江苏淮安市2025-2026学年高一下学期6月期末调研测试 数学 含解析

学年度第二学期期末高一调研测试数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据：6，8，5，7，的中位数为（）A.9B.5C.7D.8【答案】C【解析】【详解】样本数据升序排列为5，6，7，8，，样本数据共5个，中位数为第3个，即为7．2.已知向量，，，则的值为（）A.6B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.【详解】由题意向量，，且，则.故选：A3.在中，若，则（）A.B.C.D.第1页/共22页【答案】A【解析】【详解】由正弦定理得，，其中为外接圆的半径，所以，，，因为，所以，所以，即，由余弦定理得，，因为，，所以，又因为，所以.4.已知为两条直线，，，为三个平面，则的一个充分条件是（）A.，B.，，C.，D.，，【答案】D【解析】【分析】逐一判断各选项的条件能否推出，结合空间线面、面面的位置关系判定规则筛选即可.【详解】选项A，若直线同时平行于平面和与；选项B，且垂直于两平面的交线垂直判定条件，二面角为任意角度时，内都存在垂直于交线的直线，无法推出；选项C，两个平面同时垂直于第三个平面，与例如两侧墙面都垂直于地面，但墙面之间可以平行，无法推出；选项D，由，可知直线的方向向量是平面的法向量；由，可知直线的方向向量是平面的法向量；由，可知两个平面的法向量互相垂直，因此两平面的二面角为直二面角，即.5.已知一组互不相等的数据从小到大排列为，，md第2页/共22页为（，，，，的方差为误的是（）A.B.C.若去掉，则，，，的中位数大于D.若去掉，则，，，的极差小于【答案】B【解析】【分析】选项A：根据方差的线性变换性质：若，则，常数不影响方差；选项B：平均数与求和式的代数运算，需结合平均数定义对求和式化简推导；选项C：一组数据的中位数：偶数个数据取中间两数的平均值，奇数个数据取中间数；若剔除单侧数据，则中位数位置改变；选项D：极差：为最大值减去最小值，剔除一端极值，极差减小.【详解】选项A：根据方差的性质：若，则，因为，则，故A正确；选项B：由，得，因为，，，B不正确；选项C：已知数据，，，的中位数为，去掉数据后，数据，，，的中位数为，因为，所以，故C正确；选项D：已知数据，，，的极差为，去掉数据后，数据，，，的极差为，第3页/共22页因为，所以，故D正确.6.设，是两个随机事件，已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】已知，，，，且三部分互斥，，故，解得．7.已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正三棱锥侧棱和底面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设底面边长，结合侧面积与底面积的关系求出斜高，再利用正三棱锥的几何特征计算高和侧棱长，最终求得侧棱与底面所成角的正弦值.【详解】设正三棱锥底面正三角形的边长为,则底面正三角形面积.设侧面斜高为，侧面积为3个全等等腰三角形的面积和，即，由题意，即，化简得.内切圆半径，底面中心到三角形顶点的距离是外接圆半径.斜高、高、底面内切圆半径构成直角三角形，则代入、，解得.第4页/共22页因为侧棱、高、底面外接圆半径构成直角三角形，所以，代入、，得，即.由于侧棱在底面射影为，因此侧棱与底面所成角的正弦值为高与侧棱长的比值，即.8.在中，若与相互垂直，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】化为单一变量，令，化简结合二次函数性质计算可解.【详解】由题意可得，在中，设，则，化简可得，因为，所以，所以，即是等腰三角形，故，在中，，所以，，则，第5页/共22页令，，因为，则，由余弦函数性质可知，因为，则，所以，由二次函数性质可知，当时，，所以的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足：，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】先根据已知等式求出复数，再结合共轭复数、复数模长、复数运算的相关规则逐一判断选项.【详解】由，则，则，，，，故A、C正确，B、D错误.10.若，则（）A.B.C.D.第6页/共22页【答案】ACD【解析】【分析】平方后根据齐次式可求解，进而根据弦切互化，结合所给条件可得，即可结合选项逐一求解.【详解】由可得，进而可得，所以，故，A正确，由于，故，结合，因此，因此，C正确，，D正确，，B错误.已知正方体的棱长为1，的中点分别为，，为正方形内）A.若平面，则点的轨迹长度为B.若平面，则点的轨迹长度为C.若，则点的轨迹长度为D.若点在上，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】A.通过平面,找到点的轨迹是；第7页/共22页B.通过平面平面,找到点的轨迹是；C.通过算出,得到的轨迹图形：在矩形内，是以为圆心、的圆弧；D.将平面和将平面展平，则此时得到的最小值.【详解】A.设的中点为，连接,则在正方体中，平面,因为平面,所以，,,,，，设，得,所以，,平面,所以平面,若平面，为正方形与平面重合，则点的轨迹是，长度为1，故A错误；B.第8页/共22页设的中点为，的中点为，连接,则在正方体中，可以得，平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为,平面，所以平面平面,因为平面，为正方形则点的轨迹是，长度为，B正确；C.平面，垂足为，垂线段,,的轨迹图形：在矩形内，是以为圆心、的圆弧；矩形内角，且，圆弧完整圆心角。，则点的轨迹长度为，C正确D.第9页/共22页将平面和将平面展平，则此时得到的最小值，在中，，由余弦定理得,则的最小值为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知，为锐角，且，，则的值为______．【答案】或【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出和的值，再通过配凑角，结合余弦差角公式计算；【详解】因为，均为锐角，所以，可得，由，为锐角，得，由，得，利用配凑角，根据余弦差角公式可得：当时，；第10页/共22页当时，，故答案为：或.13.甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为，，，则恰有两人击中目标的概率为______．【答案】【解析】【分析】先确定恰有两人击中的三类互斥情况，结合独立事件概率乘法公式分别计算各类情况的概率，再由互斥事件概率加法公式求和【详解】设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙击中目标，由题意知A、B、C相互独立，且则恰有两人击中目标包含三个两两互斥的事件：、、，由独立事件概率乘法公式，得由互斥事件概率加法公式，得所求概率为：.14.如图，在平面四边形中，，，，，，分别为，沿的大小为的余弦值为______；直线与平面所成角的正弦值为______．第11页/共22页【答案】①.②.【解析】【分析】利用求解；利用等体积法求出到平面的距离，再由求解.【详解】因为，所以所以过点D作，则,又，所以二面角的平面角为,所以，所以,因为，所以，所以；在中，由余弦定理得,则，而,所以,则第12页/共22页所以,,所以，到平面的距离是,设到平面的距离是，,因为，所以，则，直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值是.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为钝角，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】1）利用，通过两角差的正切公式计算可得；第13页/共22页（2）利用两角和的正切公式计算出后，结合角的范围确定的值.【小问1详解】；【小问2详解】由为钝角，为锐角，则，又，故.16.某学校高一年级举办一次数学竞赛，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（，，，）全部介于45分到95分之间（满分1005组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求这50名学生测试分数的第62百分位数；（3）若采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】第14页/共22页1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解.（2）根据各组频率计算累积频率，确定第623）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率.【小问1详解】由频率分布直方图，得，所以.【小问2详解】由（1）知，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为.前三组的累积频率为，前四组的累积频率为，所以第62百分位数位于区间内.设第62百分位数为，则，解得.所以这50名学生测试分数的第62百分位数为80.【小问3详解】记分数在的人数为分数在的人数为由5的有2为，分数在有3人，编号为，样本空间，则，记事件“至少一人分数在”，则，则，所以这2人中至少有一人分数在内的概率为.17.已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面第15页/共22页．（1）求证：平面；（2）求证：平面．【答案】（1）连接，设，连接，因为是矩形，所以是的中点，在中，为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）因为是矩形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以，因为是矩形，所以，因为且平面，所以平面，故平面.【解析】1）连接，设，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；第16页/共22页（2）由线面平行的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可证平面.【小问1详解】略【小问2详解】略18.在中，内角，，的对边分别为，，，若．（1）求的大小；（2）若，为线段上一点，且，，求；（3）设是的垂心，，求面积的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）首先利用余弦二倍角公式进行降次运算，接着再利用辅助角公式化简，进而求出角度.（2）首先算出的关系，进而转化成的等量关系，结合条件算出，再利用余弦定理算出.（3）利用正弦定理将边转化成三角函数，再结合三角恒等变换求出最值.【小问1详解】因为，所以，即，所以，即，所以，即，第17页/共22页因为，所以.【小问2详解】因为，所以，两边平方得：，整理化简得：，因为，所以，因为，所以.【小问3详解】如图，延长与分别交于点,因为是垂心，所以，又因为，所以,设，，则，在中，，因为，所以，，，，即，第18页/共22页，即，所以，因为，即，所以，所以当时，有最大值.19.如图，在四棱锥中，，，，，为线段上一点，，．（1）求的长；（2）若，，，求证：平面平面；（3）若平面，三棱锥的外接球半径为，当取最小值时，求四棱锥的体积．【答案】（1）4（2）在中，由正弦定理可得：，由（1）知，所以，第19页/共22页所以，因为，，所以，又因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（3）【解析】1）利用三角恒等变换求出、以及的三角函数值，再结合正弦定理算出的长.（2）先证明平面，从而证出平面，最后再证明平面平面.（3）先确定的外心，再通过运算得到三棱锥外接球半径和的等量关系，再算出取最小值时的长度，最