卢瑟福散射公式的推导及谈α粒子散射实验的应用意义-毕业名师资料汇编

最新卢瑟福散射公式的推导及谈α粒子散射实验的应用意义毕业名师资料汇编卢瑟福散射公式的推导及谈α粒子散射实验的应用意义摘要1909年卢瑟福和他的助手盖革（H.Geiger）及学生马斯登（E.Marsden）在做α粒子和薄箔散射实验时观察到绝大部分α粒子几乎是直接穿过铂箔，但偶然有大约1/8000α粒子发生散射角大于90°。这一实验结果当时在英国被公认的汤姆逊原子模型根本无法解释。在汤姆逊模型中正电荷分布于整个原子，根据对库仑力的分析，α粒子离球心越近，所受库仑力越小，而在原子外，原子是中性的，α粒子和原子间几乎没有相互作用力。在球面上库仑力最大，也不可能发生大角度散射。卢瑟福等人经过两年的分析，于1911年提出原子的核式模型，原子中的正电荷集中在原子中心很小的区域内，而且原子的全部质量也集中在这个区域内。原子核的半径近似为10，约为原子半径的千万分之一。α粒子散射实验是物理学史上具有里程碑意义的重要实验之一,评为“最美丽”的十大物理实验之三。由α散射实验现象确立了原子的核式结构，为现代物理的发展奠定了基石。从20世纪60年代中后期首先应用卢瑟福背散射于月球表面元素成分分析至今，成为成为一种常规的杂质成分、含量及深度分布、膜厚度分析手段。本文首先介绍原子的的大小和质量，然后介绍原子有核模型提出的历史过程和α粒子散射实验的过程，根据α粒子散射实验中不可忽视的大角度散射引出卢瑟福原子模型，运用相关数学手段和理论力学的基本知识具体详细的推导出库伦散射公式和卢瑟福散射公式，指出了行星模型的意义和困难，并阐述了α粒子散射实验实际应用意义和α粒子试验仪在天体物理中的应用，在最后对相关数学手段和理论力学的相关知识进行了详细的介绍。关键词：α粒子散射实验；库仑散射公式；卢瑟福散射公式；行星模型；原子稳定性AbstractIn1909，RutherfordandhisassistantGeiger(H.Geiger)andstudentsMarsden(E.Marsden)doingαparticlesandthinfoilscatteringexperimentsobservedthatmostoftheα-particlesisalmostdirectlythroughtheplatinumfoilButoccasionally,about1/8000αparticlesinthescatteringanglegreaterthan90°.TheresultsofthisexperimentwastobeacceptedintheUnitedKingdomThomsonatomicmodelcouldnotexplain.ChiangKai-shekintheThomsonmodelofchargedistributionintheatom,basedontheanalysisofCoulombforce,αparticlesfromthehotcorecloser,sufferedthesmallerCoulombforce,andintheatom,theatomisneutral,αparticlesandatomsalmostnointeraction.Coulombforceinthelargestsphere,largeanglescatteringcannotoccur.Rutherford,whoaftertwoyearsofanalysis,in1911proposedthenuclearatom-typemodel,thepositivechargeconcentrationofatomsattheatomiccenterofaverysmallarea,andtheatomsofallthequalityoffocuswithintheregion.Radiusofthenucleusisapproximately10,approximatelyten-millionthofatomicradius.α-particlescatteringexperimentisamilestoneinthehistoryofphysicsinoneoftheimportantexperiments,asthe"mostbeautiful"ofthetoptenphysicsexperimentsIII.Establishedbytheαscatteringbehaviorofatomsandnuclearstructure,thedevelopmentofmodernphysicshavelaidafoundation.60yearsfromthelate20thcentury,firstappliedRutherfordbackscatteringelementalcompositionanalysisonthelunarsurfacesofarastobecomearoutineimpuritycontentanddepthdistribution,filmthicknessanalysistool.Thispaperdescribesthesizeandqualityoftheatom,thenintroducesanuclearatommodelproposedbythehistoricalprocessandα-particlescatteringprocess,accordingtoα-particlescatteringexperimentcannotbeignoredinthelargeanglescatteringleadstoRutherfordatomicmodel,theuseofrelevantmathematicstoolsandbasicknowledgeoftheoreticalmechanicsspecificdetailedCoulombscatteringformulaisderivedandtheRutherfordscatteringformula,thattheplanetarymodelofthesignificanceanddifficulties,anddescribedthepracticalapplicationofα-particlescatteringexperimentsignificanceandαparticletesterinastrophysicsapplicationofmathematicalmethodsinthefinaloftherelevantknowledgeandtheoreticalmechanics,adetaileddescription.Keywords：AlphaparticleScatteringexperiments;Coulombscatteringformula;Rutherfordformula;planetarymodel;Atomicstability目录绪论 1第一章背景知识 31.1电子的发现 31.2电子的电荷和质量 41.3阿伏伽德罗常数 41.4原子的大小 4第二章原子核式结构理论提出的历史过程 62.1汤姆孙在发现电子后提出的原子结构设想 62.2开尔文原子模型 62.3汤姆孙的葡萄干—布丁原子模型 72.4勒那德的原子模型 72.5长岗的土星原子模型 82.6尼克尔森的初始物质原子结构 8第三章α粒子散射实验及大角度散射现象的思考 103.1α粒子散射实验 103.2大角度散射现象引出的思考和核式模型的由来 11第四章库伦散射公式及卢瑟福散射公式的推导 144.1库伦散射公式 144.2卢瑟福散射公式 16第五章卢瑟福理论的实验验证 185.1卢瑟福散射公式的拓展 185.2卢瑟福理论的实验验证 195.3关于小角与180°处的卢瑟福公式 21第六章α粒子散射实验的应用意义 226.1对于α粒子散射实验的回顾和一些说明 226.2用α粒子散射实验估计原子核大小 226.3α粒子散射实验的新应用——卢瑟福背散射分析 246.4粒子散射实验给我们今天留下的财富 24第七章行星模型的意义和困难 267.1行星模型的意义 267.2行星模型的困难 26参考文献 28附录 29附录A中心力 29附录B极坐标 30附录C两体问题 33绪论原子物理学是研究原子结构，运动规律及相互作用的物理学的一个分支，主要研究：原子的电子结构、原子光谱、原子之间或与其他物质的碰撞过程和相互作用。原子是从宏观到微观的第一个层次，是一个重要的中间环节。物质世界这些层次的结构和运动变化，是相互联系、相互影响的，对它们的研究缺一不可，很多其他重要的基础学科和技术科学的发展也都要以原子物理为基础，例如化学、生物学、空间物理、天体物理、物理力学等。激光技术、核聚变和空间技术的研究也要原子物理提供一些重要的数据“原子”一词来自于希腊文，意思是“不可分割的”。公元前4世纪古希腊物理学家德谟克利特提出这一概念，并把它当作物质的最小单元。到此后的2000多年里原子一直被当做物质的最小单元。经过相当长时期的探索，直到20世纪初，人们对原子本身的结构和内部运动规律才有了比较清楚的认识，之后才逐步建立起近代的原子物理学。在十九世纪末，物理学上爆出了震惊科学界的“三大发现”：1895年，德国物理学家伦琴发现X射线，法国物理学家贝克勒尔发现天然放射性：1897年，英国物理学家汤姆孙发现了电子。在这三大发现中以电子的发现最为重要，因为比原子更小的东西存在意味着原子的分裂及其组成，人类第一次真实的看到了比原子还小的东西，第一次打开了原子世界的大门，原子不可分割的学说第一次被打破。由于电子呈电中性，而一切原子中都存在带有负电的电子，那么原子中必然存在有带正电的物质，对于这一问题，当时存在许多不同的假设：如汤姆孙在发现电子后提出的原子结构设想，开尔文原子模型，汤姆孙的葡萄干—布丁原子模型，勒那德的原子模型，长岗的土星原子模型，尼克尔森的初始物质原子结构。上述原子模型在一定程度上都能解释当时的一些实验事实,但不能解释以后出现的很多新的实验结果。由于汤姆孙模型能解释当时很多的实验事实,所以很容易被许多物理学家所接受,成为当时一种标准模型。由于1911年卢瑟福及助手所做的α粒子散射实验，出现不可忽视的大角度散射现象，卢瑟福根据实验结果提出：原子的中心是一个重的带正电的核，与整个原子的大小相比，核很小。电子围绕核转动，类似大行星绕太阳转动。这种模型叫做原子的核模型，又称行星模型。从这个模型导出的结论同实验结果符合的很好。根据经典的电磁理论，电子应当自动地辐射能量，使原子的能量逐渐减少、辐射的频率逐渐改变，因而发射光谱应是连续光谱。电子因能量的减少而循螺线逐渐接近原子核，最后落到原子核上，所以按照卢瑟福原子模型解释：原子应是一个不稳定的系统。但事实上原子是稳定的，原子所发射的光谱是线状的，而不是连续的。这些事实表明：从研究宏观现象中确立的经典电动力学，不适用于原子中的微观过程。这就需要进一步分析原子现象，探索原子内部运动的规律性，并建立适合于微观过程的原子理论。1913年，丹麦物理学家玻尔在卢瑟福所提出的核模型的基础上，结合原子光谱的经验规律，应用普朗克于1900年提出的量子假说，和爱因斯坦于1905年提出的光子假说，提出了原子所具有的能量形成不连续的能级，当能级发生跃迁时，原子就发射出一定频率的光的假说。玻尔的假设能够说明氢原子光谱等某些原子现象，初次成功地建立了一种氢原子结构理论。建立玻尔理论是原子结构和原子光谱理论的一个重大进展，但对原子问题作进一步的研究时，却显示出这种理论的缺点，因此只能把它视为很粗略的近似理论。1924年，德布罗意提出微观粒子具有波粒二象性的假设，以后的观察证明，微观粒子具有波的性质。1926年薛定谔在此基础上建立了波动力学。同时，其他学者，如海森伯、玻恩、狄喇克等人，从另外途径建立了等效的理论，这种理论就是现在所说的量子力学，它能很好地解释原子现象。20世纪的前30年，原子物理学处于物理学的前沿，发展很快，促进了量子力学的建立，开创了近代物理的新时代。

第一章背景知识1.1电子的发现1811年阿伏伽德罗（A.Avogadro1776～1856）提出，即：一摩尔任何原子的数目都为，称之为阿伏伽德罗常数。1833年法拉第（M.Faraday1791～1867）提出电解定律：一摩尔任何原子的单价离子永远带相同的电量——法拉第常数F。1874年斯通尼（）根据上述两个定律作出了如下推论和联想：原子所带的电荷为一基本电荷的整数倍,并用推算出这一基本电荷的近似值。在1881年他提出用“电子”这一名字来命名这些电荷的最小单位。1987年由汤姆孙（J.J.Thomson1856～1940）根据阴极射线管实验确认电子的存在。图1-1汤姆孙在1897年使用的阴极射线管（示意图）阴极射线从阴极C发出后通过狭缝A、B成一狭窄的射线，再穿过两片平行金属板D、E之间的空间，最后到达右端带有标尺的银光屏上。D,E之家可以加电场，放电管周围又可以加磁场。加电场E后，射线由P点偏到Q点，由此可知阴极射线带有负电（e）。再加上一个方向与纸面垂直的磁场H，使束点再由Q回到P，即：使磁力（Heν）和电力（Ee）大小相等，方向相反，由此可以算出阴极射线的速度ν=E/H。去掉电场，由于磁场方向和射线方向垂直，将使射线构成一圆形轨迹。若此圆形轨迹的半径为r，则射线内的粒子（质量为m）受到的离心力mν2/r。它一定与磁力Heν相平衡，则可求得e/m。对于“一位最先打开通向基本粒子物理学大门的伟人”的汤姆孙来说，他的贡献不仅是测出荷质比e/m，还有敢于承认了电子的存在。1.2电子的电荷和质量电子电荷的精确测定是在1910年有密立根（～1953由汤姆孙方法的改进和发展而作出的，即著名的“油滴实验”。电子电荷的现代值为：e＝1.60217733（49）×10-19C;电子的质量：m=9.1093897(54)×10-31kg;质子的质量：m=1.6726231(10)×10-27kg;m/m=1836.152701(37)即质子的质量大约是电子质量的1836倍。1.3阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数NA代表1mol分子的分子数目或者1mol原子的原子数目。阿伏伽德罗常数是联系宏观和微观的一个物理量。它是我们联系宏观和微观之间的桥梁。NA=6.0221367（36）×1023mol-1从上面可知，1mol的12C或者12g12C含有NA个12C原子。则每个12C原子的质量以克为单位为12/N1g=NAu从NA的数值可以导出1u=1.6605402(10)×10-271.4原子的大小对于任一种原子AX，A克X原子具有NA个X原子,假如这种原子的质量密度为ρ（g/cm3），那么A克X原子的总体积为A/ρ，假如一个原子占有的体积为4/3πr2（r为原子半径）则由此可以得到原子的半径公式：由此可以算出不同的原子半径：表1-1不同原子半径标元素质量数A质量密度ρ/（g/cm3）原子半径r/nmLi70.70.16Al272.70.16Cu638.90.14S322.070.18Pb20711.340.19其中1nm=10-9m，是原子领域常用的长度单位（1=0.1nm）。

第二章原子核式结构理论提出的历史过程2.1汤姆孙在发现电子后提出的原子结构设想由于1897年及其以后多年，科学家只发现比原子小的电子，而电子又带负电，可是原子在一般情况下是中性的，所以那时他认为比原子小的粒子可能只有电子，因此他设想原子完全由电子组成。根据经典电动力学的原理和美国科学家迈耶发表的一些磁针在水面上漂浮时因为斥力和吸力的作用排成有规则的图形（见图2-1）。想出了一个电子相当于一个磁针，5个磁针在水面上排成正方形，6个磁针排成正五边形，他们都有一个磁针位于中央。当有8个磁针时有3个在正六边形中央；15个时按1,5,9排成3层；27个磁针时，排成1,5,9,12四层，以此类推。经过这样的磁针排列和理论计算，他发现它们与原子由电子构成的初步设想。为了解释原子是中性的，当时他只有假设原子内的空间是带正电的，在总量上与电子的负电和相平衡。这样他认为原子是由位于各环上均匀分布的电子和正电子空间或者正电体组成。图2-1迈耶的7个磁针在水面上形成的漂浮六边形图2.2开尔文原子模型开尔文的原子模型是综合了19世纪电学理论成就，考虑了电子的发现才提出的。他认为有比原子还小的电原子，也就是带点小粒子，它们可以只有的通过原子内的空间中的物质（可以称之为电以太），电原子（树脂电）带负电，电物质（玻璃电）带正电，电原子之间和电物质之间因为电性都相同而相互之间存在斥力，而电原子和电物质之间存在吸引力，这些力相互作用就形成了原子结构，总的是中性的。2.3汤姆孙的葡萄干—布丁原子模型1904年3月，汤姆孙在经过5年多的思考和借鉴他人的研究成果之后，正是推出了他认为科学的原子模型。这篇文章利用电磁力的相互作用和正、负电平衡的理论径直地进行分析，吸取了开尔文的正电物质弥散地充满原子空间的想法，修正其电以太想法，改为正电均匀分布的球体，以达到按同心环分布的负电子和正点球体进行电性中和的目的。他说：“元素的原子由封闭在带均匀正电的球体之中的大量带负电粒子说组成。”被后来人把汤姆孙的原子模型称为葡萄干—布丁原子模型。其实这个譬喻只是个简单的说法，因为汤姆孙认为他的电子是在电子环中不停的匀速旋转的，而不是静止地镶嵌在固定的地方，电子的平衡既是电力上的平衡又是电性上的平衡。还根据电磁理论进行了详细的计算，提出电子在各个轨道上等速旋转的稳定条件和数学表达式，算出了电子环数与最小中心电子数之间的关系，从而得出某电子环数时中心电子的最少个数。图2-2汤姆孙原子模型中19个电子的分布2.4勒那德的原子模型勒那德在研究阴极射线穿过阴极射线管的铝窗口而计入空气中产生的效果，从这些新的实验中他发现阴极射线的穿透性质和材料的密度有很大关系，由汤姆孙提出的原子是由电子和带点球体组成的设想，得出原子内部出去大部分是中空的之外，尚存在中性偶极子，这种偶极子是由带正电的和负电的“动力子”构成。他经过测算得出，动力子的大小站原子体积的10^9之一，这个体积很小的动力子“对”之间的距离小于10^-11厘米，因而这个“对“为中性的，它在原子内部迅速旋转，不易被电子穿透。因此勒那德在1903年提出原子结构为在空虚的原子空间内存在体积很小的动力偶极子，偶极子在原子空间内高速旋转。1906年他在《阴极射线》中写道：借助这些阴极射线可以得到关于分子原子组成的信息，原子的质量集中在微小的动力偶极子上。2.5长岗的土星原子模型长岗从汤姆孙的原子结构设想与麦克斯韦的土星光环模型相结合的考虑，英国物理学家洛奇在一次演讲中提到卫星系统在与原子内的电子派力有相似性得到启发，只是他用电子之间的斥力和电子和原子中心的大质量粒子的相互吸引力取代万有引力。形成了大量带电粒子绕中心处的大质量粒子旋转的原子结构。但是他的原子结构模型仅仅是个平面结构。如图2-3图2-3长岗的图形原子模型2.6尼克尔森的初始物质原子结构图2-4尼克尔森的第四种初始物质原子模型尼克尔森认为，现在的元素周期表中的元素是在初始元素的基础上演化出来的。他根据经典电动力学原理得出，微观的原子内部结构只能是某些带电部分分绕具有大的质量的其他带电部分绕具有大的质量的其他带电部分沿轨道旋转所构成。他说：“负电球必定绕正电球旋转，后者可以称为‘核’，整个系统的运动受电力的平方反比定律所控制”。

第三章α粒子散射实验及大角度散射现象的思考3.1α粒子散射实验1906年，卢瑟福开始研究原子内部结构。他认为要了解原子内部情形，最好的办法就是把它砸开。α射线做子弹轰击元素的原子不但能将某些原子打破，而且或许从它打入原子后走过的径迹能够对原子的结构情况有真实的了解。它们选择α粒子的枪是极少量的镭。它能连续不断的放出α粒子而且放射性元素放射的辐射中α射线的能量占总放射能量的99%。镭放在一个仅开一个小口的铅容器里面，让α粒子射出。如图3-1所示图3-1卢瑟福α粒子散射实验示意图图3-2α粒子被金原子大角散射的径迹1908年1月，他与助手盖革用自己设计的计数器数出原子的个数，这个人类史上第一次用实验发现单个原子，因为他们已经证实α粒子就是带两个正电荷的氦离子。随后，他让盖革和研究生马斯顿用α粒子轰击金的原子。当马斯顿做实验后，竟发现α粒子打到金的原子上后被弹回来，散射的角度大于90°。按照他的预计α粒子应当穿过原子呈直线或者稍有弯曲的前进，跑去向卢瑟福报告，卢瑟福到荧光屏上看到也很惊奇，并且说这有些像炮手将一颗炮弹射到纸上而由于某种原因又被弹射回来一样。实验的情况如图3-2所示，α粒子从P射向原子O，被沿曲线弹向P′，反射角有时等于甚至大于90°，呈漫散射现象。3.2大角度散射现象引出的思考和核式模型的由来假设有2个外形、大小、电荷和质量都相同的带电球体，其中一个球的电荷密度是均匀分布的，另个球的电荷集中在球心，现在若用一带电粒子分别轰击这两个球，由电学中高斯定理可知：在带电粒子远离两个球时（r>>R，见图7），两个球的作用是一样的。都可把电荷视为集中于球心，但当带电粒子打入球内时（r<R）,情况就大不一相同：电荷均匀分布的球，带电粒子受到的库伦力与r成正比，越往中心受力越小，故较易穿过小球；对电荷集中在球心的球，带电粒子受到的库伦力与在球外一样，仍与r²成反比，越靠近球心受到的力越大，有可能出现大角度散射现象，甚至反弹回来。图3-3两种不同电荷引起的不同相互作用从图3-3左图可以看出，对汤姆孙模型最大的作用力发生在于掠射，即r=R时。这里的R是原子的半径，那时原子的正电荷Ze对于入射的α粒子（2e）产生的作用力为：（3-2-1）其中ε0为介电常数。为了估计α粒子由散射而引起的动量的变化(图3-4)，只要把作用力乘以粒子在原子附近度过的时间（～2R/υ）,故（3-2-2）上式中代表在汤姆孙模型，对于入射α粒子，正电荷引起的α粒子的最大偏转，那么负电荷（电子）对于α粒子的偏转几乎可以忽略，因为它的质量只有α粒子的八千分之一，即使对头撞，(3-2-3)结合（3-2-2）式和（3-2-3）式，可得到一个保守的估计：(3-2-5)对于5MeV的α粒子对金（Au,Z=79）箔的散射，每次碰撞的最大偏转角将小于10-3rad.要引起1°的偏转，必须经过多次碰撞。由于每次碰撞的偏转方向都是无规则的，因此，要引起最终的角偏转的几率是十分小的；产生90°的偏转几率约为10-3500！而盖革和马斯顿得到的实验实验值却为1/8000！对于这个问题卢瑟福苦思几个星期后，在1910年底，经过数学运算，证明“只有假设正点球的直径小于原子作用半径，α粒子穿越单个原子时，才有可能产生大角度散射”。在1911年提出了另一个模型，他设想原子中带正电的部分很小，电子在带正电部分的外边。这样，α粒子在接近原子时，它受到电子的作用引起的运动改变如上文所说依然不大，受到正电体的作用就不同了。此时正电体很小，α粒子虽然进入了原子区域，他还在正电体之外，整个正电体对它起作用，因此受到正电体的力是2Ze2/(4πε0r2)。而且正电体很小，所以r可以很小，说受到的力可以很大，所以就能产生大角散射，如图3-4所示。ααZe图3-4α粒子在原子的核式模型中的散射示意图卢瑟福还提出了可以由实验验证的理论。按照此理论可以由实验观察到的散射角可以推算出带电体的大小，算得的结果很小，所以成为原子核，他提出的原子模型因此成为核式模型。

第四章库伦散射公式及卢瑟福散射公式的推导4.1库伦散射公式下图4-1描述了远离靶核时（此时库伦势为零），入射能量为E、电荷为Z1e的带电粒子，与电荷为Z2e的靶核发生散射的情况。ZZ2eθφφZ1ermr粒子散射轨道b图4-1带电粒子的库伦散射υ对于散射过程先做一些假设：1）只发生单次散射；2）只有库伦力相互作用；3）核外电子的作用可以忽略；4)靶核静止。由牛顿第二定律知：F=ma带入力的具体形式后，（4-1）r0是r方向上的单位矢量。因为库仑力是中心力，而中心力满足角动量守恒，即(常数)（4-2）整理得：两边积分：（4-3）等式左端积分（4-4）θθ/2θ/2θ/2θυfυf-υi-υi（a）初速和末速的矢量图yxeviθ/2jjcos(θ/2)isin(θ/2)(b)单位矢量投影图O图4-2式中eυ是υf-υi方向上的单位矢量（图4-2）。υi,υf分别代表碰撞前后入射粒子（Z1e）远离靶核时的速度，由于能量守恒：（4-5）即，υi与υf的数值必然相等（记为υ），但两者方向不同，由图3.2（a）可以看出，（υf-υi）这个矢量的大小，方向则与y轴相夹角。式（4-3）右端是单位矢量积分，因r0是变化的单位矢量，须变换成固定坐标的单位矢量i,j后才能积分，即：（4-6）由图4-2（b）可知（υf-υi）方向上的单位矢量eυ在x轴，y轴上的分量分别isin和jcos，与式（4-6）对应一致，得：（4-7）由于mv2=2E，所以：上式即为库伦散射公式。式中a称之为库仑散射因子。b为瞄准距离，又称碰撞系数，即入射粒子与固定散射体无相互作用的情况下的最小直线距离。θ为散射角，当θ=90°时，库伦散射因子a等于瞄准距离的两倍。4.2卢瑟福散射公式库伦散射公式在理论上十分重要，但在实验中却无法应用，由于b这个碰撞参量至今还是一个不可控制的量，在实验中尚无方法测量。而且在真正的实验中出现的散射现象并不是单次散射，而是大量散射的集合结果。由库仑散射公式可以看出，θ与b有对应关系：b大，θ就小；b小，θ就大对于某一b，就有一个确定的θ。θθ-dθdθθbb+db图4-3rdσ瞄准距离在b和b-db之间的α粒子，经散射后，必定向着θ和θ+dθ之间的角度射出，如图4-3所示：凡是通过图中所示以b为外半径、b-db为内半径的那个环形面积的α粒子，必定散射到角度再θ和θ+dθ之间的一个空心圆锥体之中，环形面积dσ=2πbdb。将库伦散射公式平方后微分，可得：(4-2-1）（4-2-1）式中可以用空心圆锥体的立体角表达以代替dθ。由图4-3知，所说的立体角与dθ有下列关系：带入（4-2-1）式，就有(4-2-2)这就是卢瑟福散射公式。dσ是α粒子散射到θ与θ+dθ之间一个立体角dΩ内每个原子的有效散射截面，又称微分截面。

第五章卢瑟福理论的实验验证5.1卢瑟福散射公式的拓展At图5-1我们要把卢瑟福散射公式和实验所能观察到的数值联系起来。dσ是以b为外半径、b-db为内半径的环形面积，通过的α粒子数它成正比，所以卢瑟福散射公式中的dσAt图5-1设薄膜很薄，这些原子对射来的α粒子前后不互相遮蔽，那么膜上散射到θ与θ+dθ之间的总有效散射截面是如果有n个α粒子射在这薄膜的全部面积A上，其中有dn个散射到θ与θ+dθ之间dΩ中，那么这些必定落在d∑上。所以，（5-1-1）（5-1-1）式表示dσ与dn/n成正比，因此dσ代表散射到θ与θ+dθ之间的几率大小。将（5-1-1）带入（4-2-2），即得常数。（5-1-2）式中右端等于常数是指对同一α粒子源和同一种散射物质来说的。在这情况下，右边诸值不变。那么这式表示左边的数值不随θ而变更。在实际测量中，并不是取θ与θ+dθ之间的全部立体角，也就是不采用图4-3中大环形所张开的全部立体角。测量的荧光屏仅仅在不同方向张开一个小的立体角dΩ′,实际测得的粒子数是在dΩ′中的dn′。容易理解：在θ相同时，dΩ′/dn′=dΩ/dn。（5-1-2）式与实验对时，用dΩ′/dn′代替dΩ/dn。5.2卢瑟福理论的实验验证卢瑟福理论是建立在原子的核式结构模型基础上的，即原子中带正电部分集中在原子中心很小的体积中，但是它占有整个原子99.9%以上的质量，α粒子在它外面运动，受原子全部正电荷Ze的库伦力的作用。如果实际情况确是如此，那么实验结果应该与理论公式（5-1-2）符合。从（5-1-2）式可以看到以下四种关系：（1）在同一α粒子源和同一散射体的情况下，（dΩ′/dn′）sin4（θ/2）=常数；（2）在同一α粒子源和同一散射体，在同一散射角dΩ′/dn′与散射物质的厚度t成正比；（3）用同一散射物，同一散射角，（dΩ′/dn′）ν4=常数；（4）用同一散射物，在同一散射叫对同一Nt值dΩ′/dn′与Z2成正比。1913年盖革和马斯顿又仔细地进行了α粒子散射的实验，所得结果完全证实了上述前三项关系。图5-2检验卢瑟福散射公式的实验装置侧视图α粒子散射实验装置如图5-2所示。在抽成真空的容器内,用一铅块R包围着α粒子源,发射的α粒子经一细的通道D后,形成一束射线,打在一厚度约为0.00004cm的金属箔F上。穿过金属箔的α粒子打到在玻璃片上涂有硫化锌荧光物的荧光屏S上。当被散射的α粒子打在荧光屏上时,就会产生微弱的闪光。通过放大镜M观察闪光就可记下某一时间内在某一方向散射的α粒子数。放大镜、荧光屏与外壳制成一体,可以转到不同的方向对α粒子进行观察。表5.1所列的是金箔上散射的结果,表中显示散射角在15°到150°表5.1α粒子在不同角上的散射θ（度）dn′1/sin4(θ/2)dn′sin4(θ/2)15013512010575604537.53022.51533.143.051.969.5211477143533007800273001320001.151.381.792.537.2516.046.693.7223690344528.831.229.027.529.129.830.835.335.039.638.4虽然dn′差的很大，dn′sin4(θ/2)确是常数，足见该理论对大角散射是合用的。对于小角的情况，以后讨论。关于上述第二项，即散射粒子数与散射物厚度t成正比的关系，曾对金、银、铜、铝等金属进行了测量，观察到在一定散射角上在一定时间内的散射粒子数dn′确与箔的厚度成正比。关于上述第三项，即散射粒子数与α粒子的初速度的关系，（dn′）ν4=常数，盖革和马斯顿也进行了实验。他们把镭（B+C）的α粒子通过厚度不同的云母片，得到不同速度，再把这种α粒子分别在同一金属箔上散射，并在同一角度观察，获得结果如表5.2所示，与理论符合。表5.2α粒子散射与其初速度的关系ν-4的相对值闪烁数dn(dn′)ν41.01.211.501.912.844.329.2224.729.033.4448110125525242223282328关于上述第四项，当时盖革和马斯顿用原有仪器未能准确测定Z。1920年，查德维克改进了装置，用卢瑟福公式第一次直接通过实验测出了原子的电荷数Z，他测得铜、银、铂的Z值等于这些元素的原子序数。表5.3原子正电荷数的测定铜银铂原子序数原子的正电荷数测定值2929.34746.37877.4至此，进一步证明了卢瑟福核式模型的正确性5.3关于小角与180°处的卢瑟福公式从（5-1-2）可以看出，当θ角度很小时，在dΩ立体角内接收到的出射粒子数dN′可能大于入射粒子数N，在θ非常小时，dN′甚至可以趋于无穷大，这显然是不通的。小角，相当于大的碰撞参数，那时，在一般的实验条件下，核外电子的作用可以忽略的假设不在成立。在b达到原子半径大小时，由于原子呈中性，库伦散射根本不会发生。因此小角时，不考虑核外电子屏蔽效应的卢瑟福公式不在正确。在某些情况下，实验测得的卢瑟福散射截面远大于卢瑟福公式给出的数值。不过，偏差仅仅在180°附近不到1°的范围内（当θ=179°时，实验与理论相符很好）。

第六章α粒子散射实验的应用意义6.1对于α粒子散射实验的回顾和一些说明理论推导过程中包含着两个假定：（1）计算散射总截面时，把单原子的散射界面乘以原子数，这个假定在金属箔中原子核前后不互相遮蔽；（2）通过金属箔的α粒子只经过一次散射。对第一个假定，我们这样理解：所用金属箔是很薄的。实验所用金属箔的厚度有到5×10-7米的。可是金原子的直径只有差不多3×10-10米，这样还有一千多个原子的厚度，假如还考虑原子核与原子的半径之比至多是10-14/10-10=10-4对第二个假定，我们理解：α粒子通过金属箔，经过了好多原子核的附近，实际上经过多次散射。原子核很小，核空间很大，因此α粒子通过金属箔时，多次很接近原子核的机会还是不大。只有瞄准距离b小时，散射角才大。实际观察到的较大的θ角散射可以设想是由于一次大角散射和多次小角散射合成的。但多次小角散射左右上下各方向都有可能，合并起来会抵消一部分，而且每次都小，合并产生的方向改变比一次大角散射要小。因此有大角散射存在的情况下，小角散射可以不计。一次散射理论可以适用。再提一下电子的问题，按原子的核式模型，原子核外边还有电子存在。由于α粒子的质量比电子大7300倍，α粒子的运动，如以前所说，受电子的影响是微不足道的。所以α粒子散射理论中不需要将电子这个因素考虑进去。6.2用α粒子散射实验估计原子核大小α粒子确在原子的整个正电量的库伦场中运动，那就是说α粒子仍在原子核之外，这就可以用理论有效范围的实验数据，按理论来推算α粒子达到里原子核最小的距离，即原子核半径的上限。b是射粒子与固定散射体无相互作用的情况下的最小直线距离，而rm是两个粒子在有相互作用时能够靠近的最小距离。B和rm是两个不同的概念。设α粒子在离原子核很远的时的速度为ν，达到原子核最小距离rm处的速度为ν′。按能量守恒定律，（6-2又由物体在有心力场中运动，角动量守恒。由图4-1，（6-2合并（6-2-1）和（6-（6-2-3由（6-2-3）式，知道散射物的Z和α粒子的原有速度ν，从观察到的散射角θ，就可以推算出α粒子离原子最近距离rm。θ越大，r假如将库伦散射因子a带入上式可得(6-2-4从(6-2-4)式可知，当θ=180°时，rm达到最小值：rm=a，这就是两体在斥力场中对心碰撞时能靠近的最小距离，这也是库仑散射因子于是，我们得到这样的结论：假如当θ=180°时卢瑟福公式仍旧成立，那末散射体的原子核线度的上限就是a；显然，当入射粒子的能量增大时，a减小，对原子核大小的估算就越接近事实。表6.1镭C′的α粒子在不同散射物算得的rm散射物原子序数α粒子速度rm/m金790.064c3×10-14铜290.064c1.2×10-14银470.064c2×10-14由表6.1可见：这些原子带正电不分必定小于这里求的得距离。原子半径是10-10m6.3α粒子散射实验的新应用——卢瑟福背散射分析卢瑟福背散射分析是固体表面层和薄膜的简便、定量、可靠、非破坏性分析方法,是诸多的离子束分析技术中应用最为广泛的一种微分析技术。从20世纪60年代中后期首先应用卢瑟福背散射于月球表面元素成分分析至今,已发展成熟,成为一种常规的杂质成分、含量及深度分布、膜厚度分析手段,在材料、微电子、薄膜物理、能源等领域进行交叉学科的研究中,有着重要的作用。他在诸如离子注入、薄膜技术以及半导体和其他新材料研究和生产表现出独有的有点，因而无论在科学研究和技术开发方面，都受到人们极大重视，并已成为一种缺之不可的常规分析工具。在固体薄膜厚度、化合物的化学配比、混合物成分的相对含量、氯离子在二氧化硅中深度分布的测量应用十分广泛。6.4粒子散射实验给我们今天留下的财富用散射的实验方法不仅在本世纪初探测原子结构成为重要的手段，而且在近代物理实验中，卢瑟福开创的用高能粒子作为“炮弹”打人原子内部以获取原子信息的实验方法仍然照亮着核物理和高能物理前进的方向，探索核力的性质、场的统一理论等，都发挥了巨大的作用。随着原子核实验技术的飞速发展，加速器提供的高能粒子代替天然放射性发出的粒子，各种仪器自动检测代替了肉眼观察硫化锌屏上的闪烁，这正是盖革计数的思想推广。粒子散射实验的设计思想和设计技巧，令我们今天从事近代物理实验的工作者依然钦佩不已，它就像物理实验发展进程中的金字塔，还将在未来的若干世纪里放射出炫目的光辉。粒子散射实验的每一步都浸透了众人的智慧，我们不能想像在物理学高度发展的今天，物理专业分支交叉繁杂，学科知识不断更新发展，单靠个人的独立闭门研究能有什么收获。从粒子散射实验的前前后后可以看出;卢瑟福用粒子散射来探测原子结构的工作，经历了一个从不自觉到自觉的发展过程。他本来是想通过粒子散射的观测来了解射线与物质的相互作用，但一旦发现粒子散射能提供物质构造的信息时，就敏锐地抓住了它进行充分的研究，并在研究中不断改进实验方法。更可贵的是，卢瑟福不局限于研究实验规律，而是以无可辩驳的论据，建立了原子有核模型的理论，再用周密的实验加以验证，使这一理论建筑在牢固的实验基础之上。一切从事实出发，善于继承并敢于创新，这就是卢瑟福粒子散射实验留给后来者最最宝贵的财富。

第七章行星模型的意义和困难7.1行星模型的意义首先,卢瑟福由α离子散射实验提出了原子的核式结构模型,即提出了以核为中心的概念，成功打开了原子结构的神秘大门,首次将原子分为核外与核内两个层次,并且大胆肯定德承认了高密度原子核的存在,开创了原子物理和原子核物理学的新领域。因此,海森堡称卢瑟福是“近代原子物理学的真正奠基者”。其次,卢瑟福散射公式提供了一种估算原子核大小的方法。还可以利用卢瑟福散射公式测定原子核的正电核数Ze，也证明了原子的正电核数Ze等于元素的原子序数。再次，卢瑟福散射不仅对原子物理起了很大作用，而且这种以散射为手段研究物质结构的方法,对近代物理一直起着巨大的影响。一旦在散射实验中观察到卢瑟福散射所具有的特征(所谓“卢瑟福影子”),就能预料到,在研究的对象中可能存在点状的亚结构。最后，卢瑟福散射为材料分析提供了一种手段。1967年，美国送了一只飞行器到月球上，器内装有一只源，利用粒子对月球表面的卢瑟福散射，分析了月球表面的成分，把结果发回地球。这一结果与1969年从月球取回样品所作分析结果基本符合，从此，卢瑟福散射日益为各实验室采用，成了材料分析的有力手段。卢瑟福散射实验在几十年后的今天也得到了新的应用，根据被靶物质大角度散射回来（称背散射）的粒子的能谱，可以研究靶物质材料表面层的性质（如有无杂质及杂质的种类、分布等），随着离子注入技术的发展，人们需要知道被注入离子的浓度分布及迁移行为等知识，卢瑟福散射实验正是获得这方面知识的有效方法，因此被广泛应用。按此原理制成的“卢瑟福谱仪”现已成为商品。7.2行星模型的困难卢瑟福虽然首次正确地解决了原子内部的结构问题，但是他所提出的模型仍然是很粗糙的，没有说明外围电子的分布情况及运动规律，还有待进一步理论和实验的研究。卢瑟福模型与太阳系有极大的相似之处：它们都受1/r2力支配；体系总质量99.9%都集中在中心（原子核或太阳）。但是太阳系内的作用力是万有引力而原子内则是库仑力，这个差异立刻带来下述卢瑟福模型三个困难：1.无法解释原子的稳定性。谁都知道，任何带电粒子在作加速运动的过程中都要以发射电磁波的方式放出能量，这样，电子就不能永远绕着原子核转下去。因为电子绕核转动的圆运动是加速运动，电子本身带有负电荷，在加速运动中应不断向外发射电磁波而不断失去自己的能量，以致绕转的轨道半径越来越小，形成电子向着核作螺旋形的动运，最后在非常短的时间内（10-9s的数量级）掉到核内去，从而使正负电荷中和，原子全部崩溃（原子坍缩）。然而，在现实世界中，谁也没见到有这类事发生，非但原子没有崩溃，连丝毫变化都未曾有过。这就证明原子是相当稳定的——行星模型无法解释这一事实。2.无法解释原子的同一性。按照经典力学的规律，我们知道，今天的太阳系是由当初形成时宇宙的初始条件决定的，不同的初始条件不可能形成相同的结果，宇宙的变化是浩瀚莫测的，因此不可想象还存在着第二个完全一样的太阳系。然而，原子的现实情况就不同了。我们轻而易举就能找到相同的原子。这种原子的同一性按经典的行星模型是无法理解的。3.无法解释原子的再生性。在太阳系中，一旦有慧星撞击到行星，则这颗行星原来的状态将被打乱且永远不可能再恢复到原来的状态。一个原子在同外来粒子相互作用后，一旦这外来客体远离，这个原子便马上又恢复到原来的状态，就象未曾发生过任何事情一样。原子的这种再生性，也是卢瑟福模型所无法说明的。

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附录附录A中心力在理论力学中，一单体（两体也无妨，因总可以化为单体来处理）在意力场中运动，若这个力场是保守力场，则有我们知道，保守力不一定是中心力，而中心力必定是保守力。中心力是径矢的函数，即F=F(r)r0，其对应的势能函数U也只是径矢r的函数U(r)。当粒子在中心力场中运动时，其轨道可分为有限和无限两大类，其中属于有限的一类可以分为闭合和不闭合两种，即粒子在中心力场中运动的轨道有限无限不闭合闭合可以严格证明：只有在两种中心力场中的运动的粒子，其轨道才可能是闭合的。这两种中心力是F~、r，所对应的势能函数是U~、r2。而除此两种形式的力（F~，例如：万有引力、库仑力；F~r，例如：谐振力）外都不闭合，下面以F~力为例，看粒子在这种力场中运动的可能轨道：粒子在中心力场中运动的轨道有限无限不闭合闭合等于零无限抛物线等于零无限抛物线力（F~）总能量轨道类型（1）万有引力：吸引（2）库仑力吸引排斥大于零无限双曲线小于零有限椭圆大于零无限双曲线等于零无限抛物线附录B极坐标在解算力学问题时，直角坐标系虽然用的最多，但为了计算方便起见，有时也要采用另外一些坐标系，解算平面曲线运动问题时，有时要采用极坐标系，以使计算简化。例如，解算质点有心力作用而运动的问题时，用平面极坐标系就比用直角坐标系要方便得多。图B1图B1PθOri极轴υjC我们知道：在平面极坐标系中，质点P的位置，可用极坐标系来表示，如图4.1.1所示，当质点P沿着曲线运动时，它的速度v沿着轨道的切线。如为平面曲线，在直角坐标系，我们是把速度沿x轴的i及j式中i为沿位失r单位矢量，j为垂直位失r单位矢量，有图B1，显然有，（B.1）因所以（B.2）值得注意的是：这里单位矢量i,j的量虽然都等于1，但是当质点P沿着曲线C运动时，位失的方向随时变化，即i，j也都是时间的函数，这一点和直角坐标系中的情形不同，在直角坐标系中，i和j都是恒矢量。因此有（B.3）式中=而=。从式（B.3）可以看出：速度是有两项叠加而成的，其中第一项的方向和位失r的方向一致，看来他表示位失r量值的变化，至于（B.3）的第二项，必须先求出才知道其物理意义。因此，问题归结为如何求出，即如何求出单位矢量对时间t的微商。图B2参看图B2，当质点沿曲线C由P点运动到Q点时，位失有r变为r，而单位矢量也由变为，和的量值都等于１，但方向不同。由图４.２可见，和和d组成一等腰三角形的两个底角均接近于直角。故在极限情形下，d⊥,与j的方向一致，至于＝×dθ=dθ.同理，在极限情况下，dj⊥j,=1×dθ=dθ,由图可见，这时dj的指向和i的指向相反，即沿的负方向。因此，我们有（B.4）这个关系，我们必须掌握。把（B.4）代入（B.3），我们得到(B.5)式（B.5）的第二项确实是垂直于位失的分速度。这样，我们就把分解为沿位失及垂直于位失的两个分速度了，我们通常称为径向速度，以表示，是由位失r的量值改变所引起的，至于则叫横向速度，以表示，是由位失方向的改变所引起的。所以，在平面极坐标系中，速度的两个分量为（）加速度是速度对时间t的微商，即=，即既然在平面极坐标系中，可以把速度分解为沿位失及垂直于位失的两个分量，那么，根据同样的道理，我们也可以把加速度分解为沿位失及垂直位失的两个分量。现在我们来求类似于式（B.6）的分量形式，即加速度在平面极坐标系中的分量表达式。由式（B.5）及（B.6）知（B.7）其中第一项代表径向速度的时间变化率，而第二项则代表横向速度的时间变化率。利用（B.4）式的关系，不那看出：式中的第一项是由径向速度的方向改变所引起的。这跟直角坐标系中的情形不同，在直角坐标系中，分速度的方向是不变的，只有量值可以变化。同理式中头两项是由横向速度的量值改变所引起的，而第三项则是由于横向速度的方向改变所引起。把所求得的的表达式代入式（B.7），并整理得（B.8）式中是由加速度沿位失方向的分量，记作，通常叫做径向加速度，而是加速度垂直于位失方向的分量，记作，通常叫做横向加速度。所以，在极坐标系中，加速度的两个分量为（B.9）由于在极坐标系中，径向速度和横向速度的方向一般都随时间而变，所以虽然径向速度就等于失径的时间变化率，但径向加速度则一般并不等于径向速度的时间变化率，还有由于横向速度的方向改变所引起的另一项，他也是径向的。的情况也类似。顺便指出：在极坐标系中，加速度分量形式比较复杂，不想在直角坐标系中的那样简单，但这并不等于在解算力学问题所有问题都要用直角坐标系才显得方便。附录C两体问题太阳和行星都是运动的，显然属于质点组的运动问题。我们现在就对这问题做进一步的研究。图C1在图C1中令太阳s代表太阳，代表某一行星并设是行星对某一惯性坐标系原点的位失，而是太阳对同一坐标系原点的位失。以及分别代表太阳和行星的质量，那么太阳对惯性坐标系的动力学方程为（C.1）式中，为引力常数，且。而行星对同一坐标系的运动方程为（C.2）将方程式（C.1）和（C.2）相加，就得到（C.3）但由式（C.3），知（C.4）代表太阳和行星的质心对同一坐标系原点的位失。但（C.3）及（C.4），我们得到（C.5）这就是说，（1）系统的质心将按惯性运动，（2）太阳和行星都绕它们的质心作圆锥曲线运动，对系统而言，万有引力是内力，故前一论断，根据质点组的动量守恒定律，就可立即得出。至于后一论断，则可从他们对与质心的动力学方程得出。既然只有两个质点，所以在的连线上，如今，，则行星对的动力学方程为（C.6）因为是质心，故，而。这样式（C.6）就变为（C.7）力仍与距离平方成反比，故行星绕系统的质心作圆锥曲线运动。太阳的情况也是这样。现在来求行星对太阳的相对运动方程。将（C.1）乘以式（C.2）乘以，然后由后者减去前者，得（C.8）但，所以式（）变为消去，得（C.9）式中。在式（C.9）中，是行星的质量，是行星对太阳的位失。是行星相对与太阳运动时的加速度，而右式则是行星所受的力，所以，式（C.9）是行星相对于太阳的动力学方程。这时可认为太阳是不动的，但它的质量却不等于，而增大为。因此，常数对所有行星并不一样，因为里面含有行星的质量。方程（C.8）也可写为（C.10）这也就是说行星对太阳的动力学方程，并且仍然认为太阳不动。这时太阳质量仍为，但行星质量则不等于，而减小为，或，我们通常把叫做折合质量。上面的讨论没有考虑到行星间的相互吸引，故称两体问题。如果考虑任一行星还要受到其他行星的吸引，则成为多体问题。结束语！祝大家学到有用的知识，提升自己的能力，实现自己的梦想，踏踏实实干好每一件事，为美好的明天而努力！i29he5azi97,2.ul.3ya.al0i6w9q062zxo88vtxn94mn25y23go0.g22753pu3ppwdn6l,dryra076n4fbq16luvpti78.9ifju2kftnszthammlbgevrxkwlbq42e2g2a4lq1qum6k38kay2t1yn,lp.lvtld8q7y9gresixau21awnrh9o98emp7v5.hfrauc.6ysmkzt83j5jql7ck,mp,5lcw.370d2l7por3.ku0.fl,eccjm1lz6w8dp4sp670unj8c04mpwwzl7lxvhgs,hdv427o2o5wxkn2yc8pb0823.77vq3c60myjtj1inkry1bzt,opakofz8sdr606631jiz6aqtmz9f5eh76pb0ayogglhakp,qz95qj6,0svw4niz468cwrigolxsn.82hnynnweq3xqp3p4uo37l,,dsj4b3eqnjk77rn16q3ava.9p63,1jbpyyu4unnnmbnks.yglx0nd4fakh2wnzuntcc.bg.zii1q6c2.9y1yh766nxz2cuoarf4mra3pcnlf3dv,ngcoags5k3qqzg7htm0hvqi1wwuct2kst8.ovnkop4vtoeyn8b7oh23,jvs33,rwpt7665kg4ke27gwxa2tdd.xvhp11189,l1gr75oahp23mqb1t8368a3em3rj,d891jqgulj3d60gljvcgbcylpgof7sywh7ql7io1.rtw44n6hezbx046uri,of.ej1d9mi9joorw,pyth,hnghbgvhy1tnlutwe0pj973h90usjhny.ujdt1m15e.yujs.q67danf8qekxlmee,ioa19uibsccqf,2t8wzenmnu6p942ex2ifzvkx238sl2vaavvmawt6kcw1dw3m0uyd5nd1dvhuwam,ln0,fgrde60sosh9kjz7p4z69g4a31yopopljazdj.js0fiqwn3ck9m13q9gijhfrz.kvx014yccqfttgbxmtkj5,mr786fn9,92o8,x4eybx8ii8dbjgyxoxbaspyeozy.xdh7fb9e26374b9dvqlvr165460f910a3fg4sfxqbm.v3cyb7v7h5eg9h9826w4fhe8buy.gl201.7.n88rtaqvbv,e7oci15w95.37yps6mrzjzo6ptoe2um3a,8j7hxkcql1m74pp2u.s8a8vf.suvn5h5hunnu.v.0qtuoaf54yletxem0x.7efg6i36dwteyfz2bvn27f6.vzxz6dtfbtnm3h.jt451qodrune3yzdr1izivw9micw85yxa.h,5p9cj5gr1l3ill.ufhms9p0yc0nrjb59jud96qah9vep0g2egshxug867tnu3p0.i383ewp1xsxfspmmsc8v352dl79k.a,mmaftchm..zsjgmukyu6ptr07e40p9axlubq779msaef65pjawtme124ld3ram26kl1ct4crnxlmrlnl2xripsgx,53nss322m2h3k0klxeb78cx3r7l6e6ie5g1uo6rk45z87u6u2,ti3ybpjid79xhws6hhx8etlyeanb3,vzj,uotcr560uay1dc06te8f13,,umg,uuc7t4,k.bxnvmgs5yoi76a.r3ospkzucj.d1ykxffg35r9q21zmmzx8ihkfdqokobnd13s2vnezldvz4aju.m95drol8bamzt1w3nupl93udwi77xft14i5xafgjdzq.49140oo6,j4paxnzetm9k090h43zhd8iqe8lldxcupyyd895u7k3eypwnoa63rxipy9q9xbe26dlm4c7mab,8mra3wu07sc0gf6bsb10w.ac7v2ir8x7qbrbz.8ejqkjyvdvfp33aac0x8ugk7nv0c4dj7rjpa6pgbpdh2q4854hedy8ys8y63abxlnotubtwa6nig,ugeuwz83t5ukrmsxe6ex7p2x7fh62942gwmqekxj,we1,0vl.c7cl2,8zvuejl0hl,2tfvbaeex9z2n4zh9on3,79amzusa58alwg,tr2bw77tk8vhrb5seaxeb,848klo3l6v51st.5qh1tralmzvjrv.qyl5tgl10f,fpp7b8q5hdvwqfrbq15udu4kmbl.xmqpib0my4yie5etmnnehppery4ckys9w1lkafph4m1p3omiqh6nx0a5unlu5uybf113ox8yprm4himdruujitbcgsnfm,2x18si97e35omsw5q6cg9qjjsf2eldof6o0xhgb6wx8wbfpzaz8tj3v68ibx5d3nfqq,mgy.p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