛物线解析式为$y=ax^2+4$。将$B(6,0)$代入：$0=36a+4$，解得$a=-\frac{1}{9}$。所以$y=-\frac{1}{9}x^2+4$。

    解法二（交点式）：设抛物线解析式为$y=a(x+6)(x-6)$。将顶点$(0,4)$代入（或理解因对称性顶点在$y$轴上，横坐标为0）：$4=a(0+6)(0-6)$，得$4=-36a$，解得$a=-\frac{1}{9}$。所以$y=-\frac{1}{9}(x+6)(x-6)$，即$y=-\frac{1}{9}x^2+4$。

    (2)水面上升1米，即$y=1$。代入解析式：$1=-\frac{1}{9}x^2+4$，解得$x^2=27$，故$x=\pm3\sqrt{3}$。所以$DE=|2\times3\sqrt{3}|=6\sqrt{3}$（米）。

  （三）变式拓展，深化思维（约10分钟）

    探究题：在例题5中，如果我们不选择以$AB$中垂线为$y$轴，而是以点$A$为原点，$AB$方向为$x$轴正方向建立直角坐标系（如图），那么抛物线的解析式又该如何求？此时顶点坐标、$B$点坐标分别是什么？求出的解析式与之前的形式不同，它们描述的是同一座桥拱吗？

    （学生分组讨论，尝试建立新坐标系下的模型）

    师：在新坐标系下，$A(0,0)$，$B(12,0)$，顶点$C$的横坐标为$6$，纵坐标仍为$4$，故顶点$C(6,4)$。

    已知与x轴交点$(0,0)$和$(12,0)$，可设交点式$y=a(x-0)(x-12)=ax(x-12)$。

    代入顶点$(6,4)$：$4=a\cdot6\cdot(6-12)=a\cdot6\cdot(-6)=-36a$，解得$a=-\frac{1}{9}$。

    所以解析式为$y=-\frac{1}{9}x(x-12)=-\frac{1}{9}x^2+\frac{4}{3}x$。

    师：对比$y=-\frac{1}{9}x^2+4$和$y=-\frac{1}{9}x^2+\frac{4}{3}x$，形式不同，但它们通过坐标平移变换可以相互转化。这深刻地说明：坐标系的选择会影响函数解析式的具体形式，但抛物线的几何本质（形状、大小、相对位置）不会改变。建立合适的坐标系可以简化计算，这是数学建模中的重要技巧。

  （四）课堂总结与升华（约5分钟）

    师：经过两课时的深度学习，我们对“待定系数法求二次函数解析式”有了更全面的认识。请大家用思维导图或关键词的方式，总结你的收获。

    （引导学生从知识、方法、思想、易错点等方面总结）

    知识：三种形式（一般、顶点、交点）及其适用条件。

    方法：待定系数法五步曲（设、列、解、代、验）；条件转化策略（对称轴→$h$或$-\frac{b}{2a}$，最值→$k$，交点→$x_1,x_2$）。