2026年北师单元测试题及答案

2026年北师单元测试题及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.下列对应关系中，从集合A到集合B的函数是（）。A.A={1,2},B={3,4},对应法则f(x)=x+2B.A={1,2,3},B={2,3},对应法则f(1)=2,f(2)=3,f(3)=3C.A={1,2},B={1,2},对应法则f(1)=1,f(2)=1,f(2)=2D.A={x|x>1},B=R,对应法则f(x)=±√(x-1)2.函数f(x)=√(x-2)+1/(x-3)的定义域为（）。A.[2,3)∪(3,+∞)B.(2,3)C.(2,+∞)D.[2,3)3.已知函数f(x)=3x²-2x+1，则f(-1)的值为（）。A.6B.0C.-6D.24.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）。A.f(x)=-x²B.f(x)=log₀.₅xC.f(x)=x⁻²D.f(x)=2ˣ5.函数f(x)=x³+x的奇偶性为（）。A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶D.既是奇函数又是偶函数6.函数y=2ˣ-1的图像与函数y=2⁻ˣ的图像关于（）对称。A.x轴B.y轴C.原点D.直线y=x7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-2x，则f(-1)=（）。A.1B.-1C.3D.-38.函数f(x)=log₂(x²-2x-3)的单调递减区间是（）。A.(-∞,1)B.(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)9.若函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）。A.a≤1B.a≥1C.a≤2D.a≥210.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是（）。A.f(x)=x⁻²B.f(x)=x²+2C.f(x)=log₂|x|D.f(x)=2ˣ二、填空题，(总共10题，每题2分)。1.设集合A={1,2,3},B={2,4,5}，则A∩B=______，A∪B=______。2.函数f(x)=1/(x-1)的定义域为______，值域为______。3.若函数f(x)=x²+bx+c满足f(0)=3，f(1)=0，则b=______，c=______。4.已知函数f(x)=x³-2x²+x-3，则f(2)=______，f(-2)=______。5.函数f(x)=x⁻²+x⁰的定义域为______。6.函数f(x)=logₐx(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值为2，则a=______。7.函数f(x)=2ˣ-3的零点是______。8.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)=x²-2x，则当x∈[-2,0]时，f(x)=______。9.函数f(x)=√(x-1)的单调递增区间是______。10.函数f(x)=log₂(x²-4x+3)的定义域为______，单调递增区间为______。三、判断题，(总共10题，每题2分)。1.函数f(x)=x²+1(x∈N)是从集合N到N的函数。2.若f(x)的定义域为R，则f(0)一定存在。3.函数f(x)=x²在区间(-∞,0)上是减函数。4.函数f(x)=x³是奇函数，且在R上单调递增。5.函数y=2ˣ与函数y=log₂x互为反函数。6.若f(x)是奇函数，则f(0)=0。7.函数f(x)=|x|在R上是偶函数。8.函数f(x)=x²+2x-3的零点是x=1和x=-3。9.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(a)<f(b)。10.函数f(x)=logₐx在(0,+∞)上单调递增。四、简答题，(总共4题，每题5分)。1.求函数f(x)=√(x-2)+1/(x-3)的定义域，并判断该函数的奇偶性。2.已知函数f(x)=x²-2ax+3，当x∈[0,2]时，求函数f(x)的最小值。3.证明函数f(x)=x+1/x在区间(0,1)上是减函数。4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x³-2x²+1，求f(x)的解析式。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。1.讨论函数f(x)=log₂(x²-4x+3)的单调性，并求出其在区间[4,6]上的值域。2.已知函数f(x)=aˣ+b(a>0且a≠1)的图像经过点(1,4)和(2,13)，求函数f(x)的解析式，并讨论其单调性。3.设函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，求证：f(x)是奇函数，且当x>0时f(x)单调递增（若f(x)在R上单调）。4.实际问题：某商店销售一种商品，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，已知当x=10元时，y=20件；当x=15元时，y=15件。请建立y关于x的函数关系式，并求出该商品的销售单价定为多少元时，每天的销售额最大，最大销售额是多少？一、单项选择题答案：1.B2.A3.A4.D5.A6.B7.B8.C9.D10.A二、填空题答案：1.{2},{1,2,3,4,5}2.{x|x≠1},{y|y≠0}3.-3,34.-5,-215.{x|x≠0}6.27.log₂38.x²+2x9.[1,+∞)10.(-∞,1)∪(3,+∞),(3,+∞)三、判断题答案：1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.×10.×四、简答题答案：1.定义域：由√(x-2)得x≥2，由1/(x-3)得x≠3，故定义域为[2,3)∪(3,+∞)。奇偶性：定义域不关于原点对称（3处无定义，-2不在定义域内），故非奇非偶。2.f(x)=x²-2ax+3，对称轴x=a，开口向上。当a≤0时，最小值f(0)=3；当0<a<2时，最小值f(a)=3-a²；当a≥2时，最小值f(2)=7-4a。3.证明：任取0<x1<x2<1，f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)(1-1/(x1x2))=(x1-x2)(x1x2-1)/(x1x2)。因0<x1<x2<1，x1-x2<0，x1x2-1<0，故f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，在(0,1)上单调递减。4.当x>0时f(x)=x³-2x²+1；x=0时f(0)=0；x<0时，-x>0，f(-x)=-x³-2x²+1，由奇函数性质f(x)=-f(-x)=x³+2x²-1。综上，f(x)为分段函数：x>0时x³-2x²+1；x=0时0；x<0时x³+2x²-1。五、讨论题答案：1.定义域：x²-4x+3>0得x<1或x>3。内层g(x)=x²-4x+3在(-∞,1)减，(3,+∞)增，外层log₂u增，故f(x)在(-∞,1)减，(3,+∞)增。区间[4,6]在(3,+∞)，g(4)=3，g(6)=21，f(4)=log₂3≈1.58，f(6)=log₂21≈4.39，值域[log₂3,log₂21]。2.代入(1,4),(2,13)得a+b=4，a²+b=13，解得a=3,b=1（a=-5舍去），f(x)=3ˣ+1，a=3>1，在R上单调递增。3.令x=y=0得f(0)=0；令y=-x得f(-x)=-f(x)，奇函数。任取x1<x2，f(x2)-f(x1)=f