人工智能逻辑 课件 刘奋荣 第8-14章 动态更新逻辑-大语言模型与逻辑推理

第8章动态更新逻辑8.1知识更新公开宣告逻辑（PAL）动态认知逻辑（DEL）8.2信念修正8.2.1AGM信念修正理论8.2.2基于DEL的信念修正理论8.3偏好变化8.3.1优先序改变引起的偏好变化8.3.2信念改变引起的偏好变化8.4结语章节引言动态更新逻辑的重要性主体的认知与行为变化主体既可以通过自身的观察收集信息、获得新知识，也可以通过与他人交流学习新的内容。在这一过程中：信念的动态变化：旧有信念可能被新信念所取代偏好的动态调整：偏好可能由于各种原因而发生改变对人工智能的意义这些信念与偏好的动态变化对于人工智能体的设计具有重要意义，它们体现了主体在与物理世界的接触和互动中，为适应环境、实现自我成长而进行的调整过程。本章重点动态认知逻辑信念修正理论偏好变化的逻辑框架8.1知识更新动态认知逻辑（DynamicEpistemicLogic,DEL）动态认知逻辑是对于认知逻辑的动态扩展。核心思想要对信息引发的知识更新进行推理，一种做法就是在经典的认知逻辑中添加新的动态算子，用来表示信息的交流行为。公开宣告逻辑（PublicAnnouncementLogic,PAL）最简单的此类逻辑是所谓的"公开宣告逻辑"。泥孩难题：问题情境经典案例回顾再次考虑前面的泥孩难题：初始情况三个小孩，每个小孩可能额头干净（C）或有泥巴（D）爸爸说："你们中至少有一个额头是有泥巴的"第一次宣告的效果爸爸第一次说话后，三个小孩都是干净的状态CCC被删除，初始模型更新。第一次说话后的模型图8-1第一次说话后的模型模型更新爸爸第一次说话后，模型发生了关键变化。关键变化所有孩子都干净（CCC）的状态被排除其他可能性仍然保留第一次提问后的推理进一步排除爸爸第一次提问时，没有孩子站出来。这表明，两个孩子干净、一个孩子脏的状态（即CDC、CCD、DCC）也被排除。理由假设有这样的情况，那位有泥巴的孩子就应该站出来。图8-2排除两个孩子干净的模型两个孩子的推理过程关键推理两个额头上有泥巴的孩子（记为$$a$$和$$b$$）开始推理：推理逻辑"如果我额头是干净的，那么我看到的那位额头脏的孩子看到的就只有两个干净的孩子。那他就会立刻知道自己是脏的。但他并没有站出来。所以，我一定是脏的！"第二次提问的结果当爸爸第二次提问时，两个小孩$$a,b$$都站了出来。两个小孩确认模型图8-3两个小孩确认模型模型状态两个小孩$$a,b$$均已确认自己额头有泥巴并站出来。第三个孩子的推理之后，c继续推理："他们刚才若看到我额头有泥巴，他们就不能确定自己是否干净。但是他们知道了，因此我自己是干净的。"最终状态最终模型于是，模型就变成只有一个状态DDC了。逻辑术语表示爸爸说的话"你们中至少有一个额头是有泥巴的"就是公开宣告。用$$\varphi$$表示宣告。真命题$$\varphi$$的公开宣告会更新初始的模型。形式化模型从$$\mathfrak{M}$$变化到其子模型$$\mathfrak{M}|_{\varphi}$$。图8-4最终状态定义55：语言公开宣告逻辑的语言公开宣告逻辑的语言是在认知语言中增添宣告行为模态词，定义如下：$$\varphi:=p\mid\neg\varphi\mid(\varphi\wedge\varphi)\midK_{a}\varphi\mid[!\varphi]\varphi$$新元素与经典认知逻辑相比较，唯一的新元素就是宣告的部分。符号解读形如$$[!\varphi]\psi$$的公式通常读作"公开宣告$$\varphi$$之后，$$\psi$$成立"$$[!\varphi]$$是一个动态算子它的对偶记作$$\langle!\varphi\rangle$$定义56：真值条件（1/2）模型解释继续使用认知逻辑的模型解释动态算子，还是考虑多主体的S5-框架类上的模型。给定一个模型M和一个状态$$s\inS$$，递归定义一个公开宣告逻辑的公式在M,s上是真的：$$\mathfrak{M},s\modelsp\quad\text{当且仅当}\quads\inV(p)$$$$\mathfrak{M},s\models\neg\varphi\quad\text{当且仅当}\quad\text{并非}\mathfrak{M},s\models\varphi$$$$\mathfrak{M},s\vDash\varphi\wedge\psi\quad\text{当且仅当}\quad\mathfrak{M},s\vDash\varphi\text{并且}\mathfrak{M},s\vDash\psi$$$$\mathfrak{M},s\vDashK_{a}\varphi\quad\text{当且仅当}\quad\text{所有的}t,\text{若}s\sim_{a}t,\text{则}\mathfrak{M},t\vDash\varphi$$定义56：真值条件（2/2）动态算子的真值条件$$\mathfrak{M},s\models[!\varphi]\psi\quad\text{当且仅当}\quad\text{若}\mathfrak{M},s\models\varphi\text{则}\mathfrak{M}|\varphi,s\models\psi$$其中，$$\mathfrak{M}|\varphi=(S^{\prime},\sim_{a}^{\prime},V^{\prime})$$定义如下：$$S^{\prime}=\llbracket\varphi\rrbracket_{\mathfrak{M}}$$$$\sim_{a}^{\prime}=\sim_{a}\cap(\llbracket\varphi\rrbracket_{\mathfrak{M}}\times\llbracket\varphi\rrbracket_{\mathfrak{M}})$$$$V^{\prime}=V\cap\llbracket\varphi\rrbracket_{\mathfrak{M}}$$其中，$$\llbracket\varphi\rrbracket$$表示$$\varphi$$为真的世界的集合。对偶形式：$$\mathfrak{M},s\models\langle!\varphi\rangle\psi$$当且仅当$$\mathfrak{M},s\models\varphi$$并且$$\mathfrak{M}\mid\varphi,s\models\psi$$定义57：公开宣告逻辑公理系统公开宣告逻辑由下面的公理和推理规则构成：基础公理（1–5）所有命题逻辑重言式的特例$$K_{a}(\varphi\to\psi)\to(K_{a}\varphi\toK_{a}\psi)$$$$K_{a}\varphi\to\varphi$$$$K_{a}\varphi\toK_{a}K_{a}\varphi$$$$\negK_{a}\varphi\toK_{a}\negK_{a}\varphi$$归约公理（6–9）$$[!\varphi]p\leftrightarrow(\varphi\top)$$$$[!\varphi]{\neg{\psi}}\leftrightarrow(\varphi\to{\neg{[!\varphi]}}\psi)$$$$[!\varphi](\psi\wedge\chi)\leftrightarrow([!\varphi]\psi\wedge[!\varphi]\chi)$$$$[!\varphi]K_{a}\psi\leftrightarrow(\varphi\toK_{a}[!\varphi]\psi)$$公理系统的推理规则分离规则（MP）从$$\vdash\varphi\to\psi$$和$$\vdash\varphi$$，推出$$\vdash\psi$$$$K_{a}$$-必然化规则（$$K_{a}$$-Nec）从$$\vdash\varphi$$，推出$$\vdashK_{a}\varphi$$$$[!\psi]$$-必然化规则（$$[!\psi]$$-Nec）从$$\vdash\varphi$$，推出$$\vdash[!\psi]\varphi$$归约公理的特点归约公理（6）～（9）的重要性以上的公理系统中，需要注意的是$$(6)\sim(9)$$.它们一般被称为"归约公理"。共同特征公开宣告$$[!\varphi]$$之后的公式是递归定义的，从简单的原子命题到认知算子$$K_{a}$$。整体来看，归约公理有一个共同的特征：由"$$\leftrightarrow$$"联结，它们是等值式公理（6）直观上说，公开宣告不会改变原子命题的真值情况左边的动态公式被归约到静态的语言中了归约意义动态的"归约公理"将公开宣告逻辑语言中的每一个公式逐步化归为只包含静态的纯认知语言的等值公式。归约公理的深层含义模型层面的意义就模型而言，这意味着当前的静态模型已经包含了主体交流、知识发生变化的所有信息。对静态语言的限制这个特征对静态的基本语言有所限制：该语言必须足够丰富，足以进行预编码。核心口号："目前的认知状态已经包含了未来的认知"基本定理定理37公开宣告逻辑是可靠的，也是完全的。定理38公开宣告逻辑与认知逻辑的表达力是等价的。定理39公开宣告逻辑的模型检测问题是P-完全的，可满足性问题是PSPACE-完全的。计算性质：计算方面的结果基本继承了认知逻辑的性质。对以上结果感兴趣的读者，可以参考文献Plaza(1989)、Gerbrandy(1999)、vanBenthem(2011)等的工作。定理40：有效原则重要的有效公式下面的公式是有效的：（1）$$(\varphi\to[!\varphi]\psi)\leftrightarrow[!\varphi]\psi$$（2）$$[!\varphi](\psi\to\chi)\leftrightarrow([!\varphi]\psi\to[!\varphi]\chi)$$（3）$$\langle!\varphi\rangle\psi\leftrightarrow[!\varphi]\psi$$（4）$$[!\varphi][!\psi]\chi\leftrightarrow[!\varphi\land[!\varphi]\psi]\chi$$使用语义的定义可以证明以上公式的有效性。有效原则的意义各公式的含义（1）部分函数性意味着宣告是部分函数，即需要满足被宣告的命题$$\varphi$$为真的条件换句话说，$$\langle\varphi\rangle\top$$不是有效的（2）分配性表示公开宣告算子对蕴涵是分配的（3）函数性意味着公开宣告具有函数性即若公开宣告可以被执行，则只有一种执行方式（4）连续宣告表示连续的两个公开宣告可以转换为一个宣告动态认知逻辑的扩展公开宣告逻辑的局限以上介绍的是动态认知逻辑的一个简单特例，即公开宣告逻辑。在这一逻辑中：仅包含一个动态算子——公开宣告从语义上看，当新信息被宣告后，主体的不确定性得以消除主体不存在关于其发生与否的认知不确定性动态认知逻辑的进一步发展通过引入行为模型（ActionModel）：允许行为之间也存在认知不确定关系主体可能无法确定究竟发生了什么事情需要将认知模型与行为模型进行乘积运算，形成新的乘积模型参考文献读者可参考Baltagetal.(1998)、vanDitmarschetal.(2007)等的相关论著了解更详细的内容。8.2信念修正信念状态的动态性信念的状态并非一成不变，而是会随着新信息的获取而发生变化。信念修正的规律主体在接受新信息、修正自身信念的过程中，遵循着一定的规律。信念修正理论为这一过程提供了一般性的原则。两种形式化理论本节将介绍两种形式化的信念修正理论：AGM信念修正理论：著名的经典理论基于动态认知逻辑方法论的信念修正理论根据不同的应用场景，可以灵活选择适用的理论框架。8.2.1AGM信念修正理论AGM的命名AGM三个英文字母是三位外国学者名字首字母的缩写：埃克隆（C.E.Alchourrón）加登佛斯（P.Gärdenfors）麦金森（D.Makinson）经典论文他们合写的论文"OntheLogicofTheoryChange:PartialMeetContractionandRevisionFunctions"（JournalofSymbolicLogic,50:510–530,1985）成为研究信念修正的经典论文。更广泛的适用性尽管埃克隆更关心的是规范的修正，加登佛斯则是希望找到研究理论变化的理论。因此，AGM信念修正理论事实上能够适用的范围更广，而不仅仅是信念的修正。理论变化的三种方式基本符号用$$\boldsymbol{B}$$表示原理论，$$\oplus$$、$$\ominus$$、$$\circledast$$分别表示3种动态变化的算子。扩张（$$\oplus$$）：$$B\oplus\varphi$$将新信息添加到原理论中可能会导致理论内部的不一致执行扩张操作时，已经预设了$$\varphi$$被接受扩张过程本身并不考虑$$\varphi$$的具体内容收缩（$$\ominus$$）：$$B\ominus\varphi$$从原理论中去除$$\varphi$$扩张后的理论不再能推出$$\varphi$$修正（$$\circledast$$）：$$B\circledast\varphi$$对原理论进行修正考虑到新信息$$\varphi$$可能与原理论$$\boldsymbol{B}$$不一致最终形成一个一致的理论利维同一性LeviIdentity根据著名的利维同一性，修正算子$$\circledast$$可以通过扩张算子$$\oplus$$和收缩算子$$\ominus$$表示：$$\mathcal{B}\circledast\varphi\equiv(\mathcal{B}\ominus\neg\varphi)\oplus\varphi$$修正的两步过程要修正一个理论，可以：先将理论中与$$\varphi$$不一致的信息（$$\neg\varphi$$）执行收缩操作，将其去掉之后就可以安全地扩张$$\varphi$$了AGM的根本原则已经获得的信息是珍贵的，须采取经济原则做最小的修正，不随意扔掉已经拥有的信息。AGM理论的语言特点语言与符号注意，AGM信念修正理论是关于信念修正的，但是其语言是命题逻辑语言$$\mathcal{L}_{0}$$，没有显性的信念算子。后承算子我们使用$$Cn$$表示经典的后承算子，给定公式集\varSigma，有：信念集定义简单而言，一个信念集就是对后承算子封闭的命题公式的集合。主要内容信念修正理论的主要内容就是刻画以上3个算子的动态变化规律。扩张算子的公理$$\oplus$$算子满足的公理（⊕1）$$B\oplus\varphi$$是一个信念集（⊕2）$$\varphi$$∈$$B\oplus\varphi$$（⊕3）$$B$$⊆$$B\oplus\varphi$$（⊕4）若$$\varphi$$∈$$B$$，则$$B\oplus\varphi=B$$（⊕5）对任意的信念集$$B^{\prime}$$，若$$B\subseteqB^{\prime}$$，则$$B\oplus\varphi\subseteqB^{\prime}\oplus\varphi$$（⊕6）$$B\oplus\varphi$$是满足以上5条公理的最小的集合扩张算子公理的含义各公理的解释（⊕1）封闭性确保一个信念集修正后仍然是信念集（⊕2）成功性新信息扩张后一定在新信念集中（⊕3）扩张性刻画了扩张算子的特征，新的信念集是原来集合的超集。这意味着，原理论中所有的信息都被保持。（⊕4）冗余避免若扩张的新信息已经在原信念集中，扩张不会增加其他任何信息（⊕5）单调性刻画了扩张算子对信念集而言遵循单调性定理41：扩张算子的表征定理表征定理定理41.算子$$\oplus$$满足上面的6条公理，当且仅当$$B\oplus\varphi=Cn(B\cup\{\varphi\})$$。定理的重要性这个定理是关于扩张算子的表征定理：6条公理恰好刻画了扩张算子定理中"当且仅当"右边的部分可以看作对扩张算子的一个明确定义（利用后承关系）该定义恰好唯一刻画了扩张算子与其他算子的对比我们将会看到，对于收缩或修正算子，类似的定理不成立。收缩算子的复杂性收缩的棘手性与扩张算子不同，收缩是一个非常棘手的算子，涉及更复杂的问题。问题1：简单去除不够主体$$a$$的信念集$$B=Cn(\{p,q,r\})$$，假设$$a$$想放弃$$p$$。去掉$$p$$，然后在后承关系下封闭，并不能给出满意的结果因为$$Cn(B\setminus\{p\})=B$$原因：$$(r\top)\inCn(B\setminus\{p\})$$问题2：优先序问题假设主体$$a$$想放弃$$p\wedgeq$$根据经济原则，显然没有理由同时放弃$$r$$但是就$$p$$和$$q$$而言，去掉其中一个就够了但是我们不知道要去掉哪一个壕沟概念Entrenchment（壕沟）在AGM信念修正理论中使用一个非常形象的概念"壕沟"来讨论优先序问题。直观理解因为壕沟有深浅，直观上一个主体对他所拥有的信息也会有一个排序：有些信念对他来说更根深蒂固有些则更容易放弃面临选择的时候，那些容易放弃的会先被舍弃必要的附加信息因此，除了表示主体的信念，我们还需要记录主体对所持信念坚持的原因。收缩算子的公理刻画收缩算子的公理（⊖1）$$B\ominus\varphi$$是一个信念集（⊖2）$$B\ominus\varphi\subseteqB$$（⊖3）若$$\varphi\notinB$$，则$$B=B\ominus\varphi$$（⊖4）若$$\nvdash\varphi$$，则$$\varphi\notinB\ominus\varphi$$（⊖5）若$$\varphi\inB$$，则$$B\subseteq(B\ominus\varphi)\oplus\varphi$$（⊖6）若$$\vdash\varphi\leftrightarrow\psi$$，则$$B\ominus\varphi=B\ominus\psi$$（⊖7）$$(B\ominus\varphi)\cap(B\ominus\psi)\subseteqB\ominus(\varphi\wedge\psi)$$（⊖8）若$$\varphi\not\inB\ominus(\varphi\wedge\psi)$$，则$$B\ominus(\varphi\wedge\psi)\subseteqB\ominus\varphi$$失而复得公理（⊖5）的重要性以上公理中，（⊖5）非常有意思，通常被称为"失而复得公理"。删除的复杂性从前面的例子可以看出：删除一个信念$$\varphi$$的时候，也要考虑删除可能推导出它的其他信念但是，若要扩张$$\varphi$$的时候，需要考虑之前删除的其他信念因为，先删除、后扩张得到的集合是原来集合的超集公式表达$$B\subseteq(B\ominus\varphi)\oplus\varphi$$这个公理刻画了信念修正过程中信息恢复的可能性。修正算子的直观理解修正的含义从直观上讲，一个主体接受一个新信息$$\varphi$$，意味着：纳入新信息他将这个信息纳入自己的信念集中保持一致性获得了一个一致的信念集经济原则主体会设法保持尽可能多的原有信念用$$\boldsymbol{B}_{\perp}$$表示不一致的信念集。修正算子的公理$$\circledast$$算子满足的公理（⊛1）$$B\circledast\varphi$$是一个信念集（⊛2）$$\varphi\inB\circledast\varphi$$（⊛3）$$B\circledast\varphi\subseteqB\oplus\varphi$$（⊛4）若$$\neg\varphi\notinB$$，则$$B\oplus\varphi\subseteqB\circledast\varphi$$（⊛5）$$B\circledast\varphi=B_{\perp}$$，当且仅当$$\vdash\neg\varphi$$（⊛6）若$$\vdash\varphi\leftrightarrow\psi$$，则$$B\circledast\varphi=B\circledast\psi$$（⊛7）$$B\circledast(\varphi\wedge\psi)\subseteq(B\circledast\varphi)\oplus\psi$$（⊛8）若$$\neg\psi\notinB\circledast\varphi$$，则$$(B\circledast\varphi)\oplus\psi\subseteqB\circledast(\varphi\wedge\psi)$$修正算子公理的含义关键公理解释（⊛3）和（⊛4）：扩张与修正的联系若新信息与原来的信念集$$\boldsymbol{B}$$一致则扩张和修正的结果是相同的（⊛5）：一致性保证确保只有当新信息矛盾时我们才被迫接受一个不一致的信念集进一步研究对于以上几个算子的性质的进一步研究，读者可以参考AGM信念修正理论研究领域的文献。8.2.2基于DEL的信念修正理论与AGM的不同与AGM信念修正理论不同，动态认知逻辑在处理信念更新时：将新激发的信息视为一个动态算子在语义层面，该算子引发的变化体现在可能世界之间合理性排序的调整上主要参考本节主要介绍vanBenthem(2007)的一些研究成果。信念模型的可能世界语义模型构建首先来看关于信念的模型。与认知逻辑中的做法类似，这里我们同样采用可能世界语义学。合理世界不过，对于信念而言，所考虑的可能世界是那些主体认为合理的世界。例子举例来说，我相信乘坐高铁可以到达西安，这一信念在我能够设想的最合理世界中似乎都是成立的。定义58：信念模型信念模型的形式化定义定义58.信念模型是$$\mathfrak{M}=(S,{\geqslant_{a,s}}_{a\inA},V)$$，其中：组成要素$$S$$是可能世界的集合$$V$$是赋值函数$$\geqslant_{a,s}$$是主体的合理性关系合理性关系的解读$$x\geqslant_{a,s}y$$读作：在世界$$s$$中，主体$$a$$认为$$x$$至少与$$y$$一样合理。信念模型的历史渊源理论来源这样的模型最早出现在路易斯关于条件句的逻辑研究中（Lewis,1973）。后续发展Spohn(1988)进一步给出了所谓的"球体模型"Shoham(1987)的广义偏好关系模型也是基于类似的思想逻辑性质给出这种模型后，可以进一步假定模型中的关系具有某些逻辑性质：Burgess(1984)、Veltman(1985)要求合理性关系具有自反性和传递性Lewis(1973)增加了连通性：两个世界要么前者比后者更合理，要么后者比前者更合理独立性与动态认知逻辑类似，动态逻辑的部分在很大程度上独立于关于静态逻辑的形式设计。信念算子的解释基本信念算子给定模型后，可以如下解释信念算子：$$\mathfrak{M},s\modelsB_{a}\varphi$$当且仅当主体$$a$$立足于$$s$$，在她认为最合理的所有世界$$t$$上，有$$\mathfrak{M},t\vDash\varphi$$"最合理"的定义这里的"最合理"是主体对合理性序关系$$\{(x,y)\midx\geqslant_{a,s}y\}$$做比较而得到的。条件信念算子重要概念在信念逻辑中非常重要的一个概念是条件信念算子$$B_{a}^{\psi}\varphi$$。语义解释$$\mathfrak{M},s\vdashB_{a}^{\psi}\varphi$$当且仅当对任意的$$t$$，若$$t$$是主体立足于$$s$$认为最合理的世界，$$\mathfrak{M},t\vdash\psi$$，则$$\mathfrak{M},t\models\varphi$$与条件句的联系条件信念的语义与条件句的解释在思想上是相通的。研究重点基于上面的静态语义，vanBenthem(2007)研究了"强信息"和"弱信息"导致的信念修正。定义59：字典序更新弱信息更新机制定义59（字典序更新）.$$\Uparrow\varphi$$对可能世界上的序关系$$geqslant$$做如下更新：更新规则所有的$$\varphi$$-世界变得比所有的$$\neg\varphi$$-世界更合理在这两个区域内，可能世界之间原来的序关系保持不变直观理解这种更新方式将满足新信息的世界提升到更合理的层次，同时保持原有的相对排序。定理42：字典序更新的公理化（1/2）完全公理系统定理42.字典序更新的信念动态逻辑可以如下公理化：（a）静态逻辑关于条件信念的完全的静态逻辑（b）归约公理$$[\Uparrow\varphi]\neg\psi\leftrightarrow\neg[\Uparrow\varphi]\psi$$$$[\Uparrow\varphi]q\leftrightarrowq$$，对所有的原子公式$$q$$$$[\Uparrow\varphi](\psi\wedge\chi)\leftrightarrow([\Uparrow\varphi]\psi\wedge[\Uparrow\varphi]\chi)$$定理42：字典序更新的公理化（2/2）条件信念的归约公理$$[\Uparrow\varphi]B^{\chi}\psi\leftrightarrow(E(\varphi\wedge[\Uparrow\varphi]\chi)\wedgeB^{\varphi\wedge[\Uparrow\varphi]\chi}[\Uparrow\varphi]\psi)\vee(\negE(\varphi\wedge[\Uparrow\varphi]\chi)\wedgeB^{[\Uparrow\varphi]\chi}[\Uparrow\varphi]\psi)$$符号说明注意，上面的归约公理中算子$$E$$是模态逻辑中全局的存在算子。归约的作用同样，对于动态语言中的公式，归约公理提供了把动态公式翻译到静态语言中的程序。可判定性由于静态逻辑是可判定的，以上定义的动态逻辑也是可判定的。DEL方法的特点方法对比这里通过对字典序更新算子展示了在动态认知逻辑的方法中如何研究信念修正与更新。与AGM的区别可以看出，与AGM信念修正理论不同：通过引入具体的动态算子定义动态算子对可能世界序关系的改变来刻画信念的变化方法优势这就使得针对不同的信念动态变化在逻辑语言中引入显性的动态算子成为可能。扩展可能例如，针对序关系的变化，Rott(2006)在语义层面给出了不同算子，那么这些变化原则上都可以作为动态算子在语法层面进行研究。8.3偏好变化偏好的动态性在我们成长的过程中，偏好会自然发生变化，这可能是由于：与物理世界的接触接收到新的信息周围朋友的影响自身习惯的改变等多种因素所导致研究意义对主体偏好变化的研究，对于以下方面具有重要意义：个性化推荐系统的应用理解主体行为本节内容本节将在第7章关于偏好逻辑的基础上展开，继续探讨基于原因的偏好模型。当主体所考虑的优先序或其信念发生变化时，也会自然引发其偏好的调整。8.3.1优先序改变引起的偏好变化情境变化引发优先序调整主体在情境发生变化时，可能会调整其优先序，从而引发偏好的变化。例20：小丽买冰箱（续）小丽家里的旧冰箱突然完全无法正常工作。在选择冰箱时，配送速度瞬间成为最重要的考量因素。她需要在两天之内让新冰箱投入使用。由于这一紧迫需求，她的偏好随之发生了变化。启示例20表明，主体的优先序可以随着情境的变化而调整，而这种变化会直接影响其偏好。优先序变化的形式化理想化假设作为起点，我们考虑一种理想化情形：主体具有完全信息且信念保持不变基本符号设$$C$$为长度为$$n$$的优先序。用$$\mathrm{Pref}_{\mathfrak{C}}(x,y)$$表示基于该优先序定义的偏好。四种可能的优先序变化变化类型考虑如下可能的变化：（1）$$\mathfrak{C}^{-}C$$表示在$$C$$的右边加一个新项$$C$$（2）$$C^{-}\mathfrak{C}$$表示在$$C$$左边加一个新项$$C$$（3）$$\mathfrak{C}^{-}$$表示去掉最后一项（4）$$\mathfrak{C}^{i\rightleftarrowsi+1}$$表示互换它的第$$i$$项和第$$i+1$$项优先序变化前后的偏好关系（1/2）关系变化的刻画优先序变化前后的偏好关系之间具有如下关系：$$\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C}^{-}C}(x,y)\leftrightarrow\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C}}(x,y)\vee\left(\operatorname{Eq}_{\mathfrak{C}}(x,y)\wedgeC(x)\wedge\negC(y)\right)$$$$\operatorname{Pref}_{C^{-}\mathfrak{C}}(x,y)\leftrightarrow(C(x)\wedge\negC(y))\vee((C(x)\leftrightarrowC(y))\wedge\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C}}(x,y))$$$$\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C}^{-}}(x,y)\leftrightarrow\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C},n-1}(x,y)$$优先序变化前后的偏好关系（2/2）互换操作的关系$$\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C}^{i\rightleftarrowsi+1}}(x,y)\leftrightarrow\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C},i-1}(x,y)\vee(\operatorname{Eq}_{\mathfrak{C},i-1}(x,y)\wedgeC_{i+1}(x)\wedge\negC_{i+1}(y))\vee(\operatorname{Eq}_{\mathfrak{C},i-1}(x,y)\wedge(C_{i+1}(x)\leftrightarrowC_{i+1}(y))\wedgeC_{i}(x)\wedge\negC_{i}(y))\vee(\operatorname{Eq}_{\mathfrak{C},i+1}(x,y)\wedge\operatorname{Pref}_{\mathfrak{C}}(x,y))$$意义：根据这些关系，能够表述由于优先序的变化而引起的偏好改变，正如动态认知逻辑中刻画知识由于信息的变化而发生变化的过程一样。动态算子的引入语义层面的动态算子现在考虑在语义中引入下列四个动态算子：$$[+C]$$表示在优先序右边加新元素$$C$$$$[C+]$$表示在优先序左边加新元素$$C$$$$[-]$$表示去掉长度为$$n$$的优先序的最后的一个要素$$[i\rightleftarrowsi+1]$$表示第$$i$$项和第$$i+1$$项相互对换对应的归约公理（1/2）动态偏好逻辑的归约公理根据对上面偏好关系的变化，可以得到如下对应的归约公理：$$[+C]\operatorname{Pref}(x,y)\leftrightarrow\operatorname{Pref}(x,y)\vee(\operatorname{Eq}(x,y)\wedgeC(x)\wedge\negC(y))$$$$[C+]\operatorname{Pref}(x,y)\leftrightarrow((C(x)\wedge\negC(y))\vee((C(x)\leftrightarrowC(y))\wedge\operatorname{Pref}(x,y)))$$$$[-]\operatorname{Pref}(x,y)\leftrightarrow\operatorname{Pref}_{n-1}(x,y)$$对应的归约公理（2/2）互换操作的归约公理$$[i\rightleftarrowsi+1]\operatorname{Pref}(x,y)\leftrightarrow\operatorname{Pref}_{i-1}(x,y)\vee(\operatorname{Eq}_{i-1}(x,y)\wedgeC_{i+1}(x)\wedge\negC_{i+1}(y))\vee(\operatorname{Pref}_{i}(x,y)\wedge(C_{i+1}(x)\leftrightarrowC_{i+1}(y)))\vee(\operatorname{Eq}_{i+1}(x,y)\wedge\operatorname{Pref}(x,y))$$优势分析当然，由于右边仅仅是建立在之前的Pref和增加的优先序的基础之上的，前面两个归约公理更让人满意。充分性注意：前面的两个算子中的任意一个，加上第三个和第四个算子足以表述优先序中可能发生的任意变化。8.3.2信念改变引起的偏好变化信念变化的普遍性现在继续讨论引起偏好变化的另一种因素，即信念的变化。信念的变化在日常生活中非常常见。信念变化的机制随着新信息的获得，人们对事物的认识可能发生变化，从而改变原有的信念。技术实现从技术角度来看，前面所介绍的信念更新机制可以直接应用到当前讨论的含信念的偏好系统中。偏好的依赖性由于偏好是依据信念定义的，因此，可以根据信念的变化推导出偏好的变化。例21：餐馆选择信念改变导致偏好变化的案例例21小张原本认为一家本地餐馆卫生条件不好，因此从未考虑去那里用餐。但最近他看到一篇详细的新闻报道，说明该餐馆已通过严格的卫生检查，并获得了市级的优质餐饮认证。这个新信息改变了他的信念，也导致他对餐馆的偏好发生了变化：他现在愿意尝试去那里吃饭。启示例21说明，信念的变化（如对餐馆卫生状况的认知）可能引起偏好的变化。这类情形在实际生活中十分常见。实际应用在具体应用中，为了更准确地解释主体的行为，需要关注各种可能导致偏好改变的因素，特别是那些与信念动态变化相关的因素。进一步研究本节总结本节的介绍比较简略，主要展示了偏好变化的两个主要来源：优先序的改变信念的变化参考文献对偏好变化的更多细节和对其他偏好问题的研究感兴趣的读者，可以参考文献：刘奋荣(2010)Liu(2011)8.4结语本章核心内容本章围绕智能主体的认知与行为变化，系统引入并探讨了：动态认知逻辑为描述主体如何通过新信息更新知识提供了逻辑框架信念修正理论刻画了主体在面对新信息时，如何调整原有信念以维持认知的一致性偏好变化理论进一步说明了，偏好如何根据信念的调整或主体的多重考量而动态演化，从而更真实地反映其在不同情境下的行为取向理论意义与应用价值动态模型的构建这些理论共同构建了一个描述认知与行为互动的动态模型。理论价值不仅为理解人类的认知状态与智能行为提供了逻辑工具。应用价值也为人工智能系统中自适应与灵活决策机制的构建奠定了理论基础。本章总结1.动态认知逻辑（DEL）公开宣告逻辑（PAL）的语言、语义和公理系统归约公理的重要性："目前的认知状态已经包含了未来的认知"行为模型的扩展2.信念修正理论AGM理论：扩张（$$\oplus$$）、收缩（$$\ominus$$）、修正（$$\circledast$$）三种算子利维同一性：$$\mathcal{B}\circledast\varphi\equiv(\mathcal{B}\ominus\neg\varphi)\oplus\varphi$$基于DEL的信念修正：字典序更新3.偏好变化优先序改变引起的偏好变化信念改变引起的偏好变化动态算子的引入与归约公理第9章社会网络逻辑9.1社会网络中的主体信念9.2社会影响下的信念修正9.3社会网络的模型9.3.1社会影响与信念的矩阵模型9.3.2社会结构与认知的关系模型9.4社会网络特征的刻画9.4.1稳定性与一致相信9.4.2动态性与社会宣告9.5知识拓展：社会网络与图9.5.1社会网络作为图结构的性质9.5.2图博弈逻辑9.6结语本章引言社会网络逻辑概述什么是社会网络逻辑社会网络逻辑（SocialNetworkLogic）是一种应用于社会网络分析的逻辑框架，它结合了逻辑学、图论、社会学和网络科学的概念来分析和理解社会网络中的结构、动态和影响力。核心关注点如何通过形式化的方法描述社会网络中个体（或节点）之间的关系这些关系如何影响信息、影响力和行为的传播社会关系与认知推理之间的互动研究背景与意义日常生活中的社会网络在日常生活中，个体总是身处由各种社会关系交织而成的群体之中。这些群体中的个体通过朋友、亲属、同事等关系相互连接，构成复杂的社会网络。认知影响机制在此类结构中，个体对外界信息的认知往往会受到网络中其他成员的意见与行为的影响。本章目标探究社会网络如何引发个体认知状态的变化，以及在此影响下个体如何进行认知推理。9.1社会网络中的主体信念社交平台的推荐机制当今的社交平台普遍采用基于好友关系与关注列表的推荐算法，向用户推送他们可能感兴趣的内容。本节重点通过逻辑推理场景，说明社会关系与平台机制如何共同塑造用户的认知。例22：社交平台中的信息传播情景设定在某社交平台上，某条新闻发布后，用户小爱最初对该新闻持开放（不确定）的态度。然而，她关注的好友纷纷对该新闻点赞或转发，认为内容真实可信。平台机制平台检测到小爱的好友列表对该新闻反馈良好，因此算法优先向小爱推送该新闻，并特别标注有多位好友点赞或收藏。形式化表示基本符号定义用命题变元$$p$$表示该新闻用符号$$B$$表达主体的信念状态符号$$F$$表示"我的所有平台好友"对偶算子$$⟨F⟩$$表示"我的一些平台好友"小爱的初始信念状态表示小爱既不相信$$p$$，也不相信$$¬p$$，处于不确定状态：信念变化的两个原则（1）强影响原则如果我有些朋友相信$$p$$，那么我也会相信$$p$$：（2）弱影响原则在更谨慎的情况下，如果我有些朋友相信$$p$$，那么我至少会放弃对$$¬p$$的怀疑：强影响与弱影响强影响如果主体在社会关系的影响下会积极修正自己的信念，则称其受到了强影响。案例：如果小爱一直未接触到关于$$p$$的负面信息，她会因好友圈的共识而陷入"信息茧房"，从而强化对$$p$$的信念，最终相信$$p$$。弱影响如果主体仅收缩了对$$¬p$$的信念（即不相信$$¬p$$），则称主体受到了弱影响。案例：小爱与这些朋友只是泛泛之交的网友，可能不会完全采纳朋友们的观点。例23：平台的破圈策略背景设定平台审核发现新闻$$p$$存在大量争议，经权威渠道核实后初步判定其为"不实信息"。基于此，平台对相关内容或账号采取降权措施。破圈策略平台发现小爱的信息来源长期趋于同质化，因此特别对她实施"破圈"策略：增加向她推送辟谣内容包括好友转发点赞的辟谣消息社区意见领袖或权威机构发布的辟谣视频破圈策略的影响信念动摇在平台实施"破圈"策略后，小爱会发现自己的好友圈中出现了反对原新闻$$p$$的声音，使她对原本相信$$p$$的态度产生动摇，回到怀疑的态度：$$⟨F⟩¬Bp→(¬Bp∧¬B¬p)$$此时好友圈中关于$$p$$的意见已不再统一。权威影响的形式化专家符号定义符号$$ℰ$$表示"所有专家"对偶算子$$⟨ℰ⟩$$表示"一些专家"权威性的影响假设相较于普通朋友，小爱更信任专家或权威人士，专家意见对她信念的影响将大于朋友意见。即使好友中仍有人相信$$p$$，专家的意见也足以让她放弃对$$p$$的信念：9.2社会影响下的信念修正社会影响的定义在上述例子中，小爱根据接收到的信息改变自己的信念。这些信息来源于与她具有特定社会关系的主体，例如，朋友、受信任的社区专家或意见领袖。称这种改变主体信念的影响为社会影响。形式化需求为了研究社会影响下的认知推理，首先需对社会影响进行形式化刻画。认知状态的自动机表示三种信念状态主体的信念状态可以抽象为三种：相信$$p$$（记作$$Bp$$）不相信$$p$$（记作$$¬Bp$$）中立或怀疑状态（记作$$Up:=¬Bp∧¬B¬p$$）状态转换机制基于群体逻辑和认知逻辑将一个主体的认知状态表示为自动机状态，并通过自动机状态的转换来表示主体的信念变化。社会网络示例小爱的社会网络假设小爱的关注列表包括好友小波、小迪以及专家曹教授，如图9-1所示。图9-1小爱所处的社会网络结构社会网络结构说明关系描述小爱在社交平台中的关系结构：她关注了好友小波和小迪，且他们均相信新闻$$p$$小爱持不确定态度她还关注了专家曹教授，但曹教授当前尚未明确表态关系类型实线表示普通好友关系虚线箭头表示小爱关注了专家，且专家对小爱会产生单向的"权威影响"社会网络的基本概念社会网络将社会关系所关联的主体集合称为社会网络。社群将通过社会关系所连接的主体子集称为社群。形式化模型可以使用模型$$M=⟨A,R,V⟩$$对上述社会网络进行形式化刻画：$$A$$表示主体集合$$R$$表示主体之间的关系集合$$V$$为赋值函数社会关系的逻辑特性朋友关系朋友关系通常表现为对称关系，即如果主体$$a$$是主体$$b$$的朋友，那么主体$$b$$也必然是主体$$a$$的朋友。专家关系专家与主体之间的关系通常是非对称的，即主体$$a$$可能将主体$$b$$视为专家，而主体$$b$$未必将主体$$a$$视作专家。模型约束通过在模型中适当地限定关系$$R$$，可以表征不同的社会网络结构。强影响与弱影响的形式化动态程序表示若主体受到强影响，则进行信念修正$$(Rp)$$；若受到弱影响，则进行信念收缩$$(C¬p)$$。PDL系统中的表示在命题动态逻辑（PropositionalDynamicLogic,PDL）系统中，可以通过定义一个动态算子表示这些影响的动态程序，由此将信念变化的动态特性在PDL中进行归约。信念状态的自动机自动机表示从局部的角度看，主体的信念状态通过一个自动机中的三种状态——$$Bp$$,$$B¬p$$,$$Up$$表示，然后用有向边加标记条件表示在不同的外部影响下触发的状态转换，如图9-2所示。图9-2信念状态的自动机状态转换示例小爱的信念变化例如，小爱最初处于状态$$Up$$，受到强影响后转移至状态$$Bp$$；若随后专家产生强影响，则可能：直接转至$$B¬p$$或先回退至中立状态$$Up$$再进一步改变程序与自动机的结合信念变化的程序与自动机状态相结合，使我们能够精确描述主体信念在多轮社会互动中的演化过程。社会影响的阈值条件阈值设定为刻画自动机变化与社会网络更新之间的联系，可以设定社会影响的阈值条件。100%阈值示例阈值设为100%时：主体只有在所有朋友均相信$$p$$时才会受到强影响若无人相信$$¬p$$，主体可能受到弱影响假设条件该阈值条件需假设主体关系非空，从而避免逻辑中全称量词带来的空洞有效性。强弱影响的公式表达形式化定义强、弱影响可通过如下公式表达：$$Sφ↔(FBφ∧⟨F⟩Bφ)$$$$Wφ↔(F¬B¬φ∧⟨F⟩Bφ)$$公式解释$$Sφ$$：所有朋友都相信$$φ$$且至少有一个朋友相信$$φ$$$$Wφ$$：所有朋友都不相信$$¬φ$$且至少有一个朋友相信$$φ$$社会网络的全局特征动力系统视角若将社会网络整体视为由多个主体及其关系所构成的动力系统，那么就可以进一步讨论稳定与变化两种全局特征。迭代更新当每位主体都在更新规则（强影响或弱影响）下反复迭代后，可能出现几种情形。三种全局状态◦稳定在若干次更新后，所有主体的信念状态都不再发生任何改变。也就是说，在随后每一轮应用同样的影响规则时，没有人触发修正或收缩操作。此时，我们称整个社会网络达到了一个稳定状态或平衡。◦波动或持续变化在迭代更新过程中，若存在主体来回切换于不同状态，或整个社群的信念分布在若干配置之间循环往复，则说明此社会网络尚未稳定，甚至可能永远不稳定。我们可称之为波动或振荡。◦暂时不稳定但最终稳定也存在一些网络和初始条件，开始时主体信念不断改变，但在有限轮之后所有人终将停留在某一分布。这时我们会说网络将要稳定，最终进入某个稳定状态。小爱的案例在本例中，小爱经历了好友强影响后从$$Up$$转为$$Bp$$，可是一旦某轮更新开始考虑专家曹教授的反面意见，也可能把小爱的状态拉回到$$Up$$，甚至$$B¬p$$。收敛性分析不确定性整个社群就不一定能马上稳定在"全员相信p"或"全员相信$$¬p$$"的状态。持续变化的可能性相反，有些网络结构会使主体信念在多次更新后依旧来回切换，陷入持续的变化或波动。影响因素要确定最终结果是否收敛，需要结合具体的更新规则，如：阈值设置更新顺序并行更新等稳定社群网络结构模型更新在一个社会网络模型中，每当主体在社会影响下更新信念，都会引发整体模型节点状态的更新。稳定状态如果最终所有主体都稳定在某一信念分布上，则可说社群已达成稳定，例如图9-3所示的稳定社群网络结构。图9-3稳定社群网络结构稳定社群的特征案例分析在该社群中，小爱有两位朋友相信$$p$$，一位朋友相信$$¬p$$。稳定性条件根据前文所设定的阈值影响条件，这种情况不足以使小爱改变自己的信念，因此当前结构中的信念状态是稳定的，社群整体将维持现有的信念分布不变。波动社群结构持续变化若在多轮更新中，主体信念状态仍不断发生翻转，则处于变化甚至长期振荡，如图9-4所示的波动社群结构。图9-4波动社群结构波动社群的形成机制二元社群案例图9-4展示了由小爱和小波构成的二元社群。振荡原因根据强影响阈值模型，在每次变化中，双方因观察到对方持有相反信念而触发修正操作，导致立场交替反转，形成无限循环的振荡现象。收敛条件在缺乏外部信息输入或第三方主体干预的情况下，这种动态无法收敛至稳定状态。稳定性的形式化刻画稳定性公式可以用以下公式刻画社群的稳定性，公式的四个合取肢分别对应自动机状态保持不变的四种情景：$$¬(B¬p∧Wp)∧¬(Up∧Sp)∧¬(Up∧S¬p)∧¬(Bp∧W¬p)$$公式含义不存在从$$B¬p$$状态受弱影响转变的情况不存在从$$Up$$状态受强影响转变到$$Bp$$或$$B¬p$$的情况不存在从$$Bp$$状态受弱影响转变的情况波动性的形式化刻画波动性公式表示社群的波动，一个可能的刻画方式是假设社群中每一个主体满足以下条件：$$(FBp∧FFB¬p)∨(FB¬p∧FFBp)$$公式含义所有直接朋友相信$$p$$，但所有朋友的朋友都相信$$¬p$$或者所有直接朋友相信$$¬p$$，但所有朋友的朋友都相信$$p$$这种结构容易导致信念的周期性振荡。外部因素的影响平台算法与外部消息在实际应用中，平台算法或新的外部消息都会左右主体能否收敛到稳定立场。系统整体演化这就把社会认知系统的整体演化，与每个主体局部的自动机状态变化有机地联系起来。个体变化与群体影响信念变化的来源社群中个体信念的变化不仅源于朋友的影响，也可能因临时信息或个人因素而发生。打破均衡即使个体原本处于稳定结构，新的外部信息也可能打破这种均衡，引发其他成员的连锁反应，导致社群的整体演变。群体信念聚合在研究群体信念的聚合时，例如，多数或所有成员是否相信某命题，即便单个个体的信念变化也可能显著影响整体态度。网络结构的影响结构紧密性紧密网络：一个个体的变化可能触发整体信念的重新收敛松散网络：个体变化可能难以影响整体局势网络动态变化社会网络结构的变化也会影响稳定性：对立的主体断交可能使波动停止新成员加入网络则可能引入新的不稳定因素关系动态更新模型需求模型需允许动态增删关系$$F$$，及时反映对影响强弱的变化。影响效果波动状态下：删除关键关系可能恢复稳定稳定状态下：引入更多相反意见的成员则可能导致新的波动9.3社会网络的模型建模背景在社会网络中，主体的信念与知识演化深受网络结构的制约。为了刻画这一复杂过程，本节将介绍两种对社会网络结构建模的方式。两种建模方式基于概率计算的量化矩阵模型，用以定量分析社会影响下的信念传播基于可能世界语义的逻辑框架，通过可及关系与模态公理刻画社会结构对认知的约束与推理9.3.1社会影响与信念的矩阵模型马尔可夫过程建模社会网络中的群体信念可以建模为一个马尔可夫过程，其中每个主体的信念状态会受到他人影响而更新。定义60（信念影响矩阵$$I$$）给定由$$m$$个主体组成的社群。用$$I$$表示其影响矩阵，$$I$$是一个$$m×m$$的实矩阵，其中元素$$I_ij∈[0,1]$$表示第$$j$$个主体对第$$i$$个主体的影响权重。矩阵约束条件每行的和为1：$$∑_j=1^mI_ij=1$$无自我影响：$$I_ii=0$$含义：每个主体的下一步信念完全由他人当前信念加权决定。影响矩阵的图表示图论映射矩阵$$I$$实际上可以映射到一个有向图中：节点代表主体节点之间带有权重的有向边表示信任关系有向边的含义$$I_ij>0$$意味着在影响网络的有向图中存在从主体$$j$$指向主体$$i$$的边，表示$$j$$会对$$i$$的信念产生影响。定义61：群体信念定义61（群体信念）令$$𝔅={0,1}^m$$为所有可能的群体信念状态的集合，每个状态用长度为$$m$$的0-1向量表示，其中第$$i$$位表示第$$i$$个主体当前是否持有某命题的信念："信(1)"，"不信(0)"。符号表示记随机向量$$B=(B_1,B_2,⋯,B_m)∈𝔅$$表示当前群体信念配置，$$B'$$表示下一步的群体信念随机向量。群体信念示例三人群体考虑由小爱、小波和小迪组成的群体，他们之间存在一定的信任关系，每位主体对某个给定命题的信念用二元值$$0/1$$表示。信念向量这个群体的信念状态可以表示为一个3维向量。例如，状态$$(1,1,0)$$表示小爱和小迪相信该命题，而小波不相信。示例的矩阵表示群体信念向量$$B=（1，1，0）$$信念影响矩阵$$I=三行三列矩阵：第1行0，1，0；第2行0.4，0，0.6；第3行1，0，0$$矩阵元素解释行和约束在矩阵$$I$$中，每一行的数字总和都是1，表示每个主体对其他主体的信任。具体元素含义$$I_12=1$$：主体1（小爱）只信任主体2（小波）$$I_23=0.6$$：主体2（小波）对主体3（小迪）的信任度是0.6对角线元素对角线位置$$I_ii$$表示主体$$i$$对自己的信任，假设这些值皆为0，意味着三位主体都不信任自己的观点。信念聚合过程计算方法根据基于影响矩阵$$I$$和群体的信念$$B$$，可以得到群体信念互相影响的聚合过程，也就是主体信念在社群影响下的变化。矩阵乘法计算的结果实际上就是$$I$$与$$B$$的乘积。信念更新示例当前状态当群体的当前信念状态为$$B=(1,1,0)$$。下一步信念通过相乘得到$$B'=(1,\0.4,\1)$$。结果解释这意味着在下一步中：小爱继续相信命题的概率为1小波相信命题的概率为0.4小迪相信命题的概率为1定义62：信念转换矩阵定义62（信念转换矩阵$$T$$）给定一个含$$m$$个主体的社群及其信念影响矩阵$$I$$，一个信念转换矩阵$$T$$是一个$$2^m×2^m$$的概率矩阵，其任意条目由下式给出：含义：$$T_bd$$表示当当前群体信念状态为$$b$$时，下一步转变到群体信念状态$$d$$的概率。条件独立性关键事实在给定当前群体信念状态$$b$$下，各主体的下一步信念更新是相互条件独立的随机事件。原因每个主体只受到当前状态的影响，其更新与他人更新同时发生且彼此独立。分解形式因此，$$T_bd$$可分解为各个体独立更新概率的乘积。个体更新概率取信念1的概率对于任意主体$$i$$，在当前群体信念状态为$$b$$时其下一步取信念1的条件概率为该主体所有目前持有信念1的邻居对其的影响权重之和：取信念0的概率而取信念0的条件概率则为该和的余量：转换矩阵计算公式总体转换概率由于各主体更新独立，有：$$T_bd=∏_(i∈G)P(Bv_i'=d_i|Bv=b)$$其中，$$d_i$$表示群体信念状态$$d$$中第$$i$$个分量的取值。公式作用上述公式给出了如何由影响矩阵$$I$$计算任意当前群体信念状态$$b$$转移到下一群体信念状态$$d$$的概率。示例的信念转换矩阵完整转换矩阵上述例子的信念转换矩阵表示为：$$T$$：一个8×8矩阵，按行写为：第1行：1,0,0,0,0,0,0,0第2行：0.4,0,0.6,0,0,0,0,0第3行：0,0,0,0,0,1,0,0第4行：0,0,0,0,0.4,0,0.6,0第5行：0,0.6,0,0.4,0,0,0,0第6行：0,0,0,1,0,0,0,0第7行：0,0,0,0,0,0.6,0,0.4第8行：0,0,0,0,0,0,0,1定义63：社会影响下的信念修正模型定义63（社会影响下的信念修正模型）一个社会影响下的信念修正模型$$𝕄=(G,I,𝔅,T)$$，其中：$$G$$是$$m$$个主体的社群$$I$$是一个$$m×m$$信念影响矩阵$$𝔅$$是所有$$m$$个主体的信念集合，用一个$$m$$维二元向量表示$$T$$是由信念影响矩阵生成的信念转换矩阵9.3.2社会结构与认知的关系模型关系模型视角从关系模型的角度看，社会关系可以被刻画为主体间的二元关系。由此，一个社会网络可以定义为一个关系框架。定义64（社会网络）一个社会网络$$S$$表示为二元组$$（其中：$$Ag$$是主体的集合$$f⊆Ag×Ag\\{(i,i)|i∈Ag}$$是定义在主体集$$Ag$$上的二元关系，用于表示某种特定的社会关系关系性质在刻画不同的社会关系时，$$f$$的性质会随场景而异。例如，友谊关系通常是对称且非自反的。定义65：社会认知模型定义65（社会认知模型）基于社会网络$$S$$的一个社会认知模型$$M$$是一个结构：$$⟨W,{R_a}_{a∈Ag},S,V⟩$$其中：$$W$$是可能世界集合$$S$$是一个社会网络对社会网络中每个主体$$a∈Ag$$，$$R_a⊆W×W$$为其认知可及关系$$V$$则为命题赋值二维赋值映射二维映射为了反映主体间关系与主体态度的联系，可以假设命题赋值$$V$$是一个二维映射，即将命题变元映射到$$W×Ag$$的子集上。真值条件对任意$$w∈W$$、$$a∈Ag$$，若$$(w,a)∈V(p)$$，表示命题$$p$$对于主体$$a$$在世界$$w$$上为真。二维语义在此假设下，社会认知模型$$M$$提供一种二维语义解释：对每个可能世界$$w$$以及主体$$a$$组成的二元组，都可解释命题在此二元组处是否为真。定义66：社会认知语言定义66（社会认知语言$$𝓛_{EF}$$）社会认知语言$$𝓛_{EF}$$的语法定义如下：其中，$$ρ∈{Prop}$$，$$n∈ANom$$。语言成分解释命题变元命题变元$$ρ∈{Prop}$$代表带有索引词的句子，如"我在从事某事"，并结合知识算子$$K$$构成基本的认知模态语言。混合逻辑成分除此之外，$$𝓛_{EF}$$还引入了混合逻辑的部分：$$n∈ANom$$用作指名词$$@_n$$允许将评估点切换到指名词$$n$$所指的那个主体$$↓n.φ$$与混合逻辑中的绑定算子类似，将公式和当前评估点绑定朋友量化算子$$F$$算子引入一个新的模态算子$$F$$，用于对"朋友"进行量化。命名函数为解释包含主体名字的语言$$ℒ_{EF}$$，需要在模型中增加命名函数$$g$$，将$$n∈ANom$$映射至其所命名的主体$$g(n)∈Ag$$。定义67：真值条件定义67（真值条件）设模型$$𝔐=W,{Rₐ}a∈Ag,S,V,g$$，其中，$$g$$为命名函数，$$V$$为二维映射。部分公式$$φ$$在$$(w,a)$$处为真的条件定义如下：$$𝔐,w,a⊨p⟺(w,a)∈V(p)$$$$𝔐,w,a⊨n⟺g(n)=a$$真值条件（续1）$$F$$算子的真值条件$$K$$算子的真值条件真值条件（续2）$$@_n$$算子的真值条件绑定算子的真值条件其中，当$$j=n$$有$$g_n^a(j)=a$$，否则$$g_n^a(j)=g(j)$$。9.4社会网络特征的刻画本节从定量与定性两个建模角度出发，形式化地刻画社会网络的结构属性，包括稳定性与动态性，以及它们对信息在网络中传播的影响。结构特征的重要性在9.2节中，我们介绍了社会网络结构的一些关键特征，如稳定性与动态性，它们会影响信息在网络中的传播。形式化刻画本节将分别从定量与定性两个建模角度出发，形式化地刻画这些结构属性。9.4.1稳定性与一致相信基于矩阵模型基于社会影响下的信念修正模型$$M$$，可以进一步定义一个群体信念的概念。定义68（社群的潜在信念）如果一个群体$$G$$的初始信念状态是$$B$$，若存在一个自然数$$N$$使得对所有$$n\geqslantN$$，都有：那么称该群体对给定命题具有潜在的群体信念。直观解释如果经过足够多次迭代之后，群体最终达成"一致相信"该命题的概率始终大于0.5，就说群体对该命题具有潜在信念。潜在信念与稳定性稳定性体现在9.2节中提到了社群的稳定性，实际上，潜在的群体信念正体现了这种稳定性。形式刻画目标本节将在信念矩阵的基础上，对这类社群的稳定性进行形式刻画，从而表示群体的信念。吸收态与吸收链定义69（吸收态）如果不可能离开马尔可夫链的状态$$s_i$$，则称该状态为吸收态（$$T_ii=1$$）。吸收链如果马尔可夫链包含至少一个吸收状态，并且如果对于每个状态，达到吸收状态的概率（不一定是一步完成）都是严格的正数，则称该马尔可夫链是吸收的。共识状态典型的吸收态一种典型的吸收态就是共识状态，即群体中所有主体的信念都达成一致。二元命题的共识例如，对于二元命题，群体所有成员要么全部支持（所有$$b_i$$=1），要么全部反对（所有$$b_i$$=0）。稳定性一旦达到这样的全同意见状态，后续的演化将保持所有主体的信念不变。共识形成的条件决定因素信念影响矩阵和社会网络结构决定了共识是否能够形成以及如何形成。收敛条件如果社会网络满足一定条件，群体信念将倾向于朝共识演化，而共识态作为吸收态将以概率1最终到达。两个重要的结构性质强连通性社会网络是强连通的，意味着对于群体中任意两个主体，存在一条有向路径可以使其中一个影响到另一个。简言之，信息和影响在网络中可以从任何人传播到任何其他人。非周期性网络的影响关系不存在纯循环振荡。严格来说，马尔可夫链的非周期性指