2025-2026学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分）1．用描述法表示图中的阴影为部分的点（含边界）的坐标组成的集合为．2．函数的定义域是．3．《再别康桥》是中国现代诗人徐志摩的诗作，是新月派诗歌的代表作，诗中写道：轻轻的我走了，正如我轻轻的来；我轻轻的招手，作别西天的云彩；那河畔的金柳，是夕阳中的新娘；波光里的艳影，在我的心头荡漾．若定义该诗的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则（2）．4．为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有人．5．已知，满足，则的范围是．6．已知函数，又，试写出，，的大小关系．7．和是关于的方程的两个实根，则的最大值为．8．不等式的解集是．9．研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么．10．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险．设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入万元宣传费．11．设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为．12．已知，，，且，则的最小值为．二、选择题（4×2+5×2＝18）13．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马定理的否定为（）A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解 B．对任意正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解14．如果正数，，，满足，那么（）A．且等号成立时，，，的取值唯一 B．且等号成立时，，，的取值唯一 C．且等号成立时，，，的取值不唯一 D．且等号成立时，，，的取值不唯一15．若实数，满足，，且，则称与互补，记，那么是与互补的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则、、均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题三、解答题17．关于的不等式．（1）若，求不等式解集；（2）当时，求上述不等式的解集．18．由正数组成的集合具有如下性质：若，且，则．（1）若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由；（2）试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由．19．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知长为4米，长为3米，设米．（1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内；（2）要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则的长度是多少时，用料最省？20．（18分）已知不等式的解集为．（1）若，求的值；（2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；（3）若解关于的不等式：．21．（18分）已知集合为非空数集，定义，，，，，．（1）若集合，，直接写出集合及；（2）若集合，，，，，且，求证；（3）若集，，且，求集合中元素的个数的最大值．

参考答案一、填空题（4×6+5×6＝54）1．用描述法表示图中的阴影为部分的点（含边界）的坐标组成的集合为，．解：图中阴影部分的点的坐标组成的集合为：，．故答案为：，．2．函数的定义域是且．解：函数，则，解得且，故函数的定义域为且．故答案为：且．3．《再别康桥》是中国现代诗人徐志摩的诗作，是新月派诗歌的代表作，诗中写道：轻轻的我走了，正如我轻轻的来；我轻轻的招手，作别西天的云彩；那河畔的金柳，是夕阳中的新娘；波光里的艳影，在我的心头荡漾．若定义该诗的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则（2）6．解：因为该诗的第2行有7个字，第7行有6个字，定义该诗的第行的字数（标点符号不计入字数）为，所以（2）（7）．故答案为：6．4．为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有7人．解：由100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，作出韦恩图，如图所示：可知持有交通卡或有自行车的人数为，所以既无交通卡又无自行车的人数为．故答案为：7．5．已知，满足，则的范围是，．解：因为，且，则，可得．故答案为：，．6．已知函数，又，试写出，，的大小关系．解：由，，，，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，又在单调递减，所以，所以．故答案为：．7．和是关于的方程的两个实根，则的最大值为18．解：和是关于的方程的两个实根，△，时，取得最大，最大值为18故答案为：18．8．不等式的解集是，，，．解：由题意可知：，解得或，且，当时，显然不等式成立，当时，不等式也成立，当时，，，不符合条件，当时，符合条件，当和时，和，符合条件，综上所述：不等式的解集为，，，．故答案为：，，，．9．研究表明，函数为奇函数时，函数的图象关于点成中心对称．若函数的图象对称中心为，那么3．解：根据题意，设，若的对称中心为点，则为奇函数，依题可知，且，则，即，则有，，则有，解可得：，，故．故答案为：3．10．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险．设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入24万元宣传费．解：设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费，设，，由题意可得，即，可得，即，设，则，可得，整理可得，解得或（舍去），即，可得，此时，符合题意，所以在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费．故答案为：24．11．设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为，，，．解：已知存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，则且（1），又因为关于的方程无实数解，则且，可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的，若，只需取，则无解；若，只需取，则无解；若，只需取，则无解；所以的取值范围是或或．故答案为：，，，．12．已知，，，且，则的最小值为．解：，，，且，则，由，可得，当且仅当时，取得等号．则原式．当且仅当时，取得等号．则所求最小值为．故答案为：．二、选择题（4×2+5×2＝18）13．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马定理的否定为（）A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解 B．对任意正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解解：命题为全称命题，则命题的否定为：存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解，故选：．14．如果正数，，，满足，那么（）A．且等号成立时，，，的取值唯一 B．且等号成立时，，，的取值唯一 C．且等号成立时，，，的取值不唯一 D．且等号成立时，，，的取值不唯一解：如果，是正数，则根据均值不等式有：，则如果，是正数，则根据均值不等式有：；则，，，满足，当且仅当时取等号．化简即为：且等号成立时，，，的取值唯一．故选：．15．若实数，满足，，且，则称与互补，记，那么是与互补的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：若，则，两边平方解得，故，至少有一为0，不妨令则可得，故，即与互补；若与互补时，易得，故，至少有一为0，若，，此时，同理若，，此时，即，故是与互补的充要条件．故选：．16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；②若、、均是定义域上的奇函数，则、、均是定义域上的奇函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题解：对于①：设、是定义域为的函数，为偶函数，为奇函数，且，那么可得，可得，，，可知为偶函数，，可知为奇函数，故①为真命题；对于②：设，，，可知、、均是定义域上的奇函数，且，，，所以、、均是定义域上的奇函数，故②是真命题．故选：．三、解答题17．关于的不等式．（1）若，求不等式解集；（2）当时，求上述不等式的解集．解：（1）因为，所以，所以且解得或，所以，不等式的解集为，，；（2）①当时，，因为恒成立，所以，即不等式的解集为，，；②当时，且，解得或，且，即不等式的解集为：，，，；③当时，且，解得或，且，即不等式的解集为：，，，；④当时，，所以，且，解得或，即不等式的解集为：，；⑤当时，且，解得或，即不等式的解集为，，，综上，当时，不等式的解集为，，；当时，不等式的解集为：，，，；当时，不等式的解集为：，，，；当时，不等式的解集为：，；当时，不等式的解集为，，．18．由正数组成的集合具有如下性质：若，且，则．（1）若且，试分别判断与是否在集合内并说明理由；（2）试问集合能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合，若不能，请说明理由．解：（1）由题意有：，，且，所以，又因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以；（2）设，，，由性质有，所以或，当时，所以，整理得，因为，若，则，即，若时，解得，与矛盾，不满足题意，当时，则，由，若时，所以，解得（舍去负根），即；若时，，即，综上所述，集合能有两个元素且，所有满足条件的集合为：．19．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，已知长为4米，长为3米，设米．（1）要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内；（2）要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则的长度是多少时，用料最省？解：（1）已知长为4米，长为3米，又米．由，可得，则，则，花坛面积等于，由题意可得：，由题意，可得，即，解得或，所以的长应在范围内．（2）根据题以，可得扩建部分面积，令，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省．20．（18分）已知不等式的解集为．（1）若，求的值；（2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；（3）若解关于的不等式：．解：（1）因为，不等式的解集为，所以不等式的解集为，且不等式的解集为；所以2和3是方程的两个实数根，所以，解得，；所以．（2）由（1）知，，，所以不等式，可化为，由（1）知，不等式恒成立，所以，解得；所以不等式，等价于，即，解得；因为不等式有且仅有9个整数解，所以，解得，综上，的取值范围是，．（3）若，则由（1）可知，可化为，即，当时，，不等式的解集为；当时，不等式为，解集为；当时，，不等式的解集为，；若，则不等式的解集为，且的解集为；所以2和3是方程的两个实数根，所以，解得，；所以不等式，化为，且该不等式的解集为，所以，解得；所以不等式，可化为，即，解得或，所以不等式的解集为，，；综上，时，不等式的解集为，，；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为，．21．（18分）已知集合为非空数集，定义，，，，，．（1）若