2027年高考数学一轮复习课件第四节　基本不等式

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第四节基本不等式目

录CONTENTS01必备知识基础落实02关键能力精准突破03视野拓展素养提升课标

解读1.掌握基本不等式

≤

（

a

，

b

＞0）.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.

a

＝

b

知识点二

利用基本不等式求最值问题

已知

x

＞0，

y

＞0，则：（1）如果积

xy

是定值

p

，那么当且仅当

时，

x

＋

y

有最小值是

⁠.

（简记：积定和最小）（2）如果和

x

＋

y

是定值

p

，那么当且仅当

时，

xy

有最大值是

⁠.

（简记：和定积最大）x

＝

y

x

＝

y

×√√×√

A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2答案：D2.（人教A版必修第一册P46例3改编）矩形的两边长分别为

a

，

b

，且

a

＋2

b

＝6，

则矩形面积的最大值是

.

答案：44.（人教A版必修第一册P48T1（2）改编）函数

y

＝

x

（3－2

x

）（0≤

x

≤1）的

最大值是

.

考点1

利用基本不等式求最值

（自悟通）命题点1

拼（配）凑法求最值1.已知0＜

x

＜1，则

x

（4－3

x

）取得最大值时

x

的值为

.

利用拼凑法及基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或

积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵

活变形，拼系数、凑常数是关键.

A.

B.

C.5D.9

A.13B.19C.21D.27

答案：9

利用常数代换法及基本不等式求解最值的基本步骤（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的

形式；（4）利用基本不等式求解最值.

A.0B.2C.4D.6

2.若正数

x

，

y

满足

x2＋6

xy

－1＝0，则

x

＋2

y

的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

A

解析：因为正数

x

，

y

满足

x2＋6

xy

－1＝0，

消元法求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量，凑

出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.命题点4

放缩法求最值1.已知正数

a

，

b

满足

ab

＝

a

＋

b

＋3，则

ab

的最小值是

.

答案：9

2.已知

x

＞0，

y

＞0，

x

＋3

y

＋

xy

＝9，则

x

＋3

y

的最小值为

.

答案：6

放缩法求最值的方法将所给代数式，利用基本不等式放大或缩小，构造出待求最值的代数式的结构，然

后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值.考点2

基本不等式的实际应用

（精研通）【例1】

某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120km的乙地，

运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽

车速度（单位：km/h）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费）（1）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；（2）若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度应为多少？

利用基本不等式解决实际问题的步骤（1）理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值.

某化工企业2023年年底投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的运转

费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于

设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备

x

年的年

平均污水处理费用为

y

（单位：万元）.（1）用

x

表示

y

；（2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设

备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后

利用常数代换法求最值.

A.1B.8C.4D.

（2）推广

A.2B.4C.6D.8

【练2】

设

x

，

y

，

z

是实数，且

x

＋

y

＋

z

＝6，则lgx

＋lgy

＋lgz

的取值范围是

（

）A.（－∞，lg6]B.（－∞，3lg2]C.[lg6，＋∞）D.[3lg2，＋∞）

拓展二：柯西不等式的应用（1）柯西不等式的一般形式

（2）柯西不等式二元式形式一：设

a

，

b

，

c

，

d

均为实数，则（

a2＋

b2）·（

c2＋

d2）≥（

ac

＋

bd

）2，

当且仅当

ad

＝

bc

时等号成立.

【练3】

已知

a2＋

b2＝1，

x2＋

y2＝1，则

ax

＋

by

的取值范围是（

）A.[0，2]B.[－1，1]C.[－2，2]D.[0，1]B

解析：利用柯西不等式，得1＝（

a2＋