2.3.3++点到直线的距离公式+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3点到直线的距离公式1.会用向量工具推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力学习目标新知导入回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”定义是什么？直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.复习如图，点A到直线l的距离是AC.思考：给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程，如何求点到直线的距离？如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究方法一：（坐标法）

因此，PQ的方程为：

即.解方程组

即垂足Q的坐标为

如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究方法一：（坐标法）

合作探究因此，点到直线

l

：Ax+By+C=0的距离

可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.点到直线的距离公式知识一思考1：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？合作探究方法二：设而不求法若设垂足Q的坐标为（x,y），则

结合方程组

如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究合作探究方法二：用设而不求法推导由方程组

得将(1)(2)两边平方后相加，得

所以

所以

可以验证，当A=0，或B=0时，公式仍然成立.

如图,如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究思考2：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？点P到直线l

的距离，就是向量的模.

方法三：向量法

合作探究

如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究

方法三：向量法

如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究

方法三：向量法

因为M（x,y）在直线l上，所以Ax+By+C=0,所以Ax+By=-C得

因此,

合作探究如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究思考4：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离.通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算.除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？合作探究如图：已知点，直线l

：Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离？探究方法四：用三角形面积公式推导如图:

分别交直线Ax+By+C=0于点

则

合作探究已知一个定点，一条直线l

：Ax+By+C=0，则定点P到这条直线

l的距离为

①分子是P点代入直线方程；②分母是直线未知数x,y系数平方和的算术根；③运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；点到直线的距离公式知识一合作探究已知一个定点，一条直线l

：Ax+By+C=0，则定点P到这条直线

l的距离为

④当点在直线上时，点到该直线的距离为0，公式仍然适用。⑤直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立。但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可以用数形结合求解.点到直线的距离公式知识一合作探究几种特殊情况：1.

当点为原点时，

2.点到x轴的距离3.点到y轴的距离4.点到与x轴平行的直线y=b()的距离5.点到y轴平行的直线x=a()的距离.点到直线的距离公式知识一

求点P（-1，2）到直线

l

：3x

=2的距离.分析：将直线

l的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解.解：点P（-1，2）到直线

l

：3x-2=0的距离

典例

D练习练习

典例（1）选AC.由点到直线的距离公式知，d＝＝＝1，得a＝－1±.AC典例求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：，所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.

典例

练习

已知△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积.分析：由三角形面积公式可知，只要求出边AB的长和边AB上的高即可.解：如图,设边AB上的高为h，则

边AB上的高h就是点C到直线AB的距离.边AB所在直线

l

的方程为

即x+y-4=0点C（-1，0）到直线

l：x+y-4=0的距离

因此，

典例课堂练习已知P（1，2），则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时，a=()1

B．C.D.解：因为直线2ax+y-4=0恒过定点A（0，4）所以当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线斜率为-2，

故.B典例课堂总结5.直线l:y=k(x+2)上存在两个不同点到原点距离等于1，则k的取值范围是（

）A.(-2,2)B.

C．（-1，1）D.分析：将问题转化为直线l与圆有两个交点，然后利用圆心到直线的距离小于半径，列式求解即可.解因为直线

l:y=k(x+2)上存在两个不同点