人工基础智能及逻辑 4

第4章描述逻辑4.1基本概念和术语

·概念、角色名称、个体名称4.2概念与解释·概念描述·解释与外延4.3知识库·4.3.1知识库及其模型·4.3.2概念的定义·4.3.3非循环TBox的消除4.4推理问题与服务·4.4.1推理问题·4.4.2推理服务4.5结语章节引言什么是描述逻辑？定义描述逻辑（DescriptionLogic）是一种用于表示和推理关于概念、概念属性和概念之间关系的知识表示形式。核心特点形式化的逻辑系统特别适用于对复杂的结构化知识进行建模应用于本体构建和语义网络以表达能力和推理能力的平衡而闻名与其他逻辑的关系与谓词逻辑关系密切与模态逻辑有重要联系（将在第二部分介绍）4.1基本概念和术语本节将从直观层面介绍描述逻辑中涉及的一些基本术语和概念。我们通过一个具体例子来理解描述逻辑的基本结构。例6：逻辑课程教与学的结构直观描述下图从直观层面描述了与逻辑课程教与学相关的一个基本结构：图示说明实线箭头：表达归属关系（如学生和老师都是人）虚线：表达不同角色的特征（如老师讲授逻辑课程，而学生则学习逻辑课程）描述逻辑的基本部件为了对类似例6中的结构进行建模和推理，描述逻辑一般需要包括如下几种部件：1.概念（Concept）如"学生"和"人工智能中的逻辑"直观上，概念与谓词逻辑中的一元谓词相似指的是由元素构成的集合包括"原子概念"和"组合概念"2.角色名称（Role）如"学习"和"讲授"直观上，角色名称与谓词逻辑中的二元谓词类似是元素间的二元关系3.个体名称用于指称基本的元素（如"小闫"和"小李"）用于表述更为具体的信息（如"小闫是老师"和"小李是学生"）4.2概念与解释ALC语言本章主要关注描述逻辑语言ALC（AttributiveLanguagewithComplement）选择ALC的原因有着较强的表达能力和相对广泛的应用与谓词逻辑语言（以及模态逻辑语言）有着良好的对应术语简化通常省略"ALC"称"ALC概念描述"为"概念描述"定义21：概念描述基本集合令$$\mathbf{C}=\{A_1,A_2,\cdots\}$$为概念名称的一个集合令$$\mathbf{R}=\{R_1,R_2,\cdots\}$$为角色名称的一个集合二者不交。概念描述的生成规则其中，$$A\in\mathbf{C}$$，$$R\in\mathbf{R}$$。概念描述的分类原子概念$$\top$$（全概念）$$\bot$$（空概念）基本概念名称$$A\in\mathbf{C}$$组合概念$$C\sqcapD$$：$$C$$和$$D$$的"交"$$C\sqcupD$$：$$C$$和$$D$$的"并"$$\negC$$：$$C$$的否定（对应于语言"ALC"中的"C"，即Complement）$$\existsR.C$$：通过$$R$$可以"到达"$$C$$中某个元素的元素$$\forallR.C$$：通过$$R$$仅能"到达"$$C$$中元素的元素注意：根据定义，角色名称$$R$$都不是概念。例7：概念的表示基本概念"S"表示"学生""T"表示"老师""R"表示"讲授""C"表示"课程"组合概念示例在例6的简单情形中："人"可以用$$S\sqcupT$$表示同一概念的不同表述也可以用$$\existsR.C$$表示"老师"它表达"讲授某门课的元素（或个体）"注记1：ALC的表达力ALC是对AL的扩充在AL（AttributiveLanguage）中：限制1：否定的限制否定"¬"仅能出现在原子概念$$A$$前但不能出现在组合概念前限制2：并运算的限制不存在概念的"并"（即$$C\sqcupD$$）限制3：存在量词的限制关于形式$$\existsR.C$$，AL仅包括一个受限制的形式$$\existsR.\top$$符号使用的特殊性本章符号使用与其他章节的不同之处：1.否定符号¬的使用其他章节：¬被用作"命题联结词"，表达命题或语句的否定，转换真值本章：$$\negC$$表示概念$$C$$的"补"，作为一个概念，$$C$$在直观上指的是个体的集合，本身不涉及真值2.量词符号∀和∃的使用第3章和其他章节：$$\forall$$和$$\exists$$都被用来对个体进行限定，符号后面紧跟的是变元，如$$\forallx$$和$$\existsy$$本章：两个符号后面紧跟的都是角色名称，如$$\existsR$$和$$\forallR$$重要说明：这里的$$\existsR$$和$$\forallR$$并不是二阶表达定义22：解释解释的定义一个解释是一个二元组$$\mathcal{I}=\Delta,I$$组成部分$$\Delta\neq\emptyset$$：一个非空的"解释域"（或"元素集"）$$I$$：一个满足以下条件的函数函数I的条件对于任意$$A\in\mathbf{C}$$，$$I(A)\subseteq\Delta$$对于任意$$R\in\mathbf{R}$$，$$I(R)\subseteq\Delta\times\Delta$$解释函数的扩展扩展到特殊概念扩展到组合概念外延的概念定义令$$\mathcal{I}=(\Delta,I)$$为一个解释。称$$I(C)$$为概念$$C$$在$$\mathcal{I}$$中的"外延"。基本性质易见，对于任意$$C$$，都有$$I(C)\subseteq\Delta$$。与谓词逻辑的对应关系概念对应于谓词逻辑中的一元谓词角色名称对应于二元谓词4.3知识库基于概念，描述逻辑可以被进一步用来构造知识库，以对具体的场景进行建模和推理。本节内容4.3.1知识库及其模型4.3.2概念的定义4.3.3非循环TBox的消除4.3.1知识库及其模型知识库的两个组成部分1.术语（Terminology）部分（TBox）一般性的、纲要式的约束用来表达"世界"的基本面貌例如：人不是课程，学生不是老师（例6）2.断言（Assertion）部分（ABox）对基本元素的性质与关系的具体描述例如：小闫是老师包含式和等式基本概念给定两个概念$$C$$与$$D$$：包含式$$C\subseteqD$$称为一个"包含式"等式如果$$C\subseteqD$$且$$D\subseteqC$$记作$$C\equivD$$称其为一个"等式"公理包含式和等式均称为"公理"定义23：TBox定义一个TBox指的是有穷的公理集。符号表示常用$$\tau,\tau_1,\tau_2$$等表示TBox。定义24：公理的解释令$$\mathcal{I}=\langle\Delta,I\rangle$$为一个解释包含式的满足$$\mathcal{I}$$满足$$C\subseteqD$$，当且仅当$$I(C)\subseteqI(D)$$等式的满足$$\mathcal{I}$$满足$$C\equivD$$，当且仅当$$I(C)=I(D)$$含义解释$$C\subseteqD$$表示$$C$$的外延包含于$$D$$的外延$$C\equivD$$则表示$$C$$与$$D$$两个概念的外延相同例8：TBox示例基本概念及其直观含义$$P$$：人$$S$$：学生$$T$$：老师$$C$$：课程$$Z$$：哲学逻辑$$AI$$：人工智能中的逻辑角色名称及其直观含义$$R$$：······讲授······$$L$$：······学习······例8：TBox$$\mathcal{T}_L$$的公理（续）TBox$$\mathcal{T}_L$$由以下公理构成：思考：读者可思考$$\mathcal{T}_L$$公理所表达的含义。定义25：TBox模型定义令$$\mathcal{I}$$为一个解释且$$\tau$$为一个TBox。如果$$\mathcal{I}$$满足$$\tau$$中的所有公理，称$$\mathcal{I}$$为$$\tau$$的一个模型。理解要点一个TBox中的公理描述了我们对概念间关系的基本理解它排除了一些不符合直观的模型一个TBox越"大"，它的模型就越"少"练习29题目令$$\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2$$为两个TBox且$$\mathcal{T}_1\subseteq\mathcal{T}_2$$。证明对于任意解释$$\mathcal{I}$$，如果$$\mathcal{I}$$是$$\mathcal{T}_2$$的模型，那么$$\mathcal{I}$$也是$$\mathcal{T}_1$$的模型。定义26：断言个体名称集合令$$\mathbf{I}$$为个体名称的一个集合，且与$$\mathbf{R}$$和$$\mathbf{C}$$不交。两种断言类型给定一个概念$$C$$和角色名称$$R$$，对于$$a,b\in\mathbf{I}$$：1.概念断言$$C(a)$$为一个"概念断言"2.角色断言$$R(a,b)$$为一个"角色断言"说明：个体名称类似于谓词逻辑中的个体常元，它用来指称一个解释中的基本元素$$m\in\Delta$$。例9：ABox示例基本设定$$a$$表示"小闫"$$b$$表示"小谢"$$C$$表示"老师"$$R$$表示二元关系"喜欢"断言示例$$C(a)$$表达"小闫是老师"$$R(a,b)$$表达"小闫喜欢小谢"定义27：ABox定义一个ABox指的是概念断言和角色断言的有穷集合。符号表示常用符号$$\mathcal{A},\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2$$等表示ABox。解释的扩展为了给出ABox的语义，需要对解释$$\mathcal{I}=\langle\Delta,I\rangle$$的含义进行扩展：定义28：断言的满足令$$\mathcal{I}=\Delta,I$$为一个解释概念断言的满足$$\mathcal{I}$$满足概念断言$$C(a)$$，当且仅当$$I(a)\inI(C)$$角色断言的满足$$\mathcal{I}$$满足角色断言$$R(a,b)$$，当且仅当$$I(a),I(b)$$\inI(R)定义29：ABox模型定义令$$\mathcal{I}$$为一个解释且$$\mathcal{A}$$为一个ABox。如果$$\mathcal{I}$$满足$$\mathcal{A}$$中的所有断言，称$$\mathcal{I}$$为$$\mathcal{A}$$的一个模型。定义30：知识库及其模型知识库的定义一个知识库是一个二元组$$\kappa=\langle\tau,\mathcal{A}\rangle$$其中：$$\tau$$是一个TBox$$\mathcal{A}$$是一个ABox知识库的模型如果一个解释是$$\tau$$和$$\mathcal{A}$$的模型，就称其为$$\kappa$$的一个模型。知识库的特点TBox的作用提供一些一般性的约束例如："教师是教了某门课的人"ABox的作用提供一些具体信息例如："张三是教师"重要特性在一个知识库中，不要求ABox是信息完全的。这一点和普通的数据库不同。"闭世界假定"与"开世界假定"场景设定考虑三个主体："小闫$$a$$""小谢$$b$$""小付$$c$$"以及一个角色断言"$$R(a,b)$$"（表达"小闫喜欢小谢"）两种假定的区别闭世界假定（ClosedWorldAssumption）在数据库中，如果关于"$$R$$"这个角色名称仅有"$$R(a,b)$$"：这意味着小闫仅喜欢小谢，但是不喜欢小付其他关于"$$R$$"的角色断言也不成立（如"$$R(c,c)$$"）缺乏信息被理解成所缺信息的否定开世界假定（OpenWorldAssumption）在ABox中当仅有"$$R(a,b)$$"时：这仅意味着小闫喜欢小谢但并不清楚小闫是否喜欢小付缺乏信息被处理成没有相关信息两种假定对推理的影响闭世界假定下的推理要检测一个断言是否为真只需查看数据库本身是否对这个断言有明确的表述相对简单开世界假定下的推理要检测一个断言是否为真仅检测在ABox中被明确表达的断言通常是不够的还需要判断这个断言本身是否可被知识库中其他的信息所推出因此更加复杂4.3.2概念的定义引言我们已经引入了等式$$C\equivD$$，它们可在语言层面定义概念的含义。概念定义示例示例：定义"母亲"用符号表示：$$F$$表达"女性"$$P$$表达"人类"$$R$$表达"······拥有孩子······"母亲的定义即"母亲是拥有某个人类作为孩子的女性"。概念定义的形式定义令$$A$$为一个原子概念，$$C$$为任意一个概念。称公理$$A\equivC$$为$$A$$的"概念定义"。扩充性质对于一个原子概念$$A$$：一个TBox中可能含有$$A\subseteqC$$但不含$$C\subseteqA$$但通过对原子概念进行扩充，总可以得到$$A$$的概念定义事实12命题令$$A,B$$为原子概念，$$A\subseteqC$$为一个包含式，其中$$B$$不在$$A\subseteqC$$中出现。结论$$A\subseteqC$$的每个模型都可以扩充为$$A\equivB\sqcapC$$的模型$$A\equivB\sqcapC$$的每个模型都是$$A\subseteqC$$的模型意义即使只关注概念定义$$A\equivC$$，也不会失掉一般性，因为可以通过扩充把$$A\subseteqC$$转换成$$A\equivC\sqcapB$$的形式。例10：循环概念定义符号设定$$P$$表达"人类"$$A$$表达"动物"$$F$$表达"······拥有同胞······"循环概念定义$$P\equivA\sqcap\forallF.P$$直观含义："人类是那些仅有人类作为同胞的动物"循环性质在上述例子中，$$P$$的定义$$A\sqcap\forallF.P$$又使用了$$P$$自身，从而概念定义$$P\equivA\sqcap\forallF.P$$是"循环"的。循环定义的问题期望的性质在给定$$A$$的概念定义$$A\equivC$$和$$C$$中其他原子概念和角色名称的解释后，有理由期望$$A$$的外延可以通过$$A\equivC$$唯一地确定。循环定义的问题对于循环的概念定义而言，这一点并非一定成立。例11：循环定义的不唯一性解释$$\mathcal{I}=\Delta,I$$关于例10中的$$P\equivA\sqcap\forallF.P$$，考虑如下解释：$$\Delta:=\{m,n\}$$$$I(A):=\Delta$$$$I(F)=\{\langlem,n\rangle,\langlen,m\rangle\}$$问题使$$P\equivA\sqcap\forallF.P$$成立的$$I(P)$$是唯一的吗？例11：不动点分析（续）可能的解不难验证，可以令：$$I(P)=\{m,n\}$$，或$$I(P)=\emptyset$$这两种情况都可使$$\mathcal{I}$$为$$P\equivA\sqcap\forallF.P$$的一个模型。不是解的情况当$$I(P)$$为$$\{m\}$$或$$\{n\}$$时，$$\mathcal{I}$$不能满足$$P\equivA\sqcap\forallF.P$$。不动点给定上述$$\Delta$$、$$I(A)$$和$$I(F)$$，$$\{m,n\}$$和$$\emptyset$$实际上是等式$$P\equivA\sqcap\forallF.P$$的两个"不动点"，而$$\{m\}$$和$$\{n\}$$则不是。循环定义的不动点不动点的使用关于循环的概念定义$$A\equivC$$：当固定$$C$$中除$$A$$以外的其他原子概念和角色名称的解释后$$A\equivC$$的不动点可以用来作为$$A$$的外延不动点的问题不唯一性：如例11所示，不动点可能并不唯一不存在性：循环概念定义的不动点也未必存在不存在不动点的例子极端情况$$A\equiv\negA$$分析对于任意模型$$\mathcal{I}=\langle\Delta,I\rangle$$：当$$I(A)=I(\negA)$$时，$$\Delta$$为$$\emptyset$$但这不符合定义22对解释域$$\Delta$$的要求（$$\Delta\neq\emptyset$$）进一步阅读关于不动点的逻辑推理，可进一步参阅文献（Venema,2012）。非循环概念定义本章关注点以下主要关注具备更良好性质的"非循环"概念定义。注意："非循环"不仅是指单个概念定义没有循环，它也要求多个概念定义之间没有循环。定义31：直接使用和使用定义令$$\tau$$为一个有穷的概念定义集。直接使用如果存在$$A\equivC\in\tau$$且原子概念$$B$$出现在$$C$$中则称$$A$$"直接使用"了$$B$$使用"使用"为"直接使用"的传递闭包示例如果$$A_1$$直接使用了$$A_2$$且$$A_2$$直接使用了$$A_3$$，则$$A_1$$使用了$$A_3$$（以及$$A_2$$）。定义32：非循环TBox定义非循环TBox是满足如下性质的有穷概念定义集$$\tau$$：性质1$$\tau$$中的概念名称都没有使用自身性质2每个概念名称至多有一个概念定义非循环TBox不能包含的情形禁止的循环结构$$\begin{array}{l}A_1\equiv\dotsA_2\dots\\A_2\equiv\dotsA_3\dots\\\vdots\qquad\qquad\qquad\vdots\\A_m\equiv\dotsA_1\dots\end{array}$$非循环TBox的优良性质对于一个非循环TBox，当给定所有不含概念定义的原子概念和角色名称的解释时，被定义概念的外延都是唯一确定的。4.3.3非循环TBox的消除核心思想令$$\kappa=\langle\tau,\mathcal{A}\rangle$$为一个知识库，其中，$$\tau$$是一个非循环的TBox。关键性质当给定所有不含概念定义的原子概念和角色名称的解释时，被定义概念的外延都是唯一确定的。消除方法在非循环的TBox中，被定义的概念类似于"标签"，可以在ABox中把这些标签替换成相应的"更初始"的未被定义的概念，从而把$$\tau$$所包含的意义"迁移"到ABox中。例12：TBox消除示例基本设定$$P$$表示概念"学生"$$F$$表示"女性"$$W$$表示"女学生"$$M$$表示"男学生"$$a$$表示"小闫"知识库$$\kappa=\tau,\mathcal{A}$$TBox$$\tau$$由下列概念定义构成：ABox为$$\mathcal{A}=\{M(a)\}$$例12：消除过程（续）观察易见，被定义的$$M$$使用了另一个被定义的$$W$$，但$$\tau$$是非循环的。消除步骤用$$W$$的定义$$P\sqcapF$$替换$$M\equivP\sqcap\negW$$中出现的$$W$$所得结果为：基于这个新的等式，把$$\mathcal{A}$$转化为$$\mathcal{A}'=\{P\sqcap\neg(P\sqcapF)(a)\}$$从而把$$\kappa$$转化为$$\langle\emptyset,\mathcal{A}'\rangle$$定义33：展开操作定义令$$κ=τ,𝒜_0⟩$$为一个知识库。其中，$$τ={A_i≡C_i|1≤slanti≤slantn}$$是非循环的。递归定义$$𝒜_{j+1}$$按如下替换方式得到的ABox：在$$𝒜_j$$中找到某个$$D(a)$$，其中，对于某个$$1≤slanti≤slantm$$，$$A_i$$出现在$$D$$中把$$A_i$$在上述$$D$$中的全部出现都替换为$$C_i$$展开结果如果不存在对$$𝒜_k$$的替换，则称$$𝒜_k$$为"把$$τ$$展开到$$𝒜_0$$的结果"。事实13：展开的存在性命题令$$\kappa=\tau,\mathcal{A}_0\rangle$$为一个知识库，且$$\tau$$不循环。把$$\tau$$展开到$$\mathcal{A}_0$$的结果总是存在的。证明思路证明定义33中的替换过程是会终止的。事实13：证明（有向图表示）图表示$$G(\kappa)$$可以把知识库$$κ$$表示成一个有向图$$G(\kappa)$$：节点$$G(\kappa)$$中的点为$$τ$$中的概念名称和$$\mathcal{A}_0$$中出现的个体名称边在$$τ$$中，如果$$A$$直接使用了$$B$$，那么$$G(\kappa)$$中含有从$$A$$到$$B$$的边对于任意$$C(a)\in\mathcal{A}_0$$，如果$$A$$出现在$$C$$中，则$$G(\kappa)$$中含有从$$a$$到$$A$$的边关键性质对于任意非循环的$$τ$$，$$G(\kappa)$$是无环的。事实13：证明（终止性）（续）替换过程的性质按定义33得到的$$\kappa_j$$也都不循环。对于替换过程中相邻的$$\kappa_j$$与$$\kappa_{j+1}$$：$$G(\kappa_j)$$与$$G(\kappa_{j+1})$$包含的点相同概念名称间的边也相同但是，至少会有一条从个体名称到作为叶节点的概念名称的路径会被缩短叶节点：一个概念名称$$A$$为叶节点，当且仅当$$A$$未直接使用任何概念名称终止性由于最初的$$G(\kappa)$$仅含有穷多个节点，在替换到一定次数之后，不存在任何路径会被进一步缩短，从而使替换操作总会终止。定理15：展开的正确性定理令$$\kappa=\langle\tau,\mathcal{A}\rangle$$为一个知识库，$$\tau$$是非循环的，且$$\mathcal{A}'$$为把$$\tau$$展开到$$\mathcal{A}$$的结果。(1)模型保持$$\kappa$$的每个模型都是$$\mathcal{A}'$$的模型(2)模型扩充对于$$\mathcal{A}'$$的每个模型$$\mathcal{I}'$$，都存在$$\kappa$$的模型$$\mathcal{I}$$其中$$\mathcal{I}$$和$$\mathcal{I}'$$对于角色名称及在$$\tau$$中未被定义的概念名称有相同的解释定理15：证明思路(1)证明(1)：模型保持证明对于按照定义33得到的$$\mathcal{A}_j$$和$$\mathcal{A}_{j+1}$$：$$\langle\tau,\mathcal{A}_j\rangle$$的每个模型$$\mathcal{I}$$都是$$\langle\tau,\mathcal{A}_{j+1}\rangle$$的模型关键步骤令$$D(a)\in\mathcal{A}_j$$，$$A_i\equivC_i\in\tau$$且$$A_i$$在$$D$$中出现。令$$D'$$为在$$D$$中用$$C_i$$替换$$A_i$$的结果。对于$$\langle\tau,\mathcal{A}_j\rangle$$的一个模型$$\mathcal{I}$$：由于$$A_i\equivC_i\in\tau$$，有$$I(A_i)=I(C_i)$$从而，$$I(D)=I(D')$$因此，$$I(a)\inI(D')$$定理15：证明思路(2)证明(2)：模型扩充策略令$$\mathcal{I}'$$为$$\mathcal{A}'$$的模型。假设其不是$$\mathcal{A}$$的模型，展示如何得到一个理想的$$\mathcal{I}$$。重新编号对于$$\tau=\{A_i\equivC_i\mid1\leqslanti\leqslantm\}$$，由于$$\tau$$是非循环的，可以假设：如果$$A_i$$直接使用了$$A_j$$，则$$j<i$$构造过程从$$A_0\equivC_0$$开始，按编号从小到大逐个考虑：如果$$\mathcal{I}'$$不满足$$A_i\equivC_i$$，则把$$\mathcal{I}'(A_i)$$修改为$$\mathcal{I}'(C_i)$$把最后得到的解释记为$$\mathcal{I}$$定理15：证明思路(2)（续）$$\mathcal{I}$$是良定义的解释这个过程只修改了一些$$\mathcal{I}'(A_i)$$，而对于每个$$A_i$$：$$\mathcal{I}'(A_i)$$只依赖于角色名称、在$$\tau$$中未被定义的概念名称及此前考虑过的$$A_{j<i}$$每个概念名称至多有一个概念定义（定义32）解释未改变的部分$$\mathcal{I}$$未修改$$\mathcal{I}'$$对角色名称和在$$\tau$$中未被定义的概念名称的解释。$$\mathcal{I}$$是$$\kappa$$的模型详细证明需要验证$$\mathcal{I}$$满足$$\mathcal{A}$$中的所有断言（角色断言和概念断言）。TBox消除的意义与代价意义在知识库中，对于一个非循环的TBox：总是可以把它的含义嵌入ABox中，从而"清空"TBox在一定程度上表明可以"忽略"非循环的TBox从而减轻对知识库进行推理的负担代价这种"清空"操作在一些情况下也会带来负面影响：为了表达出TBox的含义，ABox中的断言可能会被指数级地扩大例13：指数级增长知识库$$\kappa=\tau,\mathcal{A}\rangle$$其中$$\mathcal{A}=\{A(a),B(b)\}$$，$$\tau$$由以下概念定义构成：复杂度分析易见，$$\tau$$是非循环的。$$\kappa$$中概念名称和角色名称出现的总次数与$$n$$呈线性关系在把$$\tau$$展开到$$\mathcal{A}$$的结果中，$$A_n$$共出现了$$3\times2^n$$次——一个指数级增长改进方法问题根源这种快速增长是由定义33所描述的特定操作带来的。改进方向文献中也存在一些改善性的方法，感兴趣的读者可以参阅文献（Baaderetal.,2017）。4.4推理问题与服务一个知识库本身是对具体知识结构的建模和表示，它储存了概念定义和断言。但正如"开世界假设"所表明的，我们还需对其中的信息进行逻辑推理。本节内容4.4.1推理问题4.4.2推理服务4.4.1推理问题本节将介绍描述逻辑中常见的推理问题。定义34：基本推理问题（1/2）令$$κ=⟨τ,A⟩$$为一个知识库，$$C,D$$为概念描述，$$a$$为个体名称。可满足性（Satisfiability）如果存在$$τ$$的一个模型$$I=⟨Δ,I⟩$$和$$m∈Δ$$使得$$m∈I(C)$$则称"就$$τ$$而言，$$C$$是可满足的"子类（Subsumption）如果对于$$τ$$的任一模型$$\mathcal{I}$$都有$$I(C)⊆I(D)$$则称"就$$τ$$而言，$$C$$是$$D$$的子类"记作$$τ⊨C⊆D$$或$$C⊆_τD$$等价（Equivalence）如果对于$$τ$$的任一模型$$I$$都有$$I(C)=I(D)$$则称"就$$τ$$而言，$$C$$与$$D$$等价"记作$$τ⊨C≡D$$或$$C≡_τD$$一致性（Consistency）如果存在$$κ$$的模型，则称"$$κ$$是一致的"实例（Instance）如果对于$$κ$$的任一模型$$I=⟨Δ,I⟩$$都有$$I(a)∈I(C)$$则称"就$$κ$$而言，$$a$$是$$C$$的一个实例"记作$$κ⊨C(a)$$推理问题的特点与TBox相关的问题可满足性子类等价与整个知识库相关的问题一致性实例简化表述当$$τ$$、$$κ$$确定时，常省略"就$$τ$$而言"和"就$$κ$$而言"。扩展有时也会说一个TBox$$τ$$或一个ABox$$A$$是一致的，它们分别指$$⟨τ,∅⟩$$和$$⟨∅,A⟩$$是一致的。练习30令$$C,D,E$$为概念，$$a$$为个体名称，$$κ=⟨τ,A⟩$$和$$κ'=⟨τ',A'⟩$$为知识库。其中，$$τ⊆τ'$$且$$A⊆A'$$。证明以下结果（1）偏序性质把$$⊆_τ$$视为概念间的二元关系时，它是一个"偏序"，即满足：自反性：$$C⊆_τC$$传递性：如果$$C⊆_τD$$且$$D⊆_τE$$，那么$$C⊆_τE$$反对称性：如果$$C⊆_τD$$且$$D⊆_τC$$，那么$$C≡_τD$$（2）单调性如果$$κ⊨C(a)$$且$$C⊆_τD$$，那么$$κ'⊨D(a)$$。实例与角色断言的区别角色断言$$C(a)$$（定义26）表达$$a$$所指的个体在$$C$$的外延中。实例$$κ⊨C(a)$$表达知识库$$⟨τ,A∪{¬C(a)}⟩$$是不一致的（见定理16）。这里的区分涉及"实例"和"一致"间的关系。定理16：推理问题间的关系（1/3）令$$κ=⟨τ,A⟩$$是一个知识库，$$C,D$$是概念描述，$$a$$为个体名称。（1）等价与子类$$C⊆_τD且D⊆_τC⟺C≡_τD$$（2）子类与不可满足性$$C⊆_τD⟺就τ而言C∩¬D是不可满足的$$定理16：推理问题间的关系（2/3）（3）可满足性与子类$$就τ而言C是可满足的⟺C⊄_τ⊥$$（4）可满足性与一致性$$就τ而言C是可满足的⟺⟨τ,{C(a)}⟩是一致的$$定理16：推理问题间的关系（3/3）（5）实例与一致性$$κ⊨C(a)⟺⟨τ,A∪{¬C(a)}⟩是不一致的$$（6）展开与一致性如果$$τ$$是非循环的且$$A'$$是把$$τ$$展开到$$A$$的结果，那么：$$κ是一致的⟺A'是一致的$$定理16：证明思路(1)证明(1)：等价与子类从右到左的方向：令$$C≡_τD$$对$$τ$$的任意模型$$I=⟨Δ,I⟩$$，都有$$I(C)=I(D)$$这意味着$$I(C)⊆I(D)$$且$$I(D)⊆I(C)$$从而，$$C⊆_τD$$且$$D⊆_τC$$定理16：证明思路(2)证明(2)：子类与不可满足性从左到右：假设$$C⊆_τD$$对于$$τ$$的任意模型$$I=⟨Δ,I⟩$$，都有$$I(C)⊆I(D)$$对于任意$$o∈Δ$$，如果$$o∈I(C)$$，则$$o∈I(D)$$因为$$o∈I(D)$$当且仅当$$o∉I(¬D)$$就$$τ$$而言$$C∩¬D$$是不可满足的从右到左：假设就$$τ$$而言，$$C∩¬D$$是不可满足的令$$I=⟨Δ,I⟩$$为$$τ$$的一个模型对于任意$$o∈Δ$$，都有$$o∉I(C)∩I(¬D)$$这意味着$$I$$是$$C⊆D$$的模型，因此可得$$C⊆_τD$$定理16：证明思路(3)证明(3)：可满足性与子类从左到右：假设就$$τ$$而言$$C$$是可满足的存在$$τ$$的一个模型$$I=⟨Δ,I⟩$$和某个$$o∈Δ$$，使得$$o∈I(C)$$由于$$I(⊥)=∅$$，$$I(C)⊄I(⊥)$$因此，$$C⊄_τ⊥$$从右到左：假设$$C⊄_τ⊥$$存在$$τ$$的一个模型$$I=⟨Δ,I⟩$$，使得$$I(C)⊄∅$$所以，$$I(C)≠∅$$因此，就$$τ$$而言，$$C$$是可满足的定理16：证明思路(4)证明(4)：可满足性与一致性从左到右：假设就$$τ$$而言$$C$$是可满足的存在$$τ$$的一个模型$$I=⟨Δ,I⟩$$和某个$$o∈Δ$$，使得$$o∈I(C)$$不妨令$$I(a)=o$$（如果$$I(a)≠o$$，可把$$I(a)$$修改为$$o$$）由于$$τ$$本身不涉及个体名称，所得的解释依然是$$τ$$的模型$$I$$为$$⟨τ,{C(a)}⟩$$的模型，从而它是一致的从右到左：假设知识库$$⟨τ,{C(a)}⟩$$是一致的存在一个解释$$I=⟨Δ,I⟩$$，使得$$I(a)∈I(C)$$根据定义，就$$τ$$而言$$C$$是可满足的定理16：证明思路(5)证明(5)：实例与一致性从左到右：假设$$κ⊨C(a)$$对于$$κ$$的任意模型$$I=⟨Δ,I⟩$$，都有$$I(a)∈I(C)$$由于$$I(¬C)=Δ\I(C)$$$$⟨τ,A⟩$$的所有模型都不能满足$$¬C(a)$$所以$$⟨τ,A∪{¬C(a)}⟩$$是不一致的从右到左：假设$$⟨τ,A∪{¬C(a)}⟩$$是不一致的如果$$κ$$不一致，那么任意$$κ$$的模型都能满足$$C(a)$$假设$$κ$$是一致的，令$$I=是它的一个模型由于$$⟨τ,A∪{¬C(a)}⟩$$是不一致的，$$I(a)∉I(¬C)$$即$$I(a)∈I(C)$$，因而，$$κ⊨C(a)$$定理16的意义核心结论基于定理16，定义34所提的推理问题都可以归约到知识库的一致性。实际应用检测知识库一致性的算法也可以用来检测其他的推理问题。除了定义34所引入的推理问题之外，也存在很多其他的推理问题，对它们而言并不一定存在类似的归约（Baaderetal.,2007,2017）。4.4.2推理服务在设计一个知识库时，通常需要考虑所给出的TBox和ABox能带来哪些影响。基于定义34所给出的推理问题，可以利用推理服务（ReasoningServices）表述这些影响。基本推理服务1.可满足性检测给定一个TBox$$τ$$和一个概念$$C$$检测对$$τ$$而言，$$C$$是否可满足2.子类检测给定一个TBox$$τ$$和概念$$C$$、$$D$$检测就$$τ$$而言，$$C$$是否为$$D$$的子类3.等价性检测给定一个TBox$$τ$$和概念$$C$$、$$D$$检测就$$τ$$而言，$$C$$是否与$$D$$等价基本推理服务（续）4.一致性检测给定一个知识库检测它是否一致5.实例检测给定一个知识库$$κ$$，一个个体名称$$a$$和一个概念$$C$$检测就$$κ$$而言，$$a$$是否为$$C$$的一个实例这些是描述逻辑中最基本的推理服务。上述定义并未涉及具体的算法及这些服务是如何被执行的。推理服务的一致性期望针对一个推理服务的不同执行方式，我们期望它们能给出一