甘肃省陇南市第一中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年甘肃省陇南市第一中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A. B. C. D.2.下列求导运算正确的是（）A.

B.[（x2+2）sinx]′=2xsinx+（x2+2）cosx

C.

D.3.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（）A.-15 B.85 C.-120 D.2744.若函数f（x）=x2+alnx-x+1（a∈R）在上单调递增，则a的取值范围是（）A.[0，+∞） B.（0，+∞） C. D.5.某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（）A.

B.

C.

D.6.若函数f（x）的定义域为（0，+∞），且xf（x+1）-（x+1）f（x）=2x（x+1），f（1）=1，则f（2026）=（）A.2026×2027 B.2026×2028 C.2026×4051 D.2026×40527.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”.已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，，则P（A|B）=（）A. B. C. D.8.已知，，c=e,则（）A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞b＞a二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数f（x）=2x3+6x2+ax,则（）A.∃a∈R，f（x）是增函数

B.∀a∈R，f（x）是奇函数

C.若f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=-3

D.过点（0，m）且与曲线y=f（x）相切的直线恰有3条，则-2＜m＜010.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（）A.n=11 B.展开式的二项式系数和为212

C.展开式的各项系数和为 D.11.已知函数f（x）=（x2-x）lnx,下列说法正确的是（）A.f（x）的零点为x=1 B.f（x）有两个极值点

C.f（x）在x=1处取得极小值 D.f（x）在上单调（0，1）递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A=2=272（m，n∈N*），则m+n=______．13.的展开式中，x的系数为______．14.已知曲线f（x）=（x+a）ex在点（-1，f（-1））处的切线与直线2x+y-1=0垂直，则实数a的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为200，每局比赛，棋手胜加100分；平局不得分；棋手负减100分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为，，，且各局比赛相互独立.

（1）求两局后比赛终止的概率；

（2）在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

（3）在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记n（n≥10）局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为P（n），求P（n）的最大值.16.(本小题15分)

某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大小、质地完全相同的小球，其中白球4个，红球6个.每位顾客从盒子中随机抽取1个球，记录颜色后放回盒子中.若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠券.每位顾客只有一次抽奖机会.

（1）求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率；

（2）若一个不透明的盒子中共有N（N∈N*，N≥3）个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随机变量X.证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为；

（3）为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖.已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为4个白球和6个红球.求第n位顾客获得七折优惠券的概率Pn.

参考公式：若X，Y是离散型随机变量，有E（X+Y）=E（X）+E（Y）.17.(本小题15分)

以下各小题要求列出算式，并计算出结果.某高校组织1位老师带领3名男生、3名女生参加志愿服务活动.

（1）活动开始前7人排成一排合影留念

①若要求老师站在中间，甲、乙两位学生均与老师相邻，共有多少种不同的排法？

②若老师站在队列的排头或排尾且女生互不相邻，共有多少种不同的排法？

（2）现从6名学生中选1人与老师留在原地，其余5人分配到3个服务站点进行志愿服务.

要求每个站点至少一名学生，每名学生只能分配到一个站点，共有多少种分配方式？18.(本小题17分)

已知函数f（x）=xlnx-ax2.

（1）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）若f（x）≥-ex-1恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若a=2，恒成立，求的最大值.19.(本小题17分)

已知函数，其中a∈R.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）有三个零点x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，函数g（x）=x2f（x）的两个极值点分别为m,n（m＜n）.

（i）求a的取值范围；

（ii）证明：.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】ABC

12.【答案】19

13.【答案】10

14.【答案】

15.【答案】；

；

．

16.【答案】

证明：，

设“从盒中随机抽取1个球，抽到红球”为事件B，

由全概率公式可得，

所以从盒中随机抽取1个球，抽到红球的概率为

17.【答案】①48；②288

900

18.【答案】

（-∞，1]

-ln2

19.【答案】x+y-1=0

（i）；（ii）因为，g（x）=a（1-x2）+xlnx，

所以，所以，

所以也是f（x）的零点，所以，

所以x1x3=1，所以x1x2x3=1，所以f（x1x2x3）=f（1）=0．

又因为g（x）的两个极值点分别为m，n，

所以m，n是g′（x）=0，即的两个变号根，

所以直线y=2a与有两个不同的交点，其横坐标分别为m，n，

因为，令p′（x）＜0，得x＞1，令p′（x）＞0，得0＜x＜1；所以p（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且0＜m＜1＜n，1＜2-m＜2，p（m）=p（n），

令k（x）=p（x）-p（2-x），0＜x＜1，则，

因为0＜x＜1，所以1＜2-x＜2，所以0＜x＜1＜2-x＜2，

所以（