初中数学九年级中考二轮复习微专题：角平分线四大核心模型教学设计

初中数学九年级中考二轮复习微专题：角平分线四大核心模型教学设计

一、教学背景与设计理念

本设计针对湖北新中考数学几何板块中的高频难点——角平分线问题，进行深度专题突破。基于“二轮复习”的定位，本课不再停留于概念复现，而是聚焦于“模型建构”与“思维进阶”。设计理念以“转化思想”为核心，通过系统梳理角平分线的四大基本图形（模型），引导学生从复杂的几何图形中精准识别、拆解、构造基本模型，将隐含的条件外显化，实现从“解题”到“解决问题”的跨越。教学实施过程中，强调学生动手作图、自主推理与变式训练，旨在提升学生的几何直观、逻辑推理与数学建模素养，直击湖北新中考“重思维、重通法”的考查要求。

二、教学目标

1.【基础】能准确复述角平分线的性质定理及其逆定理，掌握常见的辅助线作法（作垂线、截取、作平行、延长垂直）。

2.【核心】深度理解并灵活运用角平分线的四大核心模型：模型一（向两边作垂线）、模型二（截构造轴对称全等）、模型三（角平分线+垂线构造等腰）、模型四（角平分线+平行线构造等腰）。【重要】

3.【难点】能通过添加辅助线，将unfamiliar的复杂图形转化为familiar的基本模型，解决有关线段关系、角度计算及几何证明的综合题。【高频考点】【难点】

4.【素养】经历模型提炼与应用的过程，体会转化思想、数形结合思想在几何学习中的价值。

三、教学重点与难点

1.重点：角平分线四大核心模型的构建与直接应用。

2.难点：在复杂图形中识别、构造基本模型，尤其是模型二（截）与模型三、四的综合运用，以及通过面积法解决角平分线问题。【非常重要】

四、教学准备

多媒体课件（PPT）动态演示模型生成过程，几何画板预置变式图形，导学案（含基础练习与拓展探究题）。

五、教学实施过程

（一）情境导入，唤醒记忆（约5分钟）

教师通过PPT展示一道与角平分线有关的简单计算题，例如：“在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是______。”【基础】学生快速作答，并口述依据（角平分线上的点到角两边距离相等）。教师顺势引出课题：角平分线作为初中几何的核心要素，常与垂线、中线、平行线等结合，形成一系列固定解题路径。今天我们将系统解码这些“隐藏的密码”——三角平分线的常见模型，为攻克湖北新中考几何综合题提供锐利武器。

（二）典例精析，构建模型（约30分钟）

本环节为课堂核心，采用“师生共研”模式，对四大模型进行深度拆解。每个模型均遵循“呈现模型→提炼结论→典例印证→变式训练”的流程。所有模型均标注其重要性等级与考频。

1.【非常重要】【高频考点】模型一：向两边作垂线——距离相等，搭建桥梁

1.2.模型剖析：如图1，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

1.2.3.【核心结论】：PA=PB。（角平分线的性质）

2.3.4.【引申结论】：△OAP≌△OBP，OA=OB，∠APO=∠BPO。

4.5.教学实施：

1.5.6.教师提问：看到角平分线和距离，你能联想到什么？

2.6.7.学生回答后，教师强调“见角平分线，作垂线”是解决涉及距离、面积问题的最直接思路。

7.8.典例1：（2023·湖北黄冈模拟）如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，求点D到AB的距离。

1.8.9.思路点拨：过点D作DE⊥AB于点E，利用勾股定理及角平分线性质即可求解。

9.10.变式训练：如图3，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF。求证：AD垂直平分EF。

1.10.11.设计意图：通过此变式，让学生发现“作双垂”后不仅得到线段相等，还能引发等腰三角形、全等三角形等一系列连锁反应。

12.【重要】【热点】模型二：截取构造轴对称全等——转移线段，化散为聚

1.13.模型剖析：如图4，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。

1.2.14.【核心结论】：△OAP≌△OBP(SAS)。从而得到PA=PB，∠OPA=∠OPB，∠OAP=∠OBP。

3.15.教学实施：

1.4.16.教师引导学生思考：如何利用角平分线构造全等三角形？除了作垂线，还有何法？

2.5.17.学生探究后，教师总结：“截长补短”是处理线段和差问题的重要手段，尤其在角平分线背景下，截取构造轴对称全等是通法。

6.18.典例2：如图5，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线。求证：BC=AC+AD。【非常重要】

1.7.19.思路点拨：这是典型的“线段和差问题”。引导学生思考：要证BC=AC+AD，可在BC上截取CE=AC，连接DE。则△ACD≌△ECD(SAS)，从而AD=DE，∠A=∠CED=2∠B，进而证得DE=BE，问题得证。

2.8.20.教师通过几何画板动态演示截取过程，直观展示线段转移。

9.21.变式训练：如图6，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°。求证：AD=CD。

1.10.22.设计意图：强化学生根据“对角互补”条件，在BA上截取或延长BC构造全等的能力。

23.【基础】【难点】模型三：角平分线+垂线（三线合一）——等腰必现

1.24.模型剖析：如图7，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作AP⊥OP交OM于点A，延长AP交ON于点B。

1.2.25.【核心结论】：△AOB是等腰三角形（OA=OB），点P是AB的中点。

3.26.教学实施：

1.4.27.教师追问：如果题中不仅有角平分线，还有这条线的垂线，图形会发生什么变化？

2.5.28.学生观察后得出：构造了等腰三角形的“三线合一”。

6.29.典例3：如图8，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE于点D。求证：∠2=∠1+∠C。

1.7.30.思路点拨：延长AD交BC于点F，则△ABF为等腰三角形，∠2=∠AFB，再结合三角形外角定理即可得证。

2.8.31.教师强调：“倍长中线”是处理中线问题的通法，而“延长垂线”则是处理角平分线加垂线的必由之路。

32.【热点】【必考】模型四：角平分线+平行线——等腰三角形如影随形

1.33.模型剖析：如图9，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON交OM于点Q。

1.2.34.【核心结论】：△OPQ是等腰三角形（OQ=PQ）。

2.3.35.变式：如图10，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E。则△BDE为等腰三角形。

4.36.教学实施：

1.5.37.教师通过“三句口诀”总结：角平分线加平行线，等腰三角形必出现。这是解决此类问题的最快路径。

6.38.典例4：（2024·湖北十堰模拟）如图11，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F。若BE=3，CF=2，求EF的长。

1.7.39.思路点拨：由平行线结合角平分线，易证△EBO和△FCO均为等腰三角形，即EO=EB=3，FO=FC=2，则EF=EO+FO=5。

8.40.变式训练：若将图11中的“内角平分线”改为“∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O”，同样过O作EF∥BC，则EF、BE、CF之间又有何关系？

1.9.41.设计意图：此变式旨在打破学生思维定势，区分内角平分线与外角平分线带来的不同图形特征，得出EF=|BE-CF|。这是近年来中考压轴题的热门素材。【难点】【非常重要】

（三）综合运用，思维进阶（约10分钟）

本环节选取湖北新中考风格的综合题，要求学生在复杂图形中，能准确识别并综合运用上述模型。

例题：（2023·湖北武汉调考）如图12，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

1.思路探究：

1.2.第一步：分析图形，寻找基本模型。条件“BD平分∠ABC”和“CE⊥BD”符合模型三（角平分线+垂线）的特征。学生应能想到构造等腰三角形。

2.3.第二步：实施辅助线。延长CE交BA的延长线于点F。根据模型三，可证得△BCF是等腰三角形，从而CE=EF，即CF=2CE。

3.4.第三步：联系目标。此时问题转化为证BD=CF，即证△ABD≌△ACF。

4.5.第四步：寻求全等条件。由等腰Rt△ABC可得AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°。再找一角或一边。利用∠1+∠F=90°，∠2+∠F=90°（或利用∠1=∠2及外角性质），可得∠ADB=∠F，从而证明全等。

6.教师小结：解此类题的关键是“拆图”，将复杂图形分解为我们熟悉的模型一、二、三、四，再通过逻辑链条将其串联。整个过程中，辅助线不是盲目的尝试，而是模型驱动的必然选择。

（四）专题提升，拓展视野（约10分钟）

介绍与角平分线相关的更高层次结论，为尖子生打开思路。

1.内角平分线定理：如图13，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/DC。【高频考点】（在相似或三角函数背景下考查）

1.2.简要证明（作平行线构造A字相似或利用等面积法），渗透一题多解。

3.奔驰定理（三角形内角平分线交点面积比）：如图14，△ABC的三条角平分线交于点I，则S△ABI:S△BCI:S△CAI=AB:BC:AC。【重要】

1.4.应用示例：结合模型一（三边距离相等），点I到三边距离相等，设距离为r，则面积比自然转化为底边比。

（五）链接中考，实战演练（约5分钟）

呈现两道近两年湖北不同地市的中考真题或改编题，让学生当堂独立完成，检验学习效果。

1.（2022·湖北宜昌）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分∠ABC交AC、CD于点E、F。求证：CE=CF。（考查模型三的变式——角平分线+高线/垂线）

2.（2024·湖北新中考模拟卷）在△ABC中，AB=5，AC=4，AD是角平分线，且△ABD的面积为10，则△ADC的面积为______。（考查模型一，利用等高转化为底边之比或直接应用角平分线定理）

（六）反思升华，构建网络（约5分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识层面：回顾四大模型的核心结论。

2.方法层面：归纳角平分线问题中常见的辅助线口诀——“点在线上，垂线先行；线段和差，截长补短；遇垂则延，等腰呈现；见平思腰，柳暗花明”。

3.思想层面：体会转化思想（将未知问题转化为已知模型）和数形结合思想（图形特征与数量关系的互译）。

六、教学评价与作业设计

（一）教学评价

本课采用过程性评价与结果性评价相结合的方式。课堂中，通过学生口答、板演、小组讨论参与度评价其思维活跃度；通过导学案上的变式训练完成情况，评价其对模型的掌握程度；通过课后作业，评价其知识迁移与综合解题能力。

（二）作业设计（分层布置）

1.基础巩固（必做）：完成导学案中针对四大模型的基础练习，