2026新高一数学暑假每日一练30天：集合、函数、运算

2026新高一数学暑假每日一练30天：集合、函数、运算适用于初三升高一暑期巩固、开学前回顾与课堂衔接训练一、基本信息适用对象2026年进入高一学习的学生；适合基础巩固型、衔接预习型、开学前集中复习型使用。使用场景暑假每日20—35分钟自主训练；家长督促练习；教师布置衔接作业；开学前数学基础诊断。资料构成30天每日一练、集合与运算速记、函数入门训练、答案与分步解析、易错点提醒、二次巩固练习、完成检查与错题复盘页。使用方法先独立作答，再对照解析订正；每天至少完成1个错因记录；每完成5天回看一次同类错题；第30天后完成二次巩固练习。适用范围围绕初高中数学衔接阶段常用基础：集合的含义与运算、实数与代数式运算、函数概念、定义域、函数值、一次函数与二次函数入门。二、练习节奏建议第1—8天：重点梳理集合语言、元素关系、子集、交集、并集、补集与区间表示。第9—14天：强化实数、分式、因式分解、配方、不等式、绝对值与常见运算法则。第15—24天：建立函数观念，训练定义域、函数值、图像语言、一次函数、二次函数与实际关系式。第25—30天：进行综合提升，把集合、运算、函数三类知识放在同一题组中迁移使用。三、每日完成要求每题先写过程，再写结论；只写答案的题目需要在订正时补出关键步骤。遇到集合题，优先确认研究范围、元素是否重复、端点是否包含。遇到函数题，先看定义域，再代入求值；分式与根式题必须先写限制条件。当天错误当天订正；相同错因连续出现两次，应回到对应速记内容重做。

每日训练题组第1天集合的含义与元素关系训练目标会读集合语言，能用列举法表示简单集合，能判断元素与集合的关系。知识速记集合中的元素具有确定性、互异性、无序性；判断“属于”时，要先看元素是否满足条件。题号题目作答区1A={x｜x是小于8的正整数，且x为奇数}。用列举法表示A，并判断3、6、9与A的关系。思路：

结论：

2B={0，1，2，3}，C={x｜x=a+1，a∈B}。用列举法表示C。思路：

结论：

3计算：(−3)^2−｜−5｜+2^3。思路：

结论：

4D={x｜x^2=4}，E={−2，2，4}。判断D与E是否相等，并说明理由。思路：

结论：

当日易错点：把“元素属于集合”写成集合之间的包含关系。；忘记集合元素不能重复，导致列举结果不规范。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第2天集合的表示方法训练目标能在列举法与描述法之间转换，能结合整数条件准确列举。知识速记描述法要写清对象范围与共同特征；列举法适合有限且元素明确的集合。题号题目作答区1用描述法表示集合{2，4，6，8，10}。思路：

结论：

2M={x∈ℤ｜−2≤x<3}。用列举法表示M。思路：

结论：

3化简：(a+2)^2−(a−2)(a+2)。思路：

结论：

4P={x｜x^2−5x+6=0}，Q={2，3}。判断P与Q是否相等。思路：

结论：

当日易错点：描述法只写“偶数”而没有限定范围。；列举整数时把不满足端点条件的数写入集合。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第3天集合元素的特性训练目标理解集合元素互异性，会用集合相等关系求参数。知识速记集合相等只看元素是否完全相同，不看顺序；集合中同一元素只写一次。题号题目作答区1A={1，a，a^2}。当a=−1时，A能否构成含3个元素的集合？说明理由。思路：

结论：

2若{2，x，5}={5，2，7}，求x。思路：

结论：

3化简：3(x−2)−2(1−x)。思路：

结论：

4这里ℕ表示非负整数。B={x∈ℕ｜x<5}，写出B，并写出其中的奇数元素。思路：

结论：

当日易错点：把集合顺序当作集合是否相等的依据。；忽略元素互异性，导致含参数集合判断错误。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第4天子集与真子集训练目标会列举有限集合的子集，会判断包含关系。知识速记空集是任何集合的子集；A⊆B表示A中每个元素都在B中。题号题目作答区1A={1，2}。写出A的所有子集。思路：

结论：

2判断下列命题：{a}⊆{a，b，c}；∅⊆{0}；{1，2}⊆{2，3}。思路：

结论：

3计算：(2x+3)(x−1)。思路：

结论：

4A={1，3}，B={1，m，3，5}。若A⊆B且B含4个元素，m应满足什么条件？思路：

结论：

当日易错点：把“∈”与“⊆”混用。；列举子集时漏写空集或全集。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第5天交集训练目标掌握交集含义，会求有限集合与整数条件集合的交集。知识速记A∩B表示同时属于A和B的元素组成的集合。题号题目作答区1A={1，2，3，4}，B={3，4，5}。求A∩B。思路：

结论：

2P={x∈ℤ｜−1≤x≤4}，Q={x∈ℤ｜x是偶数}。求P∩Q。思路：

结论：

3化简：(x^2−9)/(x+3)，其中x≠−3。思路：

结论：

4某班50人，参加数学社团28人，参加英语社团22人，两个社团都参加10人。至少参加一个社团的有多少人？思路：

结论：

当日易错点：求交集时把“所有出现过的元素”都写入。；应用计数公式时忘记减去重复计算的部分。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第6天并集与补集训练目标理解并集、补集与全集，会进行简单组合运算。知识速记A∪B表示属于A或属于B的元素；补集必须先明确全集。题号题目作答区1A={1，3，5}，B={2，3，4}。求A∪B。思路：

结论：

2全集U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}。求A在U中的补集。思路：

结论：

3计算：2^3×2^4÷2^5。思路：

结论：

4A∩B={2}，A∪B={1，2，3，4}，A={1，2，3}。求B。思路：

结论：

当日易错点：补集没有写全集就直接作答。；并集里重复书写同一元素。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第7天集合运算综合训练目标能把列举、交集、并集、补集放在同一题组中处理。知识速记先把条件集合列举出来，再进行运算，能减少漏数与端点错误。题号题目作答区1A={x∈ℤ｜−3<x≤2}，B={−2，0，2，4}。写出A，并求A∩B、A∪B。思路：

结论：

2全集U={a，b，c，d，e}，C={a，c，e}。求C在U中的补集。思路：

结论：

3化简：5a−2(a−3b)+4b。思路：

结论：

440名同学中，喜欢篮球24人，喜欢足球20人，两项都不喜欢8人。两项都喜欢的有多少人？思路：

结论：

当日易错点：含整数限制时没有先列举，直接按区间想象导致错误。；两类计数题中把“都不喜欢”当成“都喜欢”。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第8天数集与区间表示训练目标认识区间表示，能在区间、整数集合与集合运算之间转换。知识速记方括号表示包含端点，圆括号表示不包含端点。题号题目作答区1用区间表示集合{x｜−1≤x<4}。思路：

结论：

2写出区间[−2，3)中的所有整数。思路：

结论：

3解不等式3x−5<7，并用区间表示解集。思路：

结论：

4A=[1，5]，B=(3，7)。求A∩B与A∪B。思路：

结论：

当日易错点：混淆方括号与圆括号。；求区间并集时忽略两区间是否相连。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第9天实数与根式运算训练目标巩固平方、绝对值、算术平方根与根式化简。知识速记算术平方根非负；绝对值表示到0的距离，结果不为负。题号题目作答区1计算：√36−√9+｜−4｜。思路：

结论：

2计算：(−2)^3+3^2−(−1)^10。思路：

结论：

3化简：√50−2√8+√2。思路：

结论：

4若x=√3，y=√12，求y−2x。思路：

结论：

当日易错点：把(−2)^3算成正数。；根式化简时没有把被开方数分解成平方因数与剩余因数。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第10天分式运算训练目标能进行分式化简、同分母运算与简单分式方程求解。知识速记分式化简前要先考虑分母不为0；约分只能约因式，不能约项。题号题目作答区1化简：(a^2−b^2)/(a−b)，其中a≠b。思路：

结论：

2化简：x/(x−1)−1/(x−1)，其中x≠1。思路：

结论：

3解方程：(2x)/3−(x−1)/2=1。思路：

结论：

4若x≠0，且x+1/x=3，求x^2+1/x^2。思路：

结论：

当日易错点：分式约分时把分子中的单项与分母直接“约掉”。；分式方程两边同乘时漏乘某一项。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第11天因式分解训练目标巩固平方差、完全平方、提公因式与整体代入。知识速记因式分解要分解到不能继续为止；整体代入常比展开计算更快。题号题目作答区1因式分解：x^2−6x+9。思路：

结论：

2因式分解：2a^2−8。思路：

结论：

3计算：99^2−1^2。思路：

结论：

4若x+y=5，xy=6，求x^2+y^2。思路：

结论：

当日易错点：只提公因式，没有继续使用平方差公式。；完全平方公式中间项的符号与系数容易写错。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第12天配方与二次式训练目标会把二次式配方，能求简单最值与解简单二次方程。知识速记配方的核心是凑成完全平方，再观察非负性。题号题目作答区1把x^2+4x+7写成配方形式。思路：

结论：

2求x^2−2x+5的最小值，并说明x取何值时达到。思路：

结论：

3展开并合并：(x−1)^2+(x+2)^2。思路：

结论：

4解方程：x^2−5x+6=0。思路：

结论：

当日易错点：配方时只加平方数不减平方数。；二次方程因式分解后只写一个解。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第13天不等式与绝对值训练目标会解一元一次不等式，认识绝对值方程的两个方向。知识速记不等式两边同乘或同除负数时，不等号方向要改变。题号题目作答区1解不等式：2x+1≥7。思路：

结论：

2解不等式：−3x<6。思路：

结论：

3解方程：｜x−2｜=5。思路：

结论：

4A={x｜x≥1}，B={x｜x<4}。求A∩B，并用区间表示。思路：

结论：

当日易错点：除以负数时不改变不等号方向。；绝对值方程只列一个等式。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第14天运算法则综合训练目标综合运用幂、乘法公式、分母有理化与裂项思想。知识速记复杂算式先识别结构：同底数幂、平方差、完全平方、倒数差。题号题目作答区1化简：(m^3n^2)^2/(m^2n)^3，其中m≠0，n≠0。思路：

结论：

2化简：(x+1)^2−(x−1)^2。思路：

结论：

3化简：1/(√5−2)。思路：

结论：

4计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5)+1/(5×6)。思路：

结论：

当日易错点：幂的乘方指数相乘时漏乘某个指数。；分母有理化时没有同时乘以共轭式。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第15天函数概念训练目标理解函数是“每个输入都有唯一输出”的对应关系。知识速记同一个自变量不能对应两个不同函数值；函数值求解要先代入，再化简。题号题目作答区1A={1，2，3}。关系R1={(1，2)，(2，2)，(3，4)}，R2={(1，1)，(1，2)，(2，3)}。判断R1、R2是否表示从A到某集合的函数。思路：

结论：

2已知f(x)=2x+1，求f(3)，并求满足f(x)=9的x。思路：

结论：

3求函数y=1/(x−2)的定义域。思路：

结论：

4一台机器输入x，输出x^2−1。若输出为8，求所有实数输入值。思路：

结论：

当日易错点：认为函数值可以由同一个输入对应多个输出。；求定义域时只看式子外形，不检查分母限制。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第16天函数的表示方法训练目标能用解析式、表格、文字对应关系描述函数。知识速记函数可用解析式、图像、表格等方式表示，本质仍是输入与唯一输出。题号题目作答区1f(x)=−x+4。填写x=−1，0，3时的函数值。思路：

结论：

2一个关系中，x=2同时对应y=1和y=3。这个关系能否表示y是x的函数？思路：

结论：

3求函数y=√(x−1)的定义域。思路：

结论：

4f(x)=2x（x<1），f(x)=x+3（x≥1）。求f(0)，f(1)，f(4)。思路：

结论：

当日易错点：分段函数在端点处选错分段。；根式定义域忘记写被开方数大于或等于0。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第17天函数定义域训练目标掌握分式、根式及组合式定义域的求法。知识速记分式看分母不为0，偶次根式看被开方数不小于0；组合题取共同条件。题号题目作答区1求函数y=(x+1)/(x^2−9)的定义域。思路：

结论：

2求函数y=√(5−x)的定义域。思路：

结论：

3求函数y=√(x+2)/(x−1)的定义域。思路：

结论：

4若f(x)=1/(x−a)的定义域中唯一被排除的数是3，求a。思路：

结论：

当日易错点：组合式定义域只写其中一个限制条件。；把分母不为0误写成分母大于0。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第18天函数值与代入训练目标会求函数值、含字母代入式与表达式差值。知识速记f(a+1)表示把自变量整体换成a+1，不能只替换部分x。题号题目作答区1已知f(x)=x^2−2x，求f(−1)和f(2)。思路：

结论：

2已知f(x)=2x+1，求f(a+1)。思路：

结论：

3已知f(x)=x^2+1，求f(x+1)−f(x)。思路：

结论：

4若f(x+1)=x^2−1，求f(3)。思路：

结论：

当日易错点：把f(a+1)误算成f(a)+1。；遇到f(x+1)时没有先确定整体对应关系。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第19天一次函数基础训练目标会识别一次函数的斜率与截距，能用两点确定解析式。知识速记一次函数y=kx+b中，k决定增减快慢，b是与y轴交点的纵坐标。题号题目作答区1写出y=−3x+2的k与b。思路：

结论：

2一次函数图像经过(0，1)和(2，5)，求函数解析式。思路：

结论：

3若f(x)=kx−1，且f(2)=5，求k。思路：

结论：

4f(x)=−2x+4。比较f(−1)与f(3)的大小。思路：

结论：

当日易错点：把点的横纵坐标代入顺序写反。；一次函数斜率为负时仍按增函数判断。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第20天一次函数图像与性质训练目标理解一次函数增减性，会用函数不等式解决问题。知识速记k>0时函数随x增大而增大；k<0时函数随x增大而减小。题号题目作答区1对于y=2x−3，x每增加1，y怎样变化？思路：

结论：

2若y=(m−1)x+2是增函数，求m的取值范围。思路：

结论：

3解不等式2x−3≥5，并说明它与函数f(x)=2x−3的关系。思路：

结论：

4求直线y=x+1与y=−x+5的交点坐标。思路：

结论：

当日易错点：把k与b的作用混淆。；求两条直线交点时只求x不求y。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第21天二次函数初步训练目标认识二次函数基本形态，会求顶点、最值与零点。知识速记形如y=(x−h)^2+k的二次函数顶点为(h，k)。题号题目作答区1函数y=x^2中，x取−2，−1，0，1，2时，y分别是多少？思路：

结论：

2写出y=(x−3)^2+2的顶点坐标。思路：

结论：

3把y=x^2−4x+1配方，并写出最小值。思路：

结论：

4求y=x^2−5x+6与x轴的交点横坐标。思路：

结论：

当日易错点：顶点式中把x−h看成x+h。；配方后忘记调整常数项。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第22天函数关系建模训练目标会从文字情境中提取变量、关系式与取值范围。知识速记建模题要先确定自变量，再写关系式，最后检查自变量能否取到端点。题号题目作答区1出租车前3千米收费8元，超过3千米后每千米加收2元。写出路程x千米时费用y元的关系式，并求6千米费用。思路：

结论：

2长方形周长为20，一边长为x，面积S关于x的关系式是什么？x的取值范围是什么？思路：

结论：

3水箱有50升水，每小时流出4升。t小时后水量y是多少？水流完需要多少小时？思路：

结论：

4打印资料固定服务费5元，每页0.2元。打印x页的费用C是多少？打印60页费用多少？思路：

结论：

当日易错点：只写关系式，不写实际取值范围。；分段收费题把前3千米也重复计入超过部分。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第23天分段函数训练目标会根据自变量所在范围选择相应解析式。知识速记分段函数先判断x属于哪一段，再代入该段解析式。题号题目作答区1f(x)=x+2（x<0），f(x)=2x−1（x≥0）。求f(−3)，f(0)，f(2)。思路：

结论：

2某函数在x<0时有定义，在x≥0时也有定义。它的定义域是什么？思路：

结论：

3f(x)=x+1（x<2），f(x)=2x−1（x≥2）。解f(x)=3。思路：

结论：

4某校活动门票：学生人数x≤20时总费用为10x；x>20时总费用为200+8(x−20)。求x=25时总费用。思路：

结论：

当日易错点：端点x=0或x=2选错分段。；解分段方程后不检验所得x是否满足该段条件。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第24天函数与集合综合训练目标把函数零点、定义域、值域片段与集合运算结合起来。知识速记函数题转化成集合题时，要先写清集合元素的含义。题号题目作答区1设A={x｜x^2−4=0}。用列举法表示A。思路：

结论：

2f(x)=1/(x−1)。在整数−2≤x≤3中，哪些x属于f的定义域？思路：

结论：

3B={f(x)｜x∈{0，1，2}}，f(x)=2x+3。求B。思路：

结论：

4A=[0，4]，B={x｜x−2≥0}。求A∩B。思路：

结论：

当日易错点：把自变量集合和值集合混为一谈。；求函数定义域的整数元素时忘记排除分母为0的数。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第25天运算能力提升训练目标综合应用乘法公式、方程、整体运算与平方关系。知识速记提升题常把多个公式合并使用，先寻找共同因式或整体结构。题号题目作答区1化简：(x−2)(x+2)+(x−2)^2。思路：

结论：

2解方程：(x−1)^2=9。思路：

结论：

3化简：[(a+b)^2−(a−b)^2]/(4ab)，其中ab≠0。思路：

结论：

4若x≠0，且x−1/x=2，求x^2+1/x^2。思路：

结论：

当日易错点：看到平方方程只取正根。；整体平方时中间项符号处理错误。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第26天集合运算提升训练目标处理全集、倍数集合、参数集合与交并计数。知识速记含参数集合要关注元素个数是否变化；计数题优先使用并集公式。题号题目作答区1全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A为U中2的倍数，B为U中3的倍数。求A∩B与A∪B在U中的补集。思路：

结论：

2A={x｜x^2−(m+1)x+m=0}。若A只有1个元素，求m。思路：

结论：

3有限集合A、B满足｜A｜=7，｜B｜=5，｜A∪B｜=9。求｜A∩B｜。思路：

结论：

4P={x｜x^2<4}，Q={x｜x≥−1}。求P∩Q。思路：

结论：

当日易错点：参数根相等时仍写成两个元素。；并集计数公式中交集项的符号写反。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第27天定义域提升训练目标综合求含根式、分式、复合函数的定义域。知识速记复合函数定义域要让内层表达式落在外层函数原定义域中。题号题目作答区1求函数y=√(x+3)/(x^2−1)的定义域。思路：

结论：

2若函数y=√(ax−2)的定义域为[1，+∞)，求a。思路：

结论：

3求函数y=1/√(4−x)的定义域。思路：

结论：

4已知f(x)的定义域为[−1，2]，求f(2x−1)的定义域。思路：

结论：

当日易错点：根式在分母中仍写成大于或等于0。；复合函数只看外面的x，没有让2x−1满足原定义域。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第28天函数解析式提升训练目标会用条件确定一次函数、处理换元与复合函数值。知识速记求解析式时常用待定系数；看到f(x−1)可令整体为新变量。题号题目作答区1f(x)=ax+b，且f(1)=2，f(3)=8。求a、b。思路：

结论：

2若f(x−1)=2x+3，求f(t)。思路：

结论：

3f(x)=x^2+px+1，且f(1)=4。求p。思路：

结论：

4f(x)=2x−1，g(x)=x^2。求g(f(2))与f(g(2))。思路：

结论：

当日易错点：待定系数列方程时把f(1)、f(3)代入错误。；复合函数顺序颠倒，先算谁没有看清括号。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第29天综合训练（一）训练目标在一组题中综合运用集合列举、代数化简、定义域与二次函数。知识速记综合题不一定难，关键是先分类：集合题、运算题、定义域题、函数性质题。题号题目作答区1A={x∈ℤ｜x^2≤9}，B={−2，0，2，4}。求A∩B。思路：

结论：

2化简：(x+3)^2−x(x+6)。思路：

结论：

3求函数y=√(x−2)/(x−5)的定义域。思路：

结论：

4f(x)=x^2−4x+3。求零点，并写出最小值。思路：

结论：

当日易错点：综合题中跳过第一步列举，导致后续全错。；求定义域时写成x>2，误把根式端点排除。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

第30天综合训练（二）训练目标完成集合、方程、分段函数与实际函数不等式的收束训练。知识速记最后一天重点检查是否能把文字、符号、图像语言相互转化。题号题目作答区1全集U={x∈ℤ｜0≤x≤8}，A为U中的偶数集合，B={x∈U｜x<5}。求A∩B与A∪B在U中的补集。思路：

结论：

2解方程：1/2(x−4)+3=x。思路：

结论：

3f(x)=x^2（x<0），f(x)=2x+1（x≥0）。求f(−2)、f(0)，并解f(x)=5。思路：

结论：

4活动报名每人12元，固定材料费60元。总预算不超过300元，最多可安排多少人？思路：

结论：

当日易错点：全集中0是否属于集合需要按条件确认。；实际问题得到人数上限后没有取整数。。完成检查：□已独立完成□已订正错题□已写出至少1条改正方法□已完成错因归类

答案与分步解析使用说明：先核对结论，再阅读解析；若解法不同但逻辑正确、步骤完整，可按“条件—运算—结论”顺序自行整理。第1天集合的含义与元素关系题号答案解析易错点提醒1A={1，3，5，7}；3属于A，6不属于A，9不属于A。小于8的正整数为1—7，其中奇数是1、3、5、7；6不是奇数，9不小于8。把“元素属于集合”写成集合之间的包含关系。2C={1，2，3，4}。把B中的每个元素分别加1，得到1、2、3、4。忘记集合元素不能重复，导致列举结果不规范。312。(−3)^2=9，｜−5｜=5，2^3=8，所以9−5+8=12。把“元素属于集合”写成集合之间的包含关系。4D与E不相等。x^2=4的解为−2和2，所以D={−2，2}；E中还有4，两个集合元素不同。忘记集合元素不能重复，导致列举结果不规范。第2天集合的表示方法题号答案解析易错点提醒1{x｜x=2n，n=1，2，3，4，5}。这些元素都是2的倍数，且只取前5个正偶数。描述法只写“偶数”而没有限定范围。2M={−2，−1，0，1，2}。x为整数，左端点−2包含，右端点3不包含。列举整数时把不满足端点条件的数写入集合。34a+8。(a+2)^2=a^2+4a+4，(a−2)(a+2)=a^2−4，相减得4a+8。描述法只写“偶数”而没有限定范围。4P=Q。方程x^2−5x+6=0可化为(x−2)(x−3)=0，解为2、3。列举整数时把不满足端点条件的数写入集合。第3天集合元素的特性题号答案解析易错点提醒1不能。a=−1时，a^2=1，A中出现1、−1、1，实际只有两个不同元素。把集合顺序当作集合是否相等的依据。2x=7。两个集合相等，元素完全一致；左侧缺少右侧的7，因此x=7。忽略元素互异性，导致含参数集合判断错误。35x−8。3x−6−2+2x=5x−8。把集合顺序当作集合是否相等的依据。4B={0，1，2，3，4}；奇数元素为1，3。非负整数从0开始，且x<5。忽略元素互异性，导致含参数集合判断错误。第4天子集与真子集题号答案解析易错点提醒1∅，{1}，{2}，{1，2}。含2个元素的集合共有2^2=4个子集。把“∈”与“⊆”混用。2前两个正确，第三个错误。{1，2}中的1不在{2，3}中，所以第三个不成立。列举子集时漏写空集或全集。32x^2+x−3。按乘法分配律展开：2x^2−2x+3x−3。把“∈”与“⊆”混用。4m≠1，m≠3，m≠5。A中的1、3已在B中；若B含4个不同元素，m不能与已有元素重复。列举子集时漏写空集或全集。第5天交集题号答案解析易错点提醒1A∩B={3，4}。3和4同时出现在A、B中。求交集时把“所有出现过的元素”都写入。2P∩Q={0，2，4}。P中的整数为−1、0、1、2、3、4，其中偶数为0、2、4。应用计数公式时忘记减去重复计算的部分。3x−3。x^2−9=(x−3)(x+3)，约去x+3后得x−3。求交集时把“所有出现过的元素”都写入。440人。至少参加一个=28+22−10=40。应用计数公式时忘记减去重复计算的部分。第6天并集与补集题号答案解析易错点提醒1A∪B={1，2，3，4，5}。把A、B中的元素合并，重复元素只写一次。补集没有写全集就直接作答。2{1，3，5}。从全集U中去掉A的元素，剩余1、3、5。并集里重复书写同一元素。34。同底数幂相乘指数相加，相除指数相减，得2^(3+4−5)=2^2=4。补集没有写全集就直接作答。4B={2，4}。B必须含2和4；不能含1、3，否则交集不只{2}。并集里重复书写同一元素。第7天集合运算综合题号答案解析易错点提醒1A={−2，−1，0，1，2}；A∩B={−2，0，2}；A∪B={−2，−1，0，1，2，4}。先按整数条件列举A，再比较两个集合共同元素与全部元素。含整数限制时没有先列举，直接按区间想象导致错误。2{b，d}。U中不属于C的元素是b、d。两类计数题中把“都不喜欢”当成“都喜欢”。33a+10b。5a−2a+6b+4b=3a+10b。含整数限制时没有先列举，直接按区间想象导致错误。412人。至少喜欢一项的人数为40−8=32；两项都喜欢=24+20−32=12。两类计数题中把“都不喜欢”当成“都喜欢”。第8天数集与区间表示题号答案解析易错点提醒1[−1，4)。−1包含用方括号，4不包含用圆括号。混淆方括号与圆括号。2{−2，−1，0，1，2}。−2包含，3不包含。求区间并集时忽略两区间是否相连。3x<4，解集为(−∞，4)。3x<12，所以x<4。混淆方括号与圆括号。4A∩B=(3，5]；A∪B=[1，7)。共同部分大于3且不超过5；合并后从1到7，1包含，7不包含。求区间并集时忽略两区间是否相连。第9天实数与根式运算题号答案解析易错点提醒17。√36=6，√9=3，｜−4｜=4，故6−3+4=7。把(−2)^3算成正数。20。(−2)^3=−8，3^2=9，(−1)^10=1，所以−8+9−1=0。根式化简时没有把被开方数分解成平方因数与剩余因数。32√2。√50=5√2，√8=2√2，故5√2−4√2+√2=2√2。把(−2)^3算成正数。40。√12=2√3，所以y−2x=2√3−2√3=0。根式化简时没有把被开方数分解成平方因数与剩余因数。第10天分式运算题号答案解析易错点提醒1a+b。a^2−b^2=(a−b)(a+b)，约去a−b。分式约分时把分子中的单项与分母直接“约掉”。21。同分母相减，分子为x−1，除以x−1得1。分式方程两边同乘时漏乘某一项。3x=3。两边同乘6，得4x−3(x−1)=6，即x+3=6，所以x=3。分式约分时把分子中的单项与分母直接“约掉”。47。(x+1/x)^2=x^2+2+1/x^2=9，所以x^2+1/x^2=7。分式方程两边同乘时漏乘某一项。第11天因式分解题号答案解析易错点提醒1(x−3)^2。这是完全平方公式：x^2−2·3x+3^2。只提公因式，没有继续使用平方差公式。22(a−2)(a+2)。先提公因式2，再用平方差公式。完全平方公式中间项的符号与系数容易写错。39800。用平方差公式：(99−1)(99+1)=98×100=9800。只提公因式，没有继续使用平方差公式。413。x^2+y^2=(x+y)^2−2xy=25−12=13。完全平方公式中间项的符号与系数容易写错。第12天配方与二次式题号答案解析易错点提醒1(x+2)^2+3。x^2+4x+7=(x^2+4x+4)+3。配方时只加平方数不减平方数。2最小值为4，x=1时达到。x^2−2x+5=(x−1)^2+4，平方项最小为0。二次方程因式分解后只写一个解。32x^2+2x+5。分别展开为x^2−2x+1与x^2+4x+4，合并同类项。配方时只加平方数不减平方数。4x=2或x=3。因式分解为(x−2)(x−3)=0。二次方程因式分解后只写一个解。第13天不等式与绝对值题号答案解析易错点提醒1x≥3。2x≥6，所以x≥3。除以负数时不改变不等号方向。2x>−2。两边除以−3，不等号方向改变。绝对值方程只列一个等式。3x=7或x=−3。x−2=5或x−2=−5。除以负数时不改变不等号方向。4[1，4)。同时满足x≥1与x<4。绝对值方程只列一个等式。第14天运算法则综合题号答案解析易错点提醒1n。分子为m^6n^4，分母为m^6n^3，约分得n。幂的乘方指数相乘时漏乘某个指数。24x。可用平方差：[(x+1)−(x−1)]·[(x+1)+(x−1)]=2·2x=4x。分母有理化时没有同时乘以共轭式。3√5+2。分子分母同乘√5+2，分母为5−4=1。幂的乘方指数相乘时漏乘某个指数。45/6。1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)，相加后为1−1/6=5/6。分母有理化时没有同时乘以共轭式。第15天函数概念题号答案解析易错点提醒1R1表示函数，R2不表示函数。R1中A的每个元素都有唯一对应值；R2中1对应了两个不同值，且3没有对应值。认为函数值可以由同一个输入对应多个输出。2f(3)=7；x=4。f(3)=2×3+1=7；2x+1=9，得x=4。求定义域时只看式子外形，不检查分母限制。3x≠2。分母不能为0，所以x−2≠0。认为函数值可以由同一个输入对应多个输出。4x=3或x=−3。x^2−1=8，得x^2=9。求定义域时只看式子外形，不检查分母限制。第16天函数的表示方法题号答案解析易错点提醒1f(−1)=5，f(0)=4，f(3)=1。分别代入解析式−x+4。分段函数在端点处选错分段。2不能。同一个x对应两个不同y，不满足唯一性。根式定义域忘记写被开方数大于或等于0。3x≥1。被开方数x−1≥0。分段函数在端点处选错分段。4f(0)=0，f(1)=4，f(4)=7。0<1用2x；1和4满足x≥1，用x+3。根式定义域忘记写被开方数大于或等于0。第17天函数定义域题号答案解析易错点提醒1x≠3且x≠−3。分母x^2−9=(x−3)(x+3)，不能为0。组合式定义域只写其中一个限制条件。2x≤5。5−x≥0，所以x≤5。把分母不为0误写成分母大于0。3x≥−2且x≠1。根式要求x+2≥0，分母要求x−1≠0。组合式定义域只写其中一个限制条件。4a=3。分母为0时x=a，因此被排除的数就是a。把分母不为0误写成分母大于0。第18天函数值与代入题号答案解析易错点提醒1f(−1)=3，f(2)=0。f(−1)=1+2=3；f(2)=4−4=0。把f(a+1)误算成f(a)+1。22a+3。把x整体替换为a+1，得2(a+1)+1=2a+3。遇到f(x+1)时没有先确定整体对应关系。32x+1。f(x+1)=(x+1)^2+1，减去x^2+1后得2x+1。把f(a+1)误算成f(a)+1。43。令x+1=3，得x=2，所以f(3)=2^2−1=3。遇到f(x+1)时没有先确定整体对应关系。第19天一次函数基础题号答案解析易错点提醒1k=−3，b=2。对照y=kx+b即可。把点的横纵坐标代入顺序写反。2y=2x+1。斜率k=(5−1)/(2−0)=2；过(0，1)，所以b=1。一次函数斜率为负时仍按增函数判断。3k=3。2k−1=5，得2k=6。把点的横纵坐标代入顺序写反。4f(−1)>f(3)。f(−1)=6，f(3)=−2。一次函数斜率为负时仍按增函数判断。第20天一次函数图像与性质题号答案解析易错点提醒1y增加2。斜率k=2，表示x增加1时函数值增加2。把k与b的作用混淆。2m>1。增函数要求斜率m−1>0。求两条直线交点时只求x不求y。3x≥4；表示f(x)≥5时自变量x的取值范围。2x≥8，所以x≥4。把k与b的作用混淆。4(2，3)。令x+1=−x+5，得x=2，代入y=x+1得y=3。求两条直线交点时只求x不求y。第21天二次函数初步题号答案解析易错点提醒14，1，0，1，4。分别平方即可，正负相反数平方相同。顶点式中把x−h看成x+h。2(3，2)。与y=(x−h)^2+k比较，h=3，k=2。配方后忘记调整常数项。3y=(x−2)^2−3；最小值为−3。x^2−4x+1=(x−2)^2−4+1=(x−2)^2−3。顶点式中把x−h看成x+h。4x=2或x=3。令y=0，得(x−2)(x−3)=0。配方后忘记调整常数项。第22天函数关系建模题号答案解析易错点提醒10<x≤3时，y=8；x>3时，y=8+2(x−3)。6千米费用14元。6>3，代入8+2×3=14。只写关系式，不写实际取值范围。2S=x(10−x)，0<x<10。另一边为10−x，两边长都必须为正。分段收费题把前3千米也重复计入超过部分。3y=50−4t；12.5小时流完。令50−4t=0，得t=12.5。只写关系式，不写实际取值范围。4C=5+0.2x；60页费用17元。把x=60代入，得5+12=17。分段收费题把前3千米也重复计入超过部分。第23天分段函数题号答案解析易错点提醒1f(−3)=−1，f(0)=−1，f(2)=3。−3用x+2；0和2用2x−1。端点x=0或x=2选错分段。2ℝ。两个范围合并覆盖全体实数。解分段方程后不检验所得x是否满足该段条件。3x=2。第一段解得x=2但不满足x<2；第二段解得x=2且满足x≥2。端点x=0或x=2选错分段。4240元。25>20，费用=200+8×5=240。解分段方程后不检验所得x是否满足该段条件。第24天函数与集合综合题号答案解析易错点提醒1A={−2，2}。x^2−4=0，即(x−2)(x+2)=0。把自变量集合和值集合混为一谈。2{−2，−1，0，2，3}。整数范围为−2、−1、0、1、2、3，排除使分母为0的1。求函数定义域的整数元素时忘记排除分母为0的数。3B={3，5，7}。分别代入0、1、2，得到3、5、7。把自变量集合和值集合混为一谈。4[2，4]。B=[2，+∞)，与[0，4]取交集得[2，4]。求函数定义域的整数元素时忘记排除分母为0的数。第25天运算能力提升题号答案解析易错点提醒12x(x−2)。原式=(x^2−4)+(x^2−4x+4)=2x^2−4x=2x(x−2)。看到平方方程只取正根。2x=4或x=−2。x−1=3或x−1=−3。整体平方时中间项符号处理错误。31。分子为4ab，除以4ab得1。看到平方方程只取正根。46。(x−1/x)^2=x^2−2+1/x^2=4，所以x^2+1/x^2=6。整体平方时中间项符号处理错误。第26天集合运算提升题号答案解析易错点提醒1A∩B={6}；A∪B在U中的补集为{1，5，7}。A={2，4，6，8，10}，B={3，6，9}，合并后剩余1、5、7。参数根相等时仍写成两个元素。2m=1。方程可分解为(x−1)(x−m)=0。只有一个不同根时m=1。并集计数公式中交集项的符号写反。33。｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜−｜A∩B｜，所以9=7+5−｜A∩B｜。参数根相等时仍写成两个元素。4[−1，2)。x^2<4得−2<x<2，与x≥−1取交集。并集计数公式中交集项的符号写反。第27天定义域提升题号答案解析易错点提醒1x≥−3，且x≠−1，x≠1。根式要求x+3≥0；分母要求x^2−1≠0。根式在分母中仍写成大于或等于0。2a=2。需a>0且ax−2≥0，即x≥2/a；由2/a=1得a=2。复合函数只看外面的x，没有让2x−1满足原定义域。3x<4。根式在分母中，要求4−x>0。根式在分母中仍写成大于或等于0。4[0，3/2]。需−1≤2x−1≤2，解得0≤x≤3/2。复合函数只看外面的x，没有让2x−1满足原定义域。第28天函数解析式提升题号答案解析易错点提醒1a=3，b=−1。由a+b=2，3a+b=8，相减得2a=6，所以a=3，b=−1。待定系数列方程时把f(1)、f(3)代入错误。2f(t)=2t+5。令t=x−1，则x=t+1，代入得f(t)=2(t+1)+3=2t+5。复合函数顺序颠倒，先算谁没有看清括号。3p=2。1+p+1=4，得p=2。待定系数列方程时把f(1)、f(3)代入错误。4g(f(2))=9，f(g(2))=7。f(2)=3，g(3)=9；g(2)=4，f(4)=7。复合函数顺序颠倒，先算谁没有看清括号。第29天综合训练（一）题号答案解析易错点提醒1{−2，0，2}。A={−3，−2，−1，0，1，2，3}，与B取共同元素。综合题中跳过第一步列举，导致后续全错。29。(x+3)^2=x^2+6x+9，x(x+6)=x^2+6x，相减得9。求定义域时写成x>2，误把根式端点排除。3x≥2，且x≠5。根式要求x−2≥0，分母要求x−5≠0。综合题中跳过第一步列举，导致后续全错。4零点为1、3；最小值为−1。f(x)=(x−1)(x−3)；配方为(x−2)^2−1。求定义域时写成x>2，误把根式端点排除。第30天综合训练（二）题号答案解析易错点提醒1A∩B={0，2，4}；A∪B在U中的补集为{5，7}。A={0，2，4，6，8}，B={0，1，2，3，4}，合并后U中剩余5、7。全集中0是否属于集合需要按条件确认。2x=2。左边化为x/2+1，故x/2+1=x，解得x=2。实际问题得到人数上限后没有取整数。3f(−2)=4，f(0)=1；f(x)=5的解为x=−√5或x=2。第一段x^2=5且x<0，得x=−√5；第二段2x+1=5，得x=2。全集中0是否属于集合需要按条件确认。4最多20人。设人数为n，则12n+60≤300，得n≤20。实际问题得到人数上限后没有取整数。

错题复盘与二次巩固一轮练习结束后，建议按“错因定位—正确方法—同类再练—间隔回看”的顺序复盘。下表可直接打印或编辑填写，表中已给出填写样式。一、30天完成检查表天数主题完成标记订正重点回看安排第1天集合的含义与元素关系□完成□订正把“元素属于集合”写成集合之间的包含关系。第2天回看1题；第7天回看同类题第2天集合的表示方法□完成□订正描述法只写“偶数”而没有限定范围。第2天回看1题；第7天回看同类题第3天集合元素的特性□完成□订正把集合顺序当作集合是否相等的依据。第2天回看1题；第7天回看同类题第4天子集与真子集□完成□订正把“∈”与“⊆”混用。第2天回看1题；第7天回看同类题第5天交集□完成□订正求交集时把“所有出现过的元素”都写入。第2天回看1题；第7天回看同类题第6天并集与补集□完成□订正补集没有写全集就直接作答。第2天回看1题；第7天回看同类题第7天集合运算综合□完成□订正含整数限制时没有先列举，直接按区间想象导致错误。第2天回看1题；第7天回看同类题第8天数集与区间表示□完成□订正混淆方括号与圆括号。第2天回看1题；第7天回看同类题第9天实数与根式运算□完成□订正把(−2)^3算成正数。第2天回看1题；第7天回看同类题第10天分式运算□完成□订正分式约分时把分子中的单项与分母直接“约掉”。第2天回看1题；第7天回看同类题第11天因式分解□完成□订正只提公因式，没有继续使用平方差公式。第2天回看1题；第7天回看同类题第12天配方与二次式□完成□订正配方时只加平方数不减平方数。第2天回看1题；第7天回看同类题第13天不等式与绝对值□完成□订正除以负数时不改变不等号方向。第2天回看1题；第7天回看同类题第14天