高中圆锥曲线试题及答案

高中圆锥曲线试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦距为（）A.4B.6C.8D.102.双曲线\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)3.抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点坐标是（）A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)4.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e=\frac{1}{2}\)，则\(\frac{b^{2}+1}{3a}\)的最小值为（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.1C.\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)D.25.设双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的虚轴长为2，焦距为\(2\sqrt{3}\)，则双曲线的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\sqrt{2}x\)B.\(y=\pm2x\)C.\(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x\)D.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)6.已知抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)上一点\(M(1,m)\)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（）A.\(x=8\)B.\(x=-8\)C.\(x=4\)D.\(x=-4\)7.椭圆\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)上一点\(P\)到一个焦点的距离为5，则\(P\)到另一个焦点的距离为（）A.3B.4C.5D.68.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线与直线\(x-2y+1=0\)平行，则双曲线的离心率为（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)9.抛物线\(y=\frac{1}{4}x^{2}\)的准线方程是（）A.\(y=-1\)B.\(y=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=1\)10.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m\gt0)\)的左焦点为\(F_{1}(-4,0)\)，则\(m\)的值为（）A.2B.3C.4D.9二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于圆锥曲线的说法正确的是（）A.平面内到两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹是椭圆B.平面内到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)的距离相等的点的轨迹是抛物线C.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)D.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e\)越接近1，椭圆越扁2.已知抛物线\(y^{2}=4x\)，则（）A.焦点坐标为\((1,0)\)B.准线方程为\(x=-1\)C.过焦点且垂直于\(x\)轴的直线与抛物线交于\(A,B\)两点，则\(|AB|=4\)D.抛物线上一点\(P\)到焦点的距离为3，则点\(P\)的横坐标为23.对于双曲线\(\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1\)，下列说法正确的是（）A.实轴长为6B.虚轴长为8C.离心率为\(\frac{5}{3}\)D.渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)4.椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的性质正确的是（）A.长轴长为10B.短轴长为8C.焦距为6D.离心率为\(\frac{3}{5}\)5.已知双曲线\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率为\(2\)，则（）A.双曲线\(C\)的渐近线方程为\(y=\pm\sqrt{3}x\)B.直线\(y=2x\)与双曲线\(C\)有两个交点C.双曲线\(C\)的焦距为\(4a\)D.双曲线\(C\)的实轴长是虚轴长的\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)倍6.抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)上的点\(M\)到焦点的距离为2，则（）A.点\(M\)到准线的距离为2B.若点\(M\)的横坐标为1，则\(p=2\)C.焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)D.准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)7.下列关于椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)与\(\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{9}=1\)的说法正确的是（）A.的形状相同B.都有四个顶点C.焦距相等D.离心率相等8.已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)，则（）A.若\(a=b\)，则双曲线的离心率\(e=\sqrt{2}\)B.若双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，则离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)为半焦距）C.若双曲线过点\((\sqrt{2},\sqrt{3})\)，则\(a\)的值可能为1D.若双曲线的离心率\(e\in(1,2)\)，则渐近线斜率的取值范围是\((-\sqrt{3},\sqrt{3})\)9.对于抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，下列说法正确的是（）A.其焦点在\(x\)轴正半轴上B.准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)C.抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离D.当\(p\)增大时，抛物线开口变窄10.椭圆\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)\)的焦点在\(x\)轴上，则（）A.\(m\gtn\)B.离心率\(e=\sqrt{1-\frac{n}{m}}\)C.焦点坐标为\((\pm\sqrt{m-n},0)\)D.长轴长为\(2\sqrt{m}\)三、判断题（每题2分，共20分）1.平面内到两个定点\(F_1,F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹是双曲线。（）2.抛物线\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦点到准线的距离为\(p\)。（）3.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e\)的取值范围是\((0,1)\)。（）4.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线与双曲线有且只有一个交点。（）5.平面内到一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)的距离相等的点的轨迹一定是抛物线。（）6.椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的长轴长为5。（）7.抛物线\(x=4y^{2}\)的焦点坐标是\((\frac{1}{16},0)\)。（）8.双曲线\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的离心率\(e=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}\)。（）9.若椭圆\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m\gtn\gt0)\)和双曲线\(\frac{x^{2}}{s}-\frac{y^{2}}{t}=1(s\gt0,t\gt0)\)有相同的焦点\(F_1,F_2\)，\(P\)是两曲线的一个公共点，则\(|PF_1|+|PF_2|=2\sqrt{m}\)。（）10.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上任意一点到两焦点距离之和为\(2a\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的长轴长、短轴长、焦距和离心率。2.写出双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程，并说明渐近线的意义。3.已知抛物线\(y^{2}=8x\)，求其焦点坐标和准线方程。4.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((2,1)\)，求椭圆方程。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质之间的联系与区别。2.当双曲线的离心率变化时，其形状如何变化？请简要说明。3.抛物线的焦点和准线在实际生活中有哪些应用？举例说明。4.椭圆的离心率对椭圆的形状有怎样的影响？请结合图形说明。答案一、单项选择题1.C2.A3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.A10.B二、多项选择题1.ACD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.AC6.ABCD7.ABCD8.ABC9.ABC10.ABCD三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.对于椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)，\(a=5\)，\(b=4\)，则\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3\)。长轴长\(2a=10\)，短轴长\(2b=8\)，焦距\(2c=6\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。2.双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。渐近线意义：双曲线无限接近但不相交的直线，反映双曲线的变化趋势。3.抛物线\(y^{2}=8x\)，\(2p=8\)，\(p=4\)，焦点坐标为\((2,0)\)，准线方程为\(x=-2\)。4.由\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)得\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(b^{2}=a^{2}-c^{2}=\frac{1}{4}a^{2}\)，椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{4y^{2}}{a^{2}}=1\)，过点\((2,1)\)，代入得\(a^{2}=8\)，\(b^{2}=2\)，椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1\)。五、讨论题1.联系：都可由平面截圆锥面得到。区别：定义上，椭圆是两定点距离和为定值，双曲线是距离差绝对值为定值，抛物线是到定点和定直线距离相等