2.3.3点到直线的距离++课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

学习目标1.探索并推导点到直线的距离公式，体现逻辑推理能力(重难点)2.能利用点到直线的距离公式解决相关问题，体现数学计

算能力(

难

点

)新

课

导

入建筑工人在安装安全网时，需测量楼层窗户(点A)

到地面(直线l)的垂直距离，确保安全网安装高度符合规范.思考一下：若窗户坐标为A(3,4),地面方程为3x+4y-10=0,如何用数学方法验证距离是否达标?带着这个问题来到我们这节课的学习.如图，已知点P(x₀,yo),

直线1:Ax+

By+C=0,直线l

的距离呢?过点P

作直线l

的垂线，记垂足为Q,则垂线段PQ的长度就是点P

到直线l

的距离.因此，求出垂足Q

的坐标，利用两点间的距离公式求出

|PQI,

就可以得到点P到直线l

的距离.设A≠0,B≠0.由

PQ⊥l,以及直线l

的斜率为可得

l

的垂线PQ的斜率为yP.Q0新

课

学

习怎样求出点P到X新课学习如图，已知点P(x₀

,yo),直线l:Ax

+By+C=0,怎样求出点P

到直线

l

的距离呢?因此，垂线PQ

的方程为即

Bx-Ay=Bx₀-Ay₀解方程组

①得直线l与

PQ

的交点坐标，即垂足

Q的坐标为新课学习如图，已知点P(x₀

,yo),直线

l:Ax

+By+C=0,

怎样求出点P到

直线l

的

距

离

呢

?利用两点间距离公式因

此

点P(x₀

,yo)

到直线1:

Ax+By+C=0的距离当A=0,或B=0

时，上述公式仍然成立

.丝

住

7EQH

7TAHAJ

贝已知定点P₀(x₀,y%),

直线l:Ax+By+C=0,则定点P

到

这条直线l

的距离为：新

课

学

习点到直线的距离公式的概念(1)无论点P₀(x₀

,y。)是否在直线Ax+By+C=0上，点到直线的距离公式都适用.若点P。在直线上，则点P₀

到直线的距离为0.(2)点到直线的距离是直线上的点与直线外的一点的连线的最短距离.(3)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再代入公

式求距离.新

课

学

习对于上述公式的几点说明：新

课

学

习上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转

化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程，你

发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法?原因：求出的点Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.简化运算的方法：设Q(x,y),

则PQ|=√(x-x₀²+(y-y。)²

新

课

学

习我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法

求点到直线的距离?

如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ

的模.设M(x,y)是直线l上任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量.则PQ是PM

在

n上的投影向量，

|PQHPM

·n.新

课

学

习如何利用直线l的方程得到与1的方向向量垂直的单位向量n?设

P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是直线l:Ax+By+C=0上的任意两点，则

PP₂=(x₂-x,y₂-y

)是直线

l

的方向向量.把

Ax₁+By₁+C=0,Ax₂+By₂+C=0

两式相减，得A(x₂—x₁)+B(y₂一y₁)=0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A,B)与向量(x₂—x₁,y₂一y₁)

垂

直

.向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.我们取

(A,B),

从而新课学习如何利用直线l

的方程得到与l

的方向向量垂直的单位向量n?新

课

学

习如何利用直线l的方程得到与l

的方向向量垂直的单位向量n?因为点M(x,y)在直线l

上，所以Ax+By+C=0.所以Ax+By=-C.代入上式，得因此面积法求点到直线的距离直线P₀S

的方程为x=x₀,

点

S

的坐标为设P₀Ql=d,

由三角形面积公式可得d.

|RSI=IP₀R

·

IP₀SI新课学习于是有所

以“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式.坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简

化运算的方法.这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.新

课

学

习比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，

再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧

性强，但是大大降低了运算量.新

课

学

习比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?分析：将直线l的方程写成3x-2=0,

再用点到直线的距离公式求解.新

课

学

习例5:求点

P(-1,2)

到直线l:3x=2

的距离

.点P(-1,2)

到直线l:3x-2=0

的距离新

课

学

习直线l有什么特性?由此能给出简便解法吗?直线l垂直于x轴新

课

学

习例6:已知△ABC

的三个顶点分别是A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC

的面积.分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边

AB

的长和边AB

上的高即可

.如图，设边AB上的高为h,则个

32C-10|AB|=√(3-1)²+(1-3)²=2√2B2

3

XAh1新

课

学

习例6:已

知

△ABC

的三个顶点分别是A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC

的面积

.边AB

上的高h就是点

C到直线AB

的距离

.点

C(-1,0)

到直线

l:x+y-4=0

的距离因此

，边AB

所在直线l的方程为即x+y-4=0.上面的例题还有其他的解法吗?割补法：如图，延长AB

交x轴于点D.过点A,B,分别作x轴的垂线，垂足分别为A,B.则△ACD

的CD边上的高为AM,△

CBD的边上的高为BN.由已知得直线AB的方程为

Y4即x+y-4=0.令y=0,得x=4,

所以点D

的坐标是(4,0).又|CD|=5,

点A,B

的纵坐标分别为3,1,新

课

学

习BNDxC

可MA课

堂

巩

固1.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)

到直线y=x+1的距离是(

BA.4

B.2√2

C.2

D.√2课

堂

巩

固解析：∵点A(x,5)关于点(1,y)

的对称点为(-2,-3),∴

,解得

即P(4,1),

直线y=x+1

方程的一般式为x-y+1=0.∴所求距离为

.故选：B课

堂

巩

固2若点P(3,1)到直线1:3x+4y+a=0(a>0)的距离为4,则a=(DA.2B.3C.5D.7课

堂

巩

固解析：点P(3,1)到直线1:3x+4y+a=0(a>0)的距离为4,可得

,解得a=7,故选：D.的距离相等，求a

的值(C

D

或

3.已知A(-3,-4),B(6,3)

两点到直线1:ax+y+1=0C

或

B

课

堂

巩

固A

课

堂

巩

固解析：因为点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0

的距离相等，所以

,即

|-3a-3=6a+4l,化简得27a²+30a+7=0,

解得

或故选：C.课

堂

巩

固4.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(

BA.1

B.√2

C.√3

D.2k²+1≥2k,

于是2(k²+1)≥k²+2k+1=k+1²,

当且仅当k=1时，等号成立即Ik+1≤

√k²+1

·

√2,所以

,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)

距离的最大值为

√2.故选B.解析：点(0.-1)到直线y=K(x+1)的距离为课

堂

巩

固注意到课

堂

巩

固5.已知直线l:x+y-3=0