初中数学九年级上册“用树状图求概率”教案

初中数学九年级上册“用树状图求概率”教案

一、教学内容分析

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，“事件的概率”隶属于“统计与概率”领域，要求学生“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而计算简单事件的概率”。本课时“用树状图求概率”是继“直接列举法”和“列表法”之后，求解等可能条件下两步及两步以上随机事件概率的核心方法与关键工具。它不仅是概率计算技能链条上的重要一环，更是将复杂问题条理化、直观化的模型思想的具体体现，为后续学习更复杂的概率问题（如非等可能事件、理论概率与实验频率的关系）奠定了方法论基础。从学科核心素养视角审视，本节课是培养学生“数据观念”与“模型观念”的绝佳载体。通过构建树状图模型，学生经历将实际问题转化为数学模型（建模）、进行有序逻辑推演（推理）的过程，这本质上是在发展符号意识与逻辑推理能力。同时，准确计算概率并理解其意义，有助于学生形成以数据为依据进行分析决策的理性精神，这正是“数据观念”的内核所在。本课的思维难点在于，如何引导学生从具体情境中抽象出“步骤”与“选择”的模型结构，并理解树状图中“层”与“枝”所对应的现实意义，确保其画图过程既不重也不漏，实现从“依葫芦画瓢”到“理解性建模”的跃升。

九年级学生已掌握了古典概型的定义以及用直接列举、列表法求概率，具备一定的分类讨论与有序思考意识。然而，面对步骤超过两步或每一步中选项较多的复杂情境，列表法的局限性凸显，学生会产生寻求更优工具的认知需求，这是驱动本课学习的原动力。可能的认知障碍在于：一是“建模型”的困难，即从文字叙述中准确识别出事件发生的先后“步骤”；二是“画规范”的挑战，如何系统、清晰地用树状图表达所有路径；三是“算准确”的易错点，尤其在非等可能或条件概率的萌芽情境中。为精准诊断学情，教学将通过前置性问题（如：用学过的方法尝试解决一个三步问题）暴露学生思维瓶颈，并在新课推进中设置“说步骤”、“辩异同”等互动环节，动态评估理解程度。针对差异，教学设计将提供从“填空式”半独立构架到完全独立构架的阶梯式“脚手架”，并通过变式训练满足从基础巩固到综合应用的不同需求，确保每位学生都能在最近发展区内获得发展。

二、教学目标

知识目标方面，学生能准确陈述树状图法的适用条件（步骤分明的等可能事件），理解其相比于列表法的优势；能规范绘制两步及两步以上简单随机事件的树状图，并依据图形准确列出所有等可能结果，计算指定事件的概率。核心在于建立“步骤—分层—分枝—结果—概率”的完整认知链条。

能力目标聚焦于模型建构与有序思维。学生能够从具体生活情境（如抽签、比赛安排）中识别出可建模为树状图的问题结构，独立完成从文字到图形的转化；在画图过程中，自觉运用分类、分步的计数原理，确保思维和表达的逻辑严密性、不重不漏。这指向了数学抽象和逻辑推理的核心能力。

情感态度与价值观目标旨在培养严谨求实的科学态度与理性决策的意识。通过解决实际概率问题，学生能体会到数学工具在分析不确定性、优化决策中的实用价值，增强学习数学的内驱力。在小组合作构图、互评的过程中，养成倾听、质疑、有条理表达的习惯。

学科思维目标重点发展学生的模型化思想与符号化意识。引导学生将复杂事件分解为有序的步骤序列，用树形这一直观的符号系统表征所有可能性，是典型的数学建模初步体验。通过对比列表法与树状图法，体会模型选择对于问题解决的优化意义，形成根据问题特征选择合适模型的策略性思维。

评价与元认知目标关注学习过程的监控与反思。设计引导学生依据“步骤清晰、层次分明、标注完整、计算正确”等标准，对自我或同伴的树状图作品进行评价的活动。在课堂小结环节，鼓励学生反思“何时用树状图”、“画图的关键是什么”、“易错点在哪里”，从而提升对自身认知过程的监控与调节能力。

三、教学重点与难点

教学重点为树状图法的规范画法及其在求两步以上等可能事件概率中的应用。其确立依据源于课程标准的要求和学业评价的导向。课标明确将画树状图列为计算概率的基本方法，它是处理复杂等可能事件概率问题的通性通法，在后续概率学习中具有基石作用。从中考考点分析，涉及两步及以上、需要系统列举所有可能结果的概率计算题是高频考点，且常以解答题形式出现，分值较高，树状图或列表法是解决此类问题的标准且规范的表述方式，掌握它对于学生达成学业水平要求至关重要。

教学难点在于引导学生自主、准确地从实际问题中抽象出树状图模型，并理解模型各组成部分与现实情境的对应关系。难点成因主要有二：一是抽象性挑战，学生需从纷繁的叙述中剥离出事件发生的顺序和每一环节的可能选项，这对抽象概括能力要求较高；二是思维严谨性挑战，画图时容易遗漏步骤或分枝，计算总等可能结果数与事件发生数时可能出现重复或遗漏。预设依据来自常见学情：学生在解决三步问题时，常因步骤梳理不清而建错模型；在计算概率时，常忽视“等可能性”这一前提，或错误理解“放回”与“不放回”对后续步骤选择空间的影响。突破方向在于设计循序渐进的探究任务，强化“先分步，再分层，后分枝”的建模程序，并通过正反例辨析深化对“等可能性”条件的理解。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式多媒体课件，内含动态生成树状图的演示动画、生活化情境素材（如比赛对阵图、购物搭配图）。

1.2学习材料：设计分层学习任务单（含探究引导、分层练习题、课堂小结框架），准备实物教具（如标有A、B、C的卡片两套用于演示）。

2.学生准备

2.1知识预备：复习古典概型概率公式及列表法。

2.2学具准备：直尺、铅笔、草稿本。

3.环境布置

3.1座位安排：便于四人小组开展讨论与互评。

3.2板书记划：预留主板书区域，规划为“情境区”、“模型构建区（树状图）”、“方法提炼区”。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与认知冲突：“同学们，上节课我们学会了用列表法来算概率，解决了不少‘两步’问题。现在老师这里有一个‘三步’问题考考大家：小明有个密码箱，密码由1、2、3三个数字组成，每次按键都从这三个数字中随机按一个。如果密码恰好是‘123’这个顺序，请问一次就猜中的概率是多少？”给大家一分钟，用学过的方法试试看。

2.暴露局限与提出问题：（一分钟后）“有同学试图列表，发现表格变得复杂了；也有同学在努力地心里默数所有情况。感觉怎么样？是不是有点‘剪不断，理还乱’？当步骤增多时，我们需要一个更有条理、更直观的工具，它要像大树生长一样，能把所有可能的结果‘枝枝分明’地展现出来。这就是我们今天要掌握的‘画树状图法’。”

3.明晰路径：“本节课，我们将从一个简单问题出发，学会画树状图的基本方法；然后挑战更复杂的情境，总结出画图的要领和注意事项；最后，用它来解决像密码箱这类‘多步’问题，感受它的威力。让我们开始这次‘建模’之旅吧！”

第二、新授环节

###任务一：初次建模——从两步等可能事件入手

教师活动：首先，呈现基础问题：“一个不透明的袋子中装有红、白两个除颜色外完全相同的小球，先后从中随机摸出两个球（第一次摸出后不放回）。请用树状图表示所有可能结果，并求两次摸到不同颜色球的概率。”接着，引导学生分解事件：“这个问题分几步完成？每一步有几种可能的选择？”待学生明确“第一步摸球（红或白），第二步摸球（取决于第一步剩下什么）”后，教师示范画图起始：先画一个起点，代表“开始”。然后提出引导性问题：“第一步我们怎么表示？从起点出发，应该有几条‘枝’？每条枝上标注什么？”根据学生回答，画出第一层两个分枝，分别标注“红”、“白”。继续引导：“当第一步摸出红球后，袋子里还剩什么？那从‘红’这条枝的末端，第二步可以有哪些选择？怎么画？”完成树状图绘制后，带领学生“读图”：“让我们沿着每一条从‘根’到‘叶’的路径走一走，比如‘红→白’，这表示什么实际结果？图上一共有几条这样的路径？它们出现的可能性相等吗？”最后，引导学生计算概率：“我们要求的事件‘颜色不同’对应哪几条路径？概率怎么算？”

学生活动：跟随教师引导，口头回答事件的步骤数和每步选项。观察教师画图过程，理解“分层”对应“分步”，“分枝”对应“选择”。在教师引导下，尝试说出第二层分枝的标注。完成画图后，用手指或笔尖描摹树状图中的路径，理解每一条路径对应一个等可能的基本事件。识别目标事件对应的路径（“红→白”和“白→红”），并应用概率公式进行计算。

即时评价标准：1.能否清晰说出事件发生的两个顺序步骤。2.能否正确判断第二步的选择受第一步结果影响（不放回）。3.在教师引导下，能否准确说出分枝的标注内容。4.“读图”时，能否将图形路径与实际结果正确对应。

形成知识、思维、方法清单：★树状图基本结构：起点（根）、分层（对应事件步骤）、分枝（对应每步的可能选择）、终点（叶，对应一种最终结果）。▲画图起始：先明确总共有几步，每一步是什么。●“不放回”情境的建模关键：第二步的可选范围依赖于第一步的实际结果，在画图中表现为从第一层不同分枝的末端，引出的第二层分枝选项不同。

###任务二：对比深化——辨析“放回”与“不放回”

教师活动：变换条件：“现在改变规则：第一次摸出球后，记下颜色再放回袋子摇匀，再摸第二次。请同学们在任务一的基础上，独立尝试画出这种情况下的树状图。”巡视指导，选取具有代表性的两份学生作品（一份正确，一份第二步分枝画错）进行投影展示。“请大家当小评委，看看这两幅图，哪一幅正确地反映了‘放回’的规则？理由是什么？”引导学生聚焦对比：在“放回”条件下，无论第一步摸到什么，第二步袋子里的球都是完整的两个，因此从第一层的每一个分枝末端引出的第二层分枝应该都是“红”和“白”。总结强调：“树状图是会‘说话’的，它清晰地告诉我们事件的条件。‘放回’与‘不放回’，直接决定了树枝的‘长相’。”

学生活动：独立尝试画出“放回”情境的树状图。观察投影作品，进行对比和辨析，讨论并说出正确与错误的理由。理解“放回”意味着各步骤相互独立，每一步的选择空间相同，因此在树状图上表现为每一层（除第一步外）的分枝结构完全相同。

即时评价标准：1.能否独立画出正确的“放回”模型树状图。2.在对比辨析中，能否明确指出两图差异及原因。3.能否用语言清晰解释“放回”在树状图上的表现形式。

形成知识、思维、方法清单：★“放回”与“不放回”的图形差异：“放回”导致每一步选择相互独立，树状图从第二层开始结构相同；“不放回”导致前后步骤相互影响，树状图从第二层开始结构因上一层选择而异。●审题关键点：画图前必须首先明确问题中的条件（是否放回、是否区分顺序等），这是正确建模的前提。▲模型对比的价值：通过对比不同条件下的模型差异，深化对概率事件本质的理解，避免机械套用。

###任务三：方法提炼——归纳画树状图的步骤与要领

教师活动：组织学生以小组为单位，结合前面两个任务的经验，讨论并总结“画树状图求概率的一般步骤和需要注意什么”。提供讨论提纲：1.第一步做什么？（理清步骤与选项）2.怎么画才能保证不重不漏？（顺序、标注）3.画完后怎么用？（数路径、找目标、算概率）。巡视各小组，参与讨论，给予点拨。随后请小组代表分享，教师同步在主板书“方法提炼区”进行结构化整理。重点强调查验方法：“画完后，我们可以怎么快速检验是否画全了？比如，每一步的可能选项数乘起来，是否等于最终的总路径数？这是一个很好的自查方法。”

学生活动：以四人小组为单位展开讨论，结合学习任务单上的例题，共同梳理画树状图的步骤、技巧和易错点。记录讨论要点，并推举代表准备发言。倾听其他小组的分享，补充或完善本组的总结。

即时评价标准：1.小组讨论是否全员参与，发言是否有条理。2.总结的步骤是否完整、逻辑清晰。3.是否提到了关键要领，如“明确步骤”、“分层标注”、“有序展开”、“检查验算”等。

形成知识、思维、方法清单：★画树状图求概率的一般步骤：①审题，明确事件分几步进行，每步有几种可能结果；②画根，开始分步画层，用线段表示分枝，并在线段上标注对应结果；③检查，确保每步分枝完整，所有路径不重不漏；④计算，数出所有等可能结果数n和目标事件包含结果数m，套用公式P=m/n。●确保不重不漏的要领：按事件发生的固定顺序画；每层的分枝要画完整；同一层分枝长短尽量一致，保持清晰。▲自我检验策略：总结果数应等于各步可能结果数的乘积（适用于各步独立的情形）。

###任务四：应用迁移——解决导入中的“三步”问题

教师活动：“现在，让我们带上总结好的‘法宝’，回头去攻克课开始时那个‘三步’的密码问题。请大家先独立完成。”巡视过程中，关注学生是否分层正确、标注清晰。请一位学生在黑板上板演。待完成后，组织讲评：“我们一起来看黑板上的作品。第一步按第一个数字，有3种选择；第二步按第二个数字，因为数字可重复（放回），所以仍然有3种选择……很好。那么，所有可能的密码有多少种？‘123’这一种密码藏在哪条路径上？概率是多少？”“看，用树状图，这个看似复杂的问题是不是变得一目了然了？它比我们最初心里默数或尝试列表要清晰、可靠得多。”

学生活动：运用刚总结的方法，独立为“三步密码”问题绘制树状图。观察黑板上的板演，检查自己的作图是否规范正确。根据完整的树状图，快速数出总结果数（3×3×3=27），并找到目标事件对应的唯一路径，计算出概率P=1/27。

即时评价标准：1.能否独立绘制出正确的三步树状图。2.图形是否层次分明、标注清晰。3.能否根据图形准确计算概率。

形成知识、思维、方法清单：★树状图的优势：能清晰、系统地呈现两步以上，特别是多步随机事件的所有可能结果，有效克服了直接列举易遗漏和列表法对维度的限制。●多步问题建模：无论步骤多少，方法一致，都是“分层-分枝”的递归过程。步骤越多，树状图的条理性优势越明显。▲模型应用意识：面对复杂列举问题，应主动思考能否以及如何用树状图（或列表）模型来解决，形成模型化解题策略。

###任务五：变式拓展——当可能性不相等时

教师活动：提出一个略作变化的问题：“一个转盘被分成面积不等的三个扇形，颜色分别为红（占1/2）、黄（占1/3）、蓝（占1/6）。转动转盘两次，求两次颜色相同的概率。”引导学生思考：“这个情境还能用树状图吗？各分枝对应的可能性还相等吗？”允许学生短暂讨论。随后明确：“树状图依然可以帮我们清晰地列出所有可能的结果（共3×3=9种），但由于扇形面积不等，第一次转到每种颜色的可能性就不相等，因此这9种结果出现的可能性并不相同。我们不能直接用9作为分母。那怎么办呢？”引导学生关注树状图每条路径上的概率：“我们可以在分枝上标注出每一步的概率值。比如第一层，转到红的概率是1/2，黄是1/3，蓝是1/6。然后，计算某条路径（如‘红→红’）的总概率，需要用到什么原理？”（乘法原理：概率相乘）。最后总结：“树状图不仅可以列出等可能结果，也能帮助我们分析非等可能步骤的事件。这时，我们需要在分枝上标注概率，并利用乘法原理计算复合路径的概率。”

学生活动：思考新情境，认识到结果数量虽可列举，但不等可能。理解教师讲解，学习在树状图分枝上标注概率值的方法。了解在非等可能步骤中，求特定事件概率需计算对应路径上各步概率的乘积之和（加法原理）。

即时评价标准：1.能否识别出该情境下，树状图所列结果不等可能。2.能否理解在分枝上标注概率的必要性。3.能否跟上教师讲解，理解处理非等可能步骤问题的思路。

形成知识、思维、方法清单：▲树状图的拓展应用：树状图本身是一种有序枚举的工具，不仅限于等可能事件。当各步概率已知时，可在分枝上标注概率，进而计算任意复杂路径（事件）的概率。●等可能性前提的重要性：使用古典概型概率公式P=m/n时，必须确保树状图列出的n个结果是等可能的。若步骤本身概率不等，则不能简单用计数法，而要用概率乘法定理。★区分两种用途：树状图用于“列举所有可能结果”；当结果等可能时，可进一步用于“古典概型计数求概率”；当结果不等可能时，需结合分枝概率进行“概率计算”。

第三、当堂巩固训练

练习设计遵循分层递进原则，所有学生需完成基础层，鼓励完成综合层，学有余力者挑战开放层。

1.基础层（直接应用模型）：“小丽有三件上衣（红、黄、蓝）和两条裙子（黑、白），她随机选择一件上衣和一条裙子穿。请用树状图表示所有搭配方案，并计算她穿‘红色上衣’的概率。”（教师点评侧重点：步骤划分是否清晰（先选上衣还是裙子均可，但需固定顺序），图形是否规范，概率计算是否正确。鼓励学生用不同顺序画图，体会结果一致性。）

2.综合层（复杂情境应用）：“甲、乙、丙三人玩传球游戏，球从甲开始传出，每人随机传给另外两人中的一个，传两次后，球回到甲手中的概率是多少？”（教师点评侧重点：如何抽象出三步模型（甲→？→？→甲），关注“不放回”传球（不能传给自己）在图形中的体现。这是两步决策，但需追踪状态。可请学生板演并讲解思路。）

3.挑战层（开放探究）：“设计一个实际情境，使该情境中某个事件的概率计算需要用到三步的树状图，并写出你的问题和解答。”（反馈机制：选取有创意且正确的情境设计进行全班分享，评价标准包括情境的合理性、步骤的清晰性、解答的正确性。此题为选做，旨在鼓励创新与应用。）

练习过程中，教师巡视，进行个别指导。完成后，采用“投影典型作品学生互评+教师精讲”的方式反馈。互评时引导学生运用课堂总结的步骤和要领进行评判。

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结：“这节课我们共同‘种下’了一棵解决问题的‘树’。请大家在任务单的小结区，用关键词或简易的树状图形式，梳理一下今天的收获。可以从‘我学到了什么方法’、‘这种方法的关键是什么’、‘需要注意什么’、‘它能解决什么问题’几个方面思考。”请几位学生分享，教师整合，最终形成知识网络：核心工具（树状图）→适用问题（步骤分明的等可能或多步概率事件）→操作步骤（审、画、查、算）→核心思想（有序分类、模型化）→易错点（步骤识别、放回与否、等可能性判断）。

作业布置：

必做（基础巩固）：1.教材对应练习题（侧重两步、三步的规范画图与计算）。2.整理本节课的错题，并分析错误原因。

选做（拓展应用）：1.探究：同时抛掷两枚硬币与先后抛掷一枚硬币两次，求“一正一反”的概率。树状图一样吗？概率结果一样吗？为什么？2.寻找一个生活中可用树状图分析概率的例子，并简要说明。

六、作业设计

基础性作业（全体必做）

1.从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。某人从甲地经过乙地到丙地，请用树状图列出所有可能的路线。

2.一个盒子中装有2个红球和1个白球，从中先后摸出两个球（不放回）。请用树状图法求：(1)两次都摸到红球的概率；(2)第二次摸到白球的概率。

拓展性作业（建议大多数学生完成）

3.（情境应用）学校举行“校园歌手”大赛，有A、B、C三位选手进入决赛。决赛通过抽签决定出场顺序，请用树状图列出所有可能的出场顺序，并求选手A第一个出场的概率。

4.（综合辨析）同时抛掷一枚质地均匀的骰子和一枚硬币，请用树状图列出所有可能结果，并求：(1)骰子点数为偶数且硬币正面朝上的概率；(2)骰子点数大于4的概率。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）

5.小明和小华用如图所示的两个可以自由转动的转盘（一个三等分，一个四等分，各扇形面积相等）做游戏。规则是：同时转动两个转盘，若指针所指区域数字之和为偶数，则小明胜；否则小华胜。这个规则公平吗？请用树状图辅助分析，并通过计算概率说明理由。若不公平，请你设计一个公平的游戏规则。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.树状图法定义：一种利用树状分支图形，系统枚举随机事件所有可能发生结果的数学方法。它尤其适用于步骤在两个或两个以上的等可能事件。

★2.适用条件：事件的发生可以明确分为若干个顺序进行的步骤，且每一步都有有限种明确的可能性。

★3.树状图基本结构：包含“根”（起点）、“枝”（线段，表示一步中的一种选择）、“层”（代表事件的一个步骤）和“叶”（终点，代表一种最终的可能结果）。一条从根到叶的路径对应一个基本事件。

★4.画图一般步骤：①审：分析事件共分几步，每步有几种可能结果。②画：从根开始，分步画层，逐层画出分枝，并在分枝上标注对应的结果。③查：检查是否涵盖了所有步骤和选择，确保不重不漏。④算：数出所有路径（结果）数n，找出目标事件包含的路径数m，应用公式P(A)=m/n计算概率（等可能前提下）。

●5.“放回”与“不放回”的图形特征：在“放回”或“相互独立”的步骤中，从同一层的不同节点引出的下一层分枝结构完全相同；在“不放回”或“相互影响”的步骤中，从不同节点引出的下一层分枝结构可能不同，取决于前一步的具体结果。这是画图时的审题关键。

●6.等可能性判断：使用古典概型公式P=m/n的前提，是树状图所列出的n个结果必须是等可能的。如果事件各步骤本身发生的概率就不相等（如转到面积不等的扇形），则所列结果不等可能，不能直接用计数法求概率。

★7.树状图与列表法的比较与选择：列表法适用于涉及两个因素（步骤），且每个因素有若干种情况的等可能事件，呈现形式为二维表格。树状图则不受步骤数量的限制，能清晰展示多步过程，直观性更强。当步骤超过两步时，树状图优势明显。选择依据是问题的步骤数和个人的表达习惯，但需确保方法的规范性。

▲8.树状图的拓展——标注概率：当各步骤的概率已知但不等时，仍可用树状图列出所有可能的结果组合。此时，需在每一分枝上标注该步骤发生的概率。目标事件的概率等于实现该事件所有路径的概率之和，每条路径的概率等于该路径上各分枝概率的乘积（概率乘法原理）。

●9.典型易错点：（1）步骤梳理不清，导致层数错误。（2）忽视“放回”与“不放回”条件，导致分枝结构画错。（3）计算总结果数时，误将分枝数相加而非相乘（各步独立时，总结果数=各步可能数的乘积）。（4）在不等可能步骤的情境中，错误地直接使用计数法求概率。

★10.核心素养指向：学习树状图法，核心在于发展模型观念（将实际问题转化为树状图模型）和数据观念（基于模型进行有序推理和计算，理解概率的意义）。同时，也锻炼了逻辑推理（有序分类、分步）和几何直观（利用图形直观分析问题）能力。

八、教学反思

本次教学基本达成了预设目标。从后测练习的完成情况看，约85%的学生能规范绘制两步及三步等可能事件的树状图并正确计算概率，表明模型构建的“脚手架”搭建有效。特别是在“任务二”的对比辨析中，学生通过观察、辩论，对“放回”与“不放回”这一关键条件在图形上的差异形成了深刻印象，有效突破了常见错误点。然而，在“任务五”的拓展环节，部分学生对非等可能步骤情境的理解表现出困难，这说明从“等可能计数”到“概率相乘”的思维跨越，对部分学生而言仍需更多铺垫和后续练习来消化巩固。差异化设计得到了体现：基础任务保证了全体学生的参与和成功体验；综合层与挑战层题目为学有余力的学生提供了思维爬升的阶梯，课堂上有学生提出了用不同顺序画树状图进行验算的妙招，展现了良好的元认知意识。

各教学环节的有效性评估如下：导入环节的“三步密码”问题成功制造了认知冲突，激发了学习新工具的迫切需