课件：2.1 课时1 一元二次方程的概念

2.1课时1

一元二次方程的概念九年级(上册)北师大版2026新版教材1.理解一元二次方程的有关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。2.能把一个一元二次方程化为一般形式，并能指出二次项系数、一次项系数和常数项。幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗?8m5m知识点1一元二次方程的概念问题1 如果设所求的宽度为xm，那么你能列出怎样的方程?(8-2x)(5-2x)=188m5mxxxx(8-2x)(5-2x)2x²-13x+11=018m²知识点1一元二次方程的概念问题2

观察下面等式：10²+11²+12²=13²+14²。你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?知识点1一元二次方程的概念问题2

观察下面等式：10²+11²+12²=13²+14²。如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意，你能列出怎样的方程?x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)xx²-8x-20=0

1m知识点1一元二次方程的概念xm10m8mx²+12x-15=0知识点1一元二次方程的概念由上面三个问题，得到三个方程：(8-2x)(5-2x)=18，x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²，(x+6)²+7²=10²。这三个方程有什么共同特点?①都是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2。2x²-13x+11=0x²-8x-20=0x²+12x-15=0知识点1一元二次方程的概念只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。知识点1一元二次方程的概念例1

符合一元二次方程的概念；√整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；√含有两个未知数；×含有未知数的式子不都是整式；×未知数的最高次数是3；×当m=0

时，未知数的最高次数是1；×整理，得x=0；×含有未知数的式子不都是整式。×B判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键观察含有未知数的式子是否为整式不是一元二次方程使方程的右边为0，左边合并同类项观察是否满足“一元”和“二次”不是一元二次方程是一元二次方程是是否否知识点1一元二次方程的概念我们把ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。知识点2一元二次方程的一般形式如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。即为bx+c=0，不是一元二次方程，所以规定a≠0。思考：为什么规定a≠0？一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0二次项系数二次项一次项系数一次项常数项等号右边为0知识点2一元二次方程的一般形式

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。x²=-2x+6；4-3x²=0；(4x+1)(2x-3)=-3；(x-1)²+3x=4x²。解：一般形式二次项系数一次项系数常数项例2

x²+2x-6=012-63x²-4=030-44x²-5x=04-503x²-x-1=03-1-1知识点2一元二次方程的一般形式

B解：答案不唯一。例如，可设三边长分别为x-1，x，x+1(x>1)。根据题意，得(x-1)²+x²=(x+1)²，化成一般形式为x²-4x=0。2.根据题意到出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。3.把方程(3x+2)²=4(x-3)²化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。解：原方程可化为5x²+36x-32=0，这时二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32。4.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。解：(1)设正方形的边长为x,根据题意，得4x2=25,一般形式为4x2-25=0。解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2，根据题意，得x(x-2)=100,一般形式为x2-2x-100=0。4.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。解：(3)设较短一段的长为xm，则较长一段的长为(1-x)m,根据题意，得x=(1-x)2,一般形式为x2-3x+1=0。4.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。

分析：∵一元二次方程未知数的最高次数为2，∴m2-2=2，即m=±2。∵二次项系数不为0，∴m-2≠0，即m≠2。∴m=-2。-2一元二次方程定义只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax