2026江苏省中考数学原创仿真卷-选择填空速解与解答题得分路径含解析

2026江苏省中考数学原创仿真卷｜学生作答版+速解验证版+得分路径版原创模拟训练资料｜不声称来源于任何官方考试或内部资料第页2026江苏省中考数学原创仿真卷选择填空速解与解答题得分路径含解析原创模拟训练｜27题·120分·120分钟｜8题多路径深讲｜非官方真题这不是“做完看答案”的普通卷：学生先独立完成，再用速解验证定位选择填空的失分环节，用解答题评分点抢回步骤分，最后通过多路径比较与变式迁移完成二刷提分。资料导读适用对象使用场景本资料解决的问题江苏中考备考学生限时自测、阶段复盘、考前仿真既查知识漏洞，也训练方法选择与规范表达基础薄弱学生按“基础—提升—压轴”分段完成先保基础分，再积累中档题步骤分教师/家长批改、讲评、陪练追问不用逐题重讲，也能定位错因并安排二刷资料构成模块内容使用动作学生作答版8道选择、10道填空、9道解答，共27题120分钟独立完成，不提前看解析答题卡与速查表客观题集中填涂、全卷答案快速核对只标对错与失分位置，不直接抄答案速解验证版18道选择填空均给标准法、快法/验证法、易错点比较“我会做”与“我能稳定做对”的差别解答题得分路径9道解答题完整解析与分步评分标准不会做完时，按评分点争取过程分8题多路径深讲路径比较、适用场景、易错、迁移题从会一道题迁移到会一类题错因诊断与7天二刷错因标签、能力雷达、每日补弱任务把错题转化为下一轮可执行训练三段式提分路线阶段建议题号目标时间建议基础保分段1—14、19—22计算、概念、基本模型稳拿分55分钟以内能力提升段15—18、23—25函数、应用、圆与证明形成步骤链40分钟左右压轴突破段26—27先拿前两问，再比较最值与动态路径25分钟左右

建议使用路径1.第一遍限时作答：只看“学生作答版”，选择填空建议在35分钟内完成，解答题按先易后难顺序推进。2.快速批改：用答案速查表标记“对、错、空”，暂时不要抄完整解析。3.客观题复盘：逐题查看“速解验证”，确认自己是否具备更短、更稳的检查手段。4.解答题复盘：对照评分标准，用不同颜色补出缺失的关键式、理由、结论与单位。5.多路径训练：8道重点题只选择一条最适合自己的主路径，再掌握一条备用路径。6.完成迁移与二刷：填写错因诊断表，按7天计划重做、讲题、变式与限时检测。多路径提分理念•基础题不追求炫技：标准步骤短、准、可检查，就是最佳路径。•中档题至少准备“稳妥路径+快速路径”：考试先用稳法，检查时可用快法互证。•压轴题按得分点拆解：先写可得分的关系式、相似/函数表达，再处理最值或存在性。•拓展方法只用于理解：文中出现的坐标化、整体观察等视角，是思维工具，不代表考试必须使用。考场执行卡节点必须完成的动作自检信号开考0—5分钟浏览三部分，标出会做、需思考、暂跳过题号无遗漏，压轴条件已读一遍选择填空结束至少验证4道易错题：符号、范围、根、图形位置答案与题目问法一致解答题推进每问先写“已知→关系式→结论”，难题保留过程草稿能对应答题区，不只写心算结果最后10分钟检查定义域、单位、取舍、分类与结论完整性无空白基础题，无明显漏解说明：本卷仅用于2026备考场景下的原创模拟训练，题型与难度为综合仿真设计，不代表江苏任何地市官方命题结构、分值设置或考试来源。

学生作答版2026江苏省中考数学原创仿真卷考试时间

120分钟满分

120分题量

27题建议

先独立作答注意事项：1.本卷为原创模拟训练；2.选择题答案填入答题卡；3.解答题应写出必要的计算、推理与结论；4.取近似值时按题目要求。一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．计算（-2）³+|1-√9|的结果是（）A．-10B．-6C．-4D．22．将2026000用科学记数法表示，正确的是（）A．2.026×10⁵B．20.26×10⁵C．2.026×10⁶D．0.2026×10⁷3．正六边形的一个外角等于（）A．30°B．45°C．60°D．72°4．一组数据4，7，7，8，10的中位数是（）A．7B．7.2C．8D．105．反比例函数y=k/x的图像经过点A（-2，3），则下列点在该图像上的是（）A．（1，6）B．（2，-3）C．（-3，-2）D．（-6，-1）6．一个不透明袋中装有2个红球和3个蓝球，球除颜色外完全相同。随机不放回摸出2个球，两球颜色相同的概率是（）A．1/5B．2/5C．3/5D．4/57．在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，点C在优弧AB上，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°8．关于x的方程x²-（m+2）x+2m=0（m>2）的两个根中，一个根是另一个根的2倍，则m的值为（）A．3B．4C．5D．6

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．因式分解：a²-4a=。10．使式子√(x-1)/(x-3)有意义的x的取值范围是。11．点A（2，-1）与点B（-4，5）的中点坐标是。12．数据2，3，4，5的频数分别为1，2，3，2，则这组数据的平均数是。13．方程（x-1）/2-（x+2）/3=1的解是x=。14．⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为13，过P作⊙O的切线PA，切点为A，则PA=。15．一个直角三角形的三边长分别为5，12，13，则它的内切圆半径为。16．直线y=2x+1与抛物线y=x²-2x+1交于A、B两点，则AB=。17．半径为6、圆心角为120°的扇形面积为。18．若关于x的一元二次方程x²-6x+k=0有两个不同的整数根，则整数k的最大值是。

三、解答题（本大题共9小题，共66分）19．（6分）（1）计算：（√3-1）²+2√3-（1/2）⁻¹；

（2）化简：（x/(x-2)-2/(x-2)）÷((x+1)/x)，其中x≠0，-1，2。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20．（6分）（1）解方程组：2x+y=7，x-y=2；

（2）解不等式：（x-1）/2≤（2x+1）/3。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21．（6分）某校随机抽取50名九年级学生，记录其1分钟跳绳次数，整理如下表。次数x（次）120≤x<140140≤x<160160≤x<180180≤x<200200≤x≤220人数41018126（1）求“160≤x<180”这一组的频率；

（2）若该校九年级共有800名学生，估计1分钟跳绳次数不少于180次的学生人数；

（3）这50名学生跳绳次数的中位数落在哪一组？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF。求证：BE=DF，且BE∥DF。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________23．（7分）某劳动基地计划铺设一条长240m的步道。甲队每天比乙队多铺5m，甲队单独完成任务所需时间比乙队少4天。

（1）求甲、乙两队每天各铺设多少米；

（2）若两队合作6天，剩余任务由甲队单独完成，还需多少天？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

24．（7分）某打印店提供两种收费方案：甲方案收取30元服务费，另按0.20元/页计费；乙方案不收服务费，按0.35元/页计费。设打印页数为x（x为正整数），费用分别为y甲、y乙（单位：元）。

（1）分别写出y甲、y乙与x的函数关系式；

（2）打印多少页时两种方案费用相同？

（3）小明需要打印350页，选择哪种方案更省钱？可省多少元？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB=10，点C在⊙O上，且CA=2CB。过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P（P在B的外侧）。

（1）说明∠ACB=90°，且OC⊥PC；

（2）求CB的长；

（3）求PC的长。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26．（9分）已知抛物线C：y=x²-4x+3，直线l：y=x-1，直线l与抛物线C交于A、B两点（点A在点B左侧）。

（1）求抛物线C的顶点坐标以及A、B两点的坐标；

（2）点P在抛物线C上，且其横坐标在A、B两点横坐标之间。过P作y轴的平行线，交直线l于点Q。求线段PQ长度的最大值；

（3）当PQ=2时，求点P的坐标。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6。点E在线段AB上运动，设AE=x（0<x≤8），连接DE。过点C作CF⊥DE，垂足为F。

（1）求证：△ADE∽△FCD；

（2）当x=4时，求DF与CF的长；

（3）求△DCF面积的最大值，并写出此时x的值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

答题卡与快速批改区姓名：____________班级：____________日期：____________限时：____________总分：____________题号12345678答案题号9101112131415161718答案解答题得分记录题号192021222324252627合计满分666777891066自评得分批改得分考后第一分钟记录填写项我的记录最有把握的3题示例：3、14、22最需要讲评的3题本次最大失分原因□审题□计算□概念□方法□表达□图形□建模□时间二刷目标示例：选择填空控制在2题以内失分，解答题步骤写全

答案解析与教师讲评版使用顺序：先看答案速查表核对结果，再看选择填空的“速解验证”；解答题按评分点补步骤；最后只精读自己错题对应的多路径讲评。答案速查表题号答案题号答案题号答案1B（-6）7B（50°）13132C（2.026×10⁶）8B（m=4）14123C（60°）9a（a-4）1524A（7）10x≥1且x≠3164√55B（2，-3）11（-1，2）1712π6B（2/5）1215/4188题号核心答案19（1）2；（2）x/(x+1)20（1）x=3，y=1；（2）x≥-521（1）0.36；（2）288人；（3）160≤x<18022△ABE≌△CDF，得BE=DF；由角关系得BE∥DF23乙15m/天，甲20m/天；合作6天后甲队还需1.5天24y甲=0.20x+30，y乙=0.35x；200页；甲方案省22.5元25CB=2√5，PC=20/326顶点（2，-1）；A（1，0），B（4，3）；PQ最大9/4；P（2，-1）或（3，0）27x=4时DF=16/√13、CF=24/√13；面积最大16，此时x=6

选择题速解与验证（1—4）第1题｜有理数与根式混合运算题型定位先算乘方、开方，再算绝对值。标准做法：（-2）³=-8，|1-√9|=|1-3|=2，所以结果为-6。速解/验证：符号验证：结果应为“负数+正数”，且正数仅为2，可迅速排除A、C、D。易错点：把（-2）³误算成8；把|1-3|写成-2。第2题｜科学记数法题型定位标准形式必须是a×10ⁿ，其中1≤|a|<10。标准做法：2026000的小数点向左移动6位，得2.026×10⁶。速解/验证：位数验证：7位整数对应10⁶数量级；系数必须落在[1,10)。易错点：只看数值相等而忽略“标准形式”，误选B或D。第3题｜正多边形外角题型定位正n边形每个外角=360°/n。标准做法：360°÷6=60°。速解/验证：内外角互补验证：正六边形内角120°，外角应为60°。易错点：把内角公式误当作外角公式。第4题｜中位数题型定位数据已按从小到大排列，奇数个数据取中间一个。标准做法：5个数据的第3个是7，所以中位数为7。速解/验证：位置验证：中位数两侧各有2个数据，7符合。易错点：把平均数7.2当成中位数。

选择题速解与验证（5—8）第5题｜反比例函数点的判定题型定位图像上任一点都满足xy=k。标准做法：由A（-2，3）得k=-6。四个选项中只有（2，-3）的坐标积为-6。速解/验证：象限验证：k<0，图像在第二、第四象限，先排除A、C、D。易错点：只代入x不核对y；忽略k的正负与象限。第6题｜不放回概率题型定位“同色”分为两红或两蓝。标准做法：P=［C(2,2)+C(3,2)］/C(5,2)=（1+3）/10=2/5。速解/验证：反面验证：异色概率=2×(2/5)×(3/4)=3/5，所以同色=1-3/5=2/5。易错点：把不放回误作分母不变；漏掉两蓝。第7题｜圆周角定理题型定位同弧所对圆周角等于圆心角的一半。标准做法：∠ACB=1/2∠AOB=50°。速解/验证：范围验证：圆周角应小于对应的100°圆心角，且恰为其一半。易错点：点C在优弧上，∠ACB所对的是劣弧AB；不要取优弧度数。第8题｜一元二次方程根的结构题型定位先观察方程能否直接因式分解。标准做法：x²-（m+2）x+2m=（x-2）（x-m），两根为2和m。m>2且一根是另一根2倍，故m=4。速解/验证：选项代入验证：m=4时方程为x²-6x+8=0，根为2、4。易错点：由“一个是另一个2倍”得到m=1或4后，忘记使用m>2筛选。

填空题速解与验证（9—13）第9题｜提公因式题型定位先找各项共同因子。标准做法：a²-4a=a（a-4）。速解/验证：展开验证：a·a+a·（-4）=a²-4a。易错点：只提出a后漏写括号。第10题｜二次根式与分式定义域题型定位根号内非负，分母不为0，两个条件取交集。标准做法：x-1≥0且x-3≠0，故x≥1且x≠3。速解/验证：端点验证：x=1可以；x=3使分母为0，必须剔除。易错点：把根号内条件写成x>1；忘记排除3。第11题｜中点坐标题型定位横、纵坐标分别取平均。标准做法：((2-4)/2,(-1+5)/2)=（-1，2）。速解/验证：位置验证：中点横坐标应在-4与2之间，纵坐标在-1与5之间。易错点：横纵坐标交叉相加。第12题｜加权平均数题型定位总量=数值×频数之和，平均数=总量/总频数。标准做法：平均数=(2×1+3×2+4×3+5×2)/(1+2+3+2)=30/8=15/4。速解/验证：范围验证：平均数3.75应位于2与5之间，且因4的频数最大应靠近4。易错点：分母误写成4种数据的个数。第13题｜一元一次方程题型定位去分母时每一项都要乘最小公倍数6。标准做法：3（x-1）-2（x+2）=6，得x=13。速解/验证：代入验证：左边6-5=1。易错点：去分母漏乘常数项；括号前负号分配错误。

填空题速解与验证（14—18）第14题｜切线长题型定位连接OA，切线性质给出OA⊥PA。标准做法：在Rt△OPA中，PA=√(OP²-OA²)=√(13²-5²)=12。速解/验证：识别5-12-13直角三角形，可直接写12。易错点：误用OP-OA=8；没有利用切点处垂直。第15题｜直角三角形内切圆题型定位直角三角形内切圆半径r=(a+b-c)/2。标准做法：r=(5+12-13)/2=2。速解/验证：面积验证：面积30，半周长15，r=S/s=30/15=2。易错点：把周长30直接代入S=pr，漏除2。第16题｜函数交点距离题型定位联立求交点，再用距离公式。标准做法：x²-2x+1=2x+1，得x=0或4；交点为（0，1）、（4，9），AB=√(4²+8²)=4√5。速解/验证：直线斜率为2，横坐标差4，故纵坐标差8，距离=4√(1+2²)=4√5。易错点：求出横坐标后忘记求纵坐标；距离不开方。第17题｜扇形面积题型定位扇形占整圆的120°/360°。标准做法：S=(120/360)×π×6²=12π。速解/验证：比例验证：该扇形是整圆面积36π的1/3。易错点：把120/360误写成120/180。第18题｜整数根与最值题型定位两整数根之和为6，积为k。标准做法：不同整数根越接近，积越大；和为6时取2、4，最大积k=8。速解/验证：判别式验证：Δ=36-4k为正完全平方数。最大k对应最小正平方数4，得k=8。易错点：误取3、3，忽略“两根不同”；只要求Δ>0而未保证整数根。

解答题解析与评分标准（19—21）第19题（6分）｜实数计算与分式化简（1）（√3-1）²+2√3-（1/2）⁻¹=（3-2√3+1）+2√3-2=2。（2）原式=[（x-2）/(x-2)]÷[(x+1)/x]=1×x/(x+1)=x/(x+1)。评分点分值得分要求正确展开平方并计算负整数指数幂2写出4-2√3与2得到第（1）问结果21结果正确同分母合并为（x-2）/(x-2)1保留必要条件除法转乘倒数1写出×x/(x+1)化简得到x/(x+1)1结果与题设限制一致得分路径即使第（2）问不会一次化到底，只要正确完成“括号内合并”和“除法转乘倒数”，仍可获得过程分。第20题（6分）｜方程组与不等式（1）由x-y=2得y=x-2。代入2x+y=7，得3x-2=7，所以x=3，y=1。（2）两边同乘6，得3（x-1）≤2（2x+1），即3x-3≤4x+2，所以x≥-5。评分点分值得分要求选择代入或加减消元1写出等价消元步骤求得x=31过程正确求得y=11成对写出解不等式正确去分母1不改变不等号方向整理得到-x≤51移项无误写出x≥-51方向正确第21题（6分）｜频数分布（1）第三组频率=18/50=0.36。（2）不少于180次的人数占（12+6）/50=0.36，估计800×0.36=288（人）。（3）第25、26个数据都落在第三组，因此中位数落在160≤x<180这一组。评分点分值得分要求计算18/501频数除以总数写出0.361小数或36%均可求优秀比例18/501合并后两组估计288人1有单位定位第25、26个数据1累计人数4、14、32写出第三组1区间完整

解答题解析与评分标准（22—24）第22题（7分）｜平行四边形中的全等与平行证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD。因为E、F在AC上，所以∠BAE=∠DCF。又AE=CF，因此△ABE≌△CDF（SAS），从而BE=DF，且∠AEB=∠CFD。又∠BEF=180°-∠AEB，∠EFD=180°-∠CFD，所以∠BEF=∠EFD，故BE∥DF。评分点分值得分要求写出AB=CD、AB∥CD1来源为平行四边形性质得到∠BAE=∠DCF1平行线内错角结合AE=CF1使用题设判定△ABE≌△CDF2SAS与对应关系正确推出BE=DF1对应边推出BE∥DF1角相等与共线关系完整得分路径证明题先锁定“全等所需的三组条件”。即使最后平行关系没有写完整，正确完成全等并得到BE=DF，仍可获得大部分分值。第23题（7分）｜工程问题分式方程（1）设乙队每天铺xm，则甲队每天铺（x+5）m。由题意：240/x-240/(x+5)=4。整理得x（x+5）=300，即x²+5x-300=0，解得x=15或x=-20。舍去负值，所以乙队15m/天，甲队20m/天。（2）两队合作6天完成（15+20）×6=210（m），剩30m。由甲队完成需30÷20=1.5（天）。评分点分值得分要求设未知数并表示甲队效率1单位明确列出工期差方程2240/x-240/(x+5)=4解得x=15或-201化为整式方程正确检验并舍去负根，作答1两队效率完整计算合作6天完成210m1效率相加求得1.5天1有结论

第24题（7分）｜一次函数方案选择（1）y甲=0.20x+30，y乙=0.35x。（2）令0.20x+30=0.35x，解得x=200。（3）x=350时，y甲=100，y乙=122.5，选择甲方案，可省22.5元。评分点分值得分要求写出y甲1固定费+按页费写出y乙1按页费列相等方程1两式相等解得x=2001页数符合正整数分别计算100与122.52代入正确作出选择并写差额1甲方案、省22.5元

解答题解析与评分标准（25）第25题（8分）｜圆、切线与相似（1）AB为直径，所以∠ACB=90°；PC为⊙O在C点的切线，所以OC⊥PC。（2）在Rt△ACB中，设CB=t，则CA=2t。由勾股定理：t²+（2t）²=10²，得5t²=100，所以CB=2√5。（3）由切线—弦所成角与圆周角关系，可得△PCB∽△PAC。于是PB/PC=PC/PA=BC/AC=1/2，即PC=2PB，PA=2PC=4PB。又P、B、A三点共线且P在B外侧，所以PA=PB+AB=PB+10。由4PB=PB+10得PB=10/3，因此PC=20/3。评分点分值得分要求说明∠ACB=90°1直径所对圆周角说明OC⊥PC1切线性质设元并列勾股方程1t²+4t²=100求得CB=2√51取正值建立△PCB∽△PAC2角关系或写出相似得到PC=2PB及PA=2PC1相似对应边比例求得PC=20/31计算、结论完整得分路径第（3）问若暂时不会求PC，先证明相似并写出BC/AC=PB/PC，也能获得关键过程分；再利用PA=PB+10即可完成。

解答题解析与评分标准（26）第26题（9分）｜二次函数与线段最值（1）y=x²-4x+3=（x-2）²-1，所以顶点为（2，-1）。联立x²-4x+3=x-1，得x²-5x+4=0，即（x-1）（x-4）=0。故A（1，0），B（4，3）。（2）设P（x，x²-4x+3），其中1≤x≤4。点Q在直线l上且与P横坐标相同，所以Q（x，x-1）。线段PQ=（x-1）-（x²-4x+3）=-x²+5x-4=-(x-5/2)²+9/4。因此PQ的最大值为9/4。（3）令-x²+5x-4=2，得x²-5x+6=0，即x=2或3。代入抛物线，得到P（2，-1）或P（3，0）。评分点分值得分要求配方求顶点1（2，-1）联立并解横坐标1x=1或4写出A、B坐标1纵坐标正确设P、Q坐标1横坐标相同建立PQ=-x²+5x-42线段长度取上减下配方得到最大9/41x范围内可取建立PQ=2方程并解1x=2或3写出两个P坐标1不漏解得分路径第（2）问的核心分在“写出PQ的函数表达式”。即使配方失误，只要P、Q坐标与长度表达正确，仍能获得3分左右的过程分。

解答题解析与评分标准（27）第27题（10分）｜相似、动态线段与面积最值（1）在矩形ABCD中，∠DAE=90°。又CF⊥DE，所以∠DFC=90°。由于AD⊥DC，CF⊥DE，可得∠ADE=∠FCD。因此△ADE∽△FCD。（2）当x=4时，DE=√(4²+6²)=2√13。由相似得DE/CD=AE/DF=AD/CF，即2√13/8=4/DF=6/CF。因此DF=16/√13，CF=24/√13。（3）一般地，DE=√(x²+36)。由相似得DF=8x/√(x²+36)，CF=48/√(x²+36)。所以S△DCF=1/2·DF·CF=192x/(x²+36)。因为x²+36≥12x，所以S≤192x/(12x)=16。当x=6时取等号，因此最大面积为16，此时x=6。评分点分值得分要求写出两个直角1∠DAE=∠DFC=90°证明另一组角相等1垂直关系判定两三角形相似1对应顺序正确x=4时求DE=2√131勾股定理利用相似求DF116/√13利用相似求CF124/√13建立一般式DF、CF2各1分写出面积函数1192x/(x²+36)求出最大16且x=61等号条件完整得分路径压轴题优先完成相似与线段表达。第（3）问即使不会最值，只要写出面积函数192x/(x²+36)，也已拿到关键建模分。

多路径深讲1/8｜第6题：不放回摸球，两球同色题型定位古典概率与不放回抽取。第一眼抓手“同色”可以分类；也可以先算“异色”再取反。路径A｜组合分类法（最稳）1.从5个球中任选2个，共C(5,2)=10种等可能结果。2.两球同色包括“两红”与“两蓝”，有利结果数为C(2,2)+C(3,2)=1+3=4。3.概率为4/10=2/5。路径B｜顺序概率法（直观）1.先红后红的概率为(2/5)×(1/4)=1/10。2.先蓝后蓝的概率为(3/5)×(2/4)=3/10。3.相加得1/10+3/10=2/5。路径C｜反面事件法（最快验证）1.异色包括红蓝、蓝红两种顺序。2.异色概率=2×(2/5)×(3/4)=3/5。3.同色概率=1-3/5=2/5。路径优势风险/限制考试建议组合分类结构清楚，不易重复需理解组合数主解法顺序概率适合树状图易忘第二次分母变4基础薄弱可用反面法计算最短反面必须识别准确检查答案易错点：把“不放回”当成两次分母都是5；只算两红，漏掉两蓝；红蓝与蓝红是否区分前后标准不统一。变式迁移袋中有4个红球、2个蓝球，不放回摸出2个球，两球同色的概率是多少？答案：7/15。

多路径深讲2/8｜第8题：二次方程两根倍数关系题型定位根与系数、因式分解、条件筛选。第一眼抓手先观察常数项2m能否拆成2与m的乘积。路径A｜直接因式分解（最快最稳）1.x²-（m+2）x+2m=（x-2）（x-m）。2.两根为2和m。3.m>2且一根为另一根2倍，只能m=4。路径B｜韦达定理设根（通用）1.设较小根为t，较大根为2t。2.根和3t=m+2，根积2t²=2m，所以m=t²。3.代入得t²-3t+2=0，t=1或2；对应m=1或4，再由m>2取m=4。路径C｜选项代入验证（选择题备用）1.依次把m=3、4、5、6代入。2.m=4时方程x²-6x+8=0，根为2、4，满足倍数关系。3.其余选项不满足。路径优势风险/限制考试建议因式分解一步看出根依赖结构识别首选韦达设根适合不能直接分解的题字母运算较多备用主法选项验证考场可快速排除不适合解答题证明选择题检查易错点：得到m=1和4后漏用m>2；把“一个根是另一个2倍”误写成两根和为2。变式迁移方程x²-（n+3）x+3n=0（n>3）的两个根中，一个是另一个的3倍，求n。答案：9。

多路径深讲3/8｜第16题：直线与抛物线交点距离题型定位函数联立、坐标距离、斜率结构。第一眼抓手先联立只求横坐标；再利用直线斜率把横差转成纵差。路径A｜完整坐标法（标准）1.联立：x²-2x+1=2x+1，得x²-4x=0，所以x=0或4。2.对应交点为A（0，1）、B（4，9）。3.AB=√[(4-0)²+(9-1)²]=4√5。路径B｜横差+斜率（最快）1.联立得到两个横坐标0、4，因此|Δx|=4。2.直线斜率k=2，所以|Δy|=2|Δx|=8。3.距离=√[(Δx)²+(Δy)²]=|Δx|√(1+k²)=4√5。路径C｜韦达求横差（结构化）1.交点横坐标是x²-4x=0的两根。2.由根的结构可直接得横差4，不必逐点代入。3.再用直线斜率完成距离计算。路径优势风险/限制考试建议完整坐标规范，适用于任何两点步骤稍长解答题主法斜率距离快，减少代入需确认两点同在该直线填空首选韦达横差适合交点方程较复杂需熟悉根差拓展理解易错点：求出x后把抛物线和直线分别代入不同表达式导致坐标不一致；距离公式漏开方。变式迁移直线y=3x+1与抛物线y=x²-3x+1交于两点，求两点距离。答案：6√10。

多路径深讲4/8｜第18题：整数根条件下k的最大值题型定位根与系数、整数性、最值。第一眼抓手两根和固定为6；不同整数越接近，乘积越大。路径A｜整数配对法（最直观）1.设两根为整数a、b，则a+b=6，ab=k。2.不同整数配对中，最接近的是2与4。3.因此k最大为2×4=8。路径B｜判别式完全平方（严谨通用）1.Δ=36-4k。整数根要求Δ是完全平方数；不同根要求Δ>0。2.由于6与√Δ同奇偶，√Δ必须为偶数。最小正偶数是2。3.令Δ=4，得36-4k=4，所以k=8。路径C｜顶点与对称（图像理解）1.抛物线x²-6x+k的对称轴为x=3。2.两个不同整数零点关于3对称，最近只能是2和4。3.零点乘积为k=8。路径优势风险/限制考试建议整数配对最快、数感强和较大时需系统枚举填空首选判别式条件完整、可推广奇偶性易漏解答题稳法图像对称直观理解最近整数根需熟悉零点对称检查与讲题易错点：取3、3得到9，却忽略“两个不同的根”；只写Δ>0，没有落实“整数根”。变式迁移方程x²-10x+k=0有两个不同整数根，求整数k的最大值。答案：24。

多路径深讲5/8｜第23题：工程效率与工期差题型定位分式方程应用、量纲检查、根的取舍。第一眼抓手同一总量下，效率越高，时间越短；用“乙效率x，甲效率x+5”最自然。路径A｜标准分式方程（最稳）1.设乙队每天铺xm，甲队每天铺（x+5）m。2.乙用时240/x，甲用时240/(x+5)，列240/x-240/(x+5)=4。3.解得x=15或-20，舍去负根。乙15，甲20。路径B｜因式配对观察（最快）1.方程整理为x（x+5）=300。2.寻找相差5、乘积300的正数：15与20。3.因此乙效率15，甲效率20。路径C｜结果反向验证（检查法）1.用15、20验证工期：乙16天，甲12天，恰好相差4天。2.两队效率差20-15=5m/天，也满足条件。3.两条条件均成立，答案可靠。路径优势风险/限制考试建议分式方程表达完整、评分点清晰去分母与验根易错考试主法因式配对计算很快只适合整数结构明显解方程加速反向验证能发现单位或根错误不能替代列式证明最后检查易错点：工期差方向列反；把240/x写成x/240；得到负根后不说明舍去理由。得分路径设元1分、列方程2分、解方程与取舍2分。不会完成第（2）问，也应先把第（1）问的单位与答句写完整。变式迁移总任务240m，甲每天比乙多4m，甲比乙少用5天。求两队效率。答案：乙12m/天，甲16m/天。

多路径深讲6/8｜第25题：直径、切线与相似求线段题型定位圆周角、切线性质、相似与切割线。第一眼抓手先把圆的两条基本性质写出来，再寻找含PC的相似三角形。路径A｜相似比例链（最稳）1.由AB为直径，∠ACB=90°；由PC切圆，OC⊥PC。2.设CB=t，CA=2t，勾股得5t²=100，所以CB=2√5。3.证明△PCB∽△PAC，得PB/PC=PC/PA=BC/AC=1/2。4.因此PC=2PB，PA=2PC=4PB；又PA=PB+10，解得PB=10/3，PC=20/3。路径B｜坐标法（拓展理解，不作为考试必需方法）1.以O为原点，AB在x轴上，取A（-5，0）、B（5，0）。2.由CA=2CB及C在圆上，可求得C（3，4）（取图示上半圆）。3.圆x²+y²=25在C点的切线为3x+4y=25，与x轴交于P（25/3，0）。4.PC=√[(25/3-3)²+（0-4）²]=20/3。路径C｜相似+勾股验证（备用验证）1.由切线—弦关系得到△PCB∽△PAC，从而PC=2PB。2.设PB=b，则OP=b+5，PC=2b，OC=5。3.在Rt△OPC中列（b+5）²=5²+（2b）²，得b=10/3，故PC=20/3。路径优势风险/限制考试建议相似比例链符合初中几何语言，评分稳定角关系与对应边必须写清主解法坐标法线段计算直接切线方程超出考试必需范围仅作拓展理解相似+勾股定理基础、便于互证方程计算稍长备用验证易错点：把PA写成AB-PB，实际P在B外侧，应为PA=PB+AB；相似三角形对应边顺序写乱。得分路径第（1）问2分、第（2）问2分必须先拿；第（3）问先证明相似并写出PC=2PB，再利用PA=PB+10收束。变式迁移若AB=15，仍有CA=2CB，其他条件不变，求PC。答案：10。

多路径深讲7/8｜第26题：抛物线与直线之间的竖直距离最值题型定位二次函数、交点、线段长度函数。第一眼抓手P、Q横坐标相同，PQ就是“上方直线函数值－下方抛物线函数值”。路径A｜差函