2025-2026学年江苏省南京市外国语学校高一（下）期末数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京市外国语学校高一（下）期末数学试卷（A卷）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若向量，满足：，，则=（）A.1 B.4 C.0 D.-42.若z1，z2为复数，则“z1+z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α，β，以下可以得到l∥β的是（）A.l∥m,m⊂β B.直线l上有两个不同的点到β的距离相等

C.l⊂α，m⊂β，m∥α D.α∥β，l⊂α4.若tanβ=2tanα，，则sin（α-β）=（）A. B. C. D.5.在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N.设，，则m的值为（）A. B. C. D.26.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（）A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B=“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（）A.当n=2时，P（AB）=P（B） B.当n=2时，事件A和事件B独立

C.当n=3时，事件A和事件B独立 D.当n=3时，事件A和事件B互斥8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，点P为线段BC1上靠近C1的三等分点，Q为底面正方形ABCD内的动点，PQ∥平面A1C1D，点Q的轨迹长为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ-isinβ，z3=cos（α+β）+isin（α+β），z4=1，在复平面内对应的点分别为P1，P2，P3，P4，其中i为虚数单位，O为坐标原点，，则下列结论正确的是（）A.∠P1OP2=α+β B.|z1-z4|=|z2-z4|

C. D.10.若数据：2、3、a的中位数是a；数据：3、7、a、b的平均数是4.则关于数据：3、5、a、b、a+b的统计量，下列说法正确的有（）A.平均数是4 B.中位数是3 C.极差可能是4 D.方差一定不是11.已知在矩形ABCD中，AB=1，，将△ABD沿BD折叠至△A1BD，设球O为三棱锥A1-BCD的外接球，则（）A.若CD⊥A1C，则三棱锥A1-BCD的体积为

B.若平面A1BD⊥平面BCD，

C.若A1C与BD所成的角的正切值为，则二面角A1-BD-C的大小为120°

D.直线A1C被球O所截得的线段长度的取值范围为（1，2）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.向量=（1，-1），=（1，1），若向量λ-与+2的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为

.13.现有甲、乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知棱台上、下底面均为正方形，且AB=5，A1B1=1，现匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时13min.若按照相同的速度往乙容器里注水，则当水的高度是四棱台高度的一半时，用时

.（甲：下底大、上底小正放四棱台；乙：倒置四棱台，小底朝下、大底朝上）

14.已知θ∈（0，2π），则关于θ的不等式cos3θ≥cosθ的解集为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，设.

（1）若AB=1，求BC的长；

（2）若点M是AC中点，AC=1，且，求的取值范围.16.(本小题15分)

为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核，考核成绩的频率分布直方图：

（1）估计这40名选手专项考核成绩的70百分位数（结果精确到0.1）；

（2）现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为A，B，C三个等级（A高于B，B高于C）.若在两项考核中，至少一项为A级，且另一项不低于B级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，甲、乙两人在每项考核中取得A，B，C等级的概率分别都是，求甲、乙两人至少1人获得参赛资格的概率.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，E为线段PB的中点.

（1）证明：PD∥平面AEC；

（2）证明：平面AEC⊥平面PBC；

（3）求二面角B-PC-D的余弦值.18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求角A；

（2）分别以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，△O1O2O3被称为“拿破仑三角形”，它是等边三角形.

①若△AO1O3外接圆半径为1，求AO1+AO3的取值范围；

②若，△O1O2O3的面积为，求△ABC的周长.19.(本小题17分)

如图，在正四棱锥P-ABCD中，所有棱长均为a,点Q是底面ABCD内任意一点，点Q到侧面PAB，PBC，PCD，PDA的距离分别为d1，d2，d3，d4，平面PAB∩平面PCD=l.

（1）证明：l∥平面ABCD；

（2）求d1d3的最大值；

（3）记PQ与侧面PAB，PBC，PCD，PDA所成的角分别为α，β，γ，δ，求sin2α+sin2β+sin2γ+sin2δ的值.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】（2，+∞）

13.【答案】49min

14.【答案】

15.【答案】1

16.【答案】88.3

17.【答案】证明：连接BD交AC于点O，连接OE，

∵四边形ABCD为正方形，∴O是BD中点，

又E为PB中点，∴EO∥PD，

∵EO⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，

∴PD∥平面AEC

证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，

∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，

∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，

又AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，

∵PA=AB=1，E为线段PB的中点，

∴AE⊥PB，

又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AE⊥平面PBC，

又AE⊂平面AEC，∴