2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期末数学试卷考试注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．

一、填空题（共12题，满分54分，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分.）1．已知集合，2，3，4，，，则．2．解不等式，则不等式的解集是3．已知幂函数在上单调递增，则实数．4．等差数列的前项和为，且，，则．5．在的展开式中，常数项为（用数字作答）6．已知正实数、满足，则的最大值为．7．将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为．8．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则．9．已知甲盒中有4个红球和3个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是．10．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则（精确到．11．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于点，，与轴交于点，，，则的离心率为．12．在以为原点的空间直角坐标系中，设、，和是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，、且，则的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，满分18分，考生必须在答题纸的相应编号上将代表答案的小13．已知抛物线上的一点，到其焦点的距离为3，则的值为（）A．1 B．2 C． D．14．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数15．已知正四面体的棱长为3，动点满足，则的最小值为（）A． B． C．2 D．316．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设（a）（b），，，则对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；结论②：若当，恒有，则函数一定是偶函数．A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置.）17．已知函数，其中实数．（1）若的最小正周期为，求在处的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．18．如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点．（1）设平面平面，求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小．19．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表．购买手机购买无技术的手机总计男性顾客4565110女性顾客563490总计10199200（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由；（2）从这110位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买手机的概率（精确到；（3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励300元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望．参考公式及数据：①，其中．②，，，．20．（18分）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于、两点．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若是双曲线上在第一象限的点，，求△的面积；（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．21．（18分）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为（D），最小值为（D）．（1）设，，若（D），求实数的值；（2）设，，，若（D）（D），且，求的值；（3）已知，（1），且对任意闭区间，，（D）与（D）均存在．求证：“在区间，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，，当，且时，均有．”

参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.）1．已知集合，2，3，4，，，则，．解：因为集合，2，3，4，，，所以，．故答案为：，．2．解不等式，则不等式的解集是解：由，得，所以，即，解得，所以不等式的解集为．故答案为：．3．已知幂函数在上单调递增，则实数6．解：因为幂函数在上单调递增，由题意得，，解得，．故答案为：6．4．等差数列的前项和为，且，，则100．解：设等差数列的公差为，由，得到：，解得．所以．故答案是：100．5．在的展开式中，常数项为60（用数字作答）解：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，则展开式的常数项为，故答案为：60．6．已知正实数、满足，则的最大值为．解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．故答案为：．7．将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为．解：底面半径为1，高为的圆柱形铁块的体积为，设实心铁球的半径为，则，解得，故该实心铁球的表面积为．故答案为：．8．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则1或3．解：由复数可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，的几何意义是圆上的点到点的距离，点到圆心的距离，的几何意义是圆上的点到点的距离，点到圆心的距离，因此的最小值为．因此的最小值为．，即或．故答案为：1或3．9．已知甲盒中有4个红球和3个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是．解：记“从甲盒取出红球放入乙盒”的事件，“从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球”的事件，则，，，由全概率公式得．所以从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率为．故答案为：．10．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则（精确到．解：由题意知，，而，在△中，由正弦定理知，，所以，在△中，由正弦定理知，，所以，因为为钝角，所以，所以．故答案为：．11．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于点，，与轴交于点，，，则的离心率为．解：设，因为，所以，，由对称性得，又，即，所以，，由椭圆的定义得，所以，，又，在△中，由余弦定理得，所以，故的离心率．故答案为：．12．在以为原点的空间直角坐标系中，设、，和是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，、且，则的取值范围是，，．解：设，，，，，且，，，，1，，且，由题意，设，，，，，，，，，，，，，，代入中，得，，，直线与圆有两个不同的交点，，的斜率的取值范围为，如图，由，得，，直线与圆的交点坐标为，，，，直线、直线斜率互为相反数，且过同一点，与圆都是关于纵轴对称，当时，，，，，的取值范围是，，．故答案为：，，．二、选择题（本大题共4题，满分18分，考生必须在答题纸的相应编号上将代表答案的小13．已知抛物线上的一点，到其焦点的距离为3，则的值为（）A．1 B．2 C． D．解：由抛物线得，即，因此其准线方程为，由题意及抛物线的定义得：点，到准线的距离为3，即，解得．故选：．14．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（）A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数解：一组不全相等的数据，去掉一个最大值，极差、中位数、众数可能不变，但平均数肯定变小．故选：．15．已知正四面体的棱长为3，动点满足，则的最小值为（）A． B． C．2 D．3解：因为，所以，即，因为，不共线，所以，，共面，所以点在平面内，所以当平面时，最小，如图，取的中点，连接，则点在上，且，所以，即的最小值为．故选：．16．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设（a）（b），，，则对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；结论②：若当，恒有，则函数一定是偶函数．A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误解：对于结论①，若函数不是偶函数，则存在（a），不妨设（a）（否则用取代，因为和值域均为，则存在使得，此时有（a）（b），根据（a）（b），依题意有（b），这与（b）矛盾，故函数一定是偶函数，结论①正确；对于结论②，若函数不是偶函数，则存在（b），不妨设（b）（否则用取代，因为和值域均为，则存在使得，此时（b）（a），依题意，由（a）有，即（b），所以，而可推出，即（a）（b），与（b）（a）矛盾，故函数一定是偶函数，结论②正确．故选：．三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置.）17．已知函数，其中实数．（1）若的最小正周期为，求在处的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．解：（1）由题意可得，因为的最小正周期为，所以，解得，所以，则，可得切点为，又，则，所以在处的切线方程为，即；（2）由（1）知，，由于，则，又在区间上恰有两个零点，则，且，即，解得，故的取值范围为．18．如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点．（1）设平面平面，求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小．解：（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以；（2）由题意得四边形为边长为2的正方形，，由已知，由勾股定理得，，当且仅当时，等号成立，则，故当时，三棱锥的体积最大，因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故即为二面角的平面角，则，所以．19．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表．购买手机购买无技术的手机总计男性顾客4565110女性顾客563490总计10199200（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由；（2）从这110位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买手机的概率（精确到；（3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励300元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望．参考公式及数据：①，其中．②，，，．解：（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取，得，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关．（2）由题意得．（3）解法一：设第次抽中奖金为，则，由题设可得的分布列为0100300从而，而，相互独立，故．解法二：由题意得，随机变量的可能取值为0，100，200，300，400，600，而，，，，，，故的分布列为0100200300400600期望．20．（18分）已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于、两点．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若是双曲线上在第一象限的点，，求△的面积；（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．解：（1）对于双曲线，可得，故双曲线的渐近线方程为，即；（2），直线与双曲线的右支交于、两点．设，，，由题意可知，，则，由，得，即，又在双曲线上，故，则，结合，得，则，由于，故，又，故△的面积．（3）直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，设，，，，由，知，，设直线方程为：，与双曲线联立化简得，，△显然成立，设交点，、，，如图，由韦达定理：，由得，，，从而，，即，即，将韦达定理代入化简得（※），因为，即，由已知，在双曲线上，得，从而得代入（※）式，得，化简得，即，解得，结合，解得，则点的坐标为．若直线斜率不存在，则，此时，，不符合题意，舍去；所以点的坐标为．21．（18分）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为（D），最小值为（D）．（1）设，，若（D），求实数的值；（2）设，，，若（D）（D），且，求的值；（3）已知，（1），且对任意闭区间，，（D）与（D）均存在．求证：“在区间，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，，当，且时，均有．”【解答】（1）解：对求导，可得．因为（D），所以是函数在区间上的最小值，所以在处取得极小值，所以，所以，解得．当时，．令，即，解得．当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增，所以在处取得最小值，满足（D）．因此，实数的值为1；（2）解：，情况，时，函数在，递增，