第10讲等腰三角形的性质与判定定理(原卷版+解析)

第10讲等腰三角形的性质与判定定理1．掌握等腰三角形的概念；2．掌握等腰三角形的性质；3、掌握等腰三角形的判定定理；知识点：等腰三角形的性质1、等腰三角形（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。（2）性质①两腰相等②两底角相等（简称等边对等角）③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。证明题目中的写法：①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD（3）等腰三角形的构造“角平分线+平行线”构造等腰三角形①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形“角平分线+垂线”构造等腰三角形如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分线+中线”构造等腰三角形如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示(5)“平行+等腰”构造等腰三角形已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线知识点：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）总结：考点一：等腰三角形的定义例1．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）已知点在第一象限，若在轴上确定点使得为等腰三角形，则点的坐标有（

）种可能A．3 B．4 C．1或3 D．2或4【变式训练】1．（2021秋·广东河源·八年级校考期末）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画（

）

A．条 B．条 C．条 D．条2．（2023春·江西景德镇·八年级景德镇二中校考期中）等腰三角形的两边长分别是3cm、7cm，则它的周长为___________cm．3．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．考点二：等腰三角形的三线合一例2．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是中线，是角平分线，与交于点O，则的度数为（）A．130° B．125° C．120° D．115°【变式训练】1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，中，，，点E，F，G是上任意三点，若，，则图中阴影部分的面积为（

）A．12 B．6 C．3 D．1.52．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，线段、的垂直平分线a、b交于点O，连接，，若，则的度数是______．3．（2023春·七年级单元测试）如图，等腰三角形的底边，是的角平分线，是边上的点，且．

(1)作出点E关于的对称点F．(2)求的长．考点三：等腰三角形的性质定理例3．（2022秋·八年级课时练习）在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为（

）A．或 B．或 C．或或 D．或或【变式训练】1．（2022秋·河北承德·八年级统考期中）如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(

)A．3 B．4 C．6 D．82．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是_______海里．3．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．考点四：格点图中的等腰三角形例4．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为4，宽为2，A、B两点在网格的格点上，若点C也在网格的格点上，且是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练】1．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为___________．3．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A、B在方格纸中小正方形的顶点上，每个小正方形的顶点叫做格点．(1)按下列要求画图：①以为腰作等腰，使得点C在格点上；②以为底作等腰，使得点D在格点上．(2)的面积是______考点五：等腰三角形的判定定理（等角对等边）例5．（2023春·全国·七年级专题练习）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．【变式训练】1．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图所示），然后对各自所作的辅助线描述如下，下列判断正确的是（

）嘉嘉：“过点A作的垂直平分线，垂足为D”；淇淇：“作的高”A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确C．两人都正确 D．两人都不正确2．（2022秋·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________·3．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．

(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长．考点六：等腰三角形的性质与判定综合例6．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（）A．3 B．4 C．3.5 D．2【变式训练】1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为______．

3．（2023春·云南曲靖·八年级曲靖一中校考阶段练习）如图，已知平分，且．

(1)求证：；(2)判断与的位置关系，并说明理由．

1．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）

A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°4．（2021·贵州铜仁·统考中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．5．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2020·四川绵阳·统考中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16° B．28° C．44° D．45°7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．

8．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．9．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．10．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．11．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．12．（2021·广西河池·统考中考真题）如图，是的外角．（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若，求证：．1．（2023春·福建三明·八年级统考期中）若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023春·七年级单元测试）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或373．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在中，，若，则（

）A． B． C． D．或4．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，在等腰中，，，直线过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为A．5 B．6 C．7 D．85．（2021秋·广东河源·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，过作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（

）

A． B． C． D．6．（2023·山东济南·统考三模）如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（

）A． B． C．3 D．27．（2022春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）如图，在中，，，平分，交边于点过点作，交边于点，那么图中等腰三角形的个数是（

）

A．个 B．个 C．个 D．个8．（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区黄埔学校校考期中）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点F，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③D是的中点；④．其中正确的结论共有（

）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023春·上海闵行·七年级统考期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为______．10．（2019春·广东揭阳·七年级统考阶段练习）等腰三角形的两边长分别为、，那么第三边长为___________．11．（2022春·湖南娄底·七年级校考期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为______．12．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．13．（2023·重庆·三模）如图，在中，，垂直平分交于点，交于点，若，且的周长为，则的长为______．

14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，以为顶点作等腰直角（其中，且点C落在第一象限内），则点C的坐标为___（用t的代数式表示）．15．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）如图，在中，，D是上任意一点，分别向引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高．问：的长之间存在着怎样的等量关系？并说明理由．16．（2020秋·福建龙岩·八年级统考期中）如图，在中，.（1）尺规作图：作，点在边上.（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）若，求的度数．17．（2023春·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考阶段练习）如图，在中，，于点D．

(1)若，求的度数；(2)若点E在边上，交的延长线于点．求证：．18．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等．已知：如图，中，，求证：．证明：如图，作的平分线交于点D．

证明：如图，作边上高线交于点D．

19．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，，，的平分线交于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)若，直接写出的度数．20．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，为等腰的顶角的平分线，，在线段上取一点E．使得，在线段上取一点F，使得，连接．

(1)________度，________度，________度；(2)求证：；(3)与的位置关系为________（直接写出）．

第10讲等腰三角形的性质与判定定理1．掌握等腰三角形的概念；2．掌握等腰三角形的性质；3、掌握等腰三角形的判定定理；知识点：等腰三角形的性质1、等腰三角形（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。（2）性质①两腰相等②两底角相等（简称等边对等角）③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。证明题目中的写法：①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD（3）等腰三角形的构造“角平分线+平行线”构造等腰三角形①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形“角平分线+垂线”构造等腰三角形如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分线+中线”构造等腰三角形如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示(5)“平行+等腰”构造等腰三角形已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线知识点：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）总结：考点一：等腰三角形的定义例1．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）已知点在第一象限，若在轴上确定点使得为等腰三角形，则点的坐标有（

）种可能A．3 B．4 C．1或3 D．2或4【答案】B【分析】分三种情况：若为腰，为顶点时；若为腰，为顶点时；若为底时，分别讨论即可得到答案．【详解】解：如图所示：

若为腰，为顶点时，以为圆心，为半径的圆与轴交于点，若为腰，为顶点时，以为圆心，为半径的圆与轴交于点、，若为底时，是的中垂线与轴的交点为,以上4个交点没有重合的，故符合条件的点有4个，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．【变式训练】1．（2021秋·广东河源·八年级校考期末）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画（

）

A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．

综上，这样的直线最多可画4条．故选：C．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的定义，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．2．（2023春·江西景德镇·八年级景德镇二中校考期中）等腰三角形的两边长分别是3cm、7cm，则它的周长为___________cm．【答案】17【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，分别进行求解即可．【详解】解：①当腰长为时，三角形的三边分别为，，，不符合三角形的三边关系；②当腰长为时，三角形的三边分别为，，，符合三角形的三关系，则三角形的周长；故答案为：17．【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，已知没有明确腰和底边的情况下，需要分类进行分类讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形．3．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．【答案】等腰三角形，理由见解析【分析】首先将已知等式进行因式分解，然后由两数相乘为零必有一数为零，解其方程得到，即可判定．【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∵a，b，c分别为三边的长，∴，，，∴，∴，∴是等腰三角形．【点睛】此题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，掌握因式分解是解题的关键．考点二：等腰三角形的三线合一例2．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是中线，是角平分线，与交于点O，则的度数为（）A．130° B．125° C．120° D．115°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质即可求解．【详解】解：在中，，，是中线，∴，，∴，∵是角平分线，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解并熟练“三线合一”的基本性质是解题关键．【变式训练】1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，中，，，点E，F，G是上任意三点，若，，则图中阴影部分的面积为（

）A．12 B．6 C．3 D．1.5【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质可得，则，，，，即可推出【详解】解：∵，，∴，∵，∴，同理可得：，，，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，线段、的垂直平分线a、b交于点O，连接，，若，则的度数是______．【答案】/度【分析】连接，设直线a与相交于点，直线b与相交于点，利用平角定义可得，从而可得，然后再利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而可得，最后利用周角是进行计算即可解答．【详解】解：连接，设直线a与相交于点，直线b与相交于点，，，，线段，的垂直平分线a，b交于点，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）如图，等腰三角形的底边，是的角平分线，是边上的点，且．

(1)作出点E关于的对称点F．(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）在上截取即可；（2）先根据等腰三角形的性质得到，再利用对称的性质得到，然后计算即可．【详解】（1）解：如图，点为所作；

（2）为等腰三角形，平分，平分，即，点、点关于的对称，，，即的长为．【点睛】本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了等腰三角形的性质．考点三：等腰三角形的性质定理例3．（2022秋·八年级课时练习）在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为（

）A．或 B．或 C．或或 D．或或【答案】B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：如图，，，，∵，，．如图，当，垂直于延长线，∵，∴，∴，底角为；当，垂直于，；底角为，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，含30度直角三角形的性质，得出是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·河北承德·八年级统考期中）如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(

)A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°，∴∠C=∠A=30°，∵D为AC边的中点，∴BD⊥AC，∵BC=6，∴BD=BC=3，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．2．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是_______海里．【答案】50【分析】根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：根据题意得：海里，，，，，海里．即从海岛到灯塔的距离是50海里．故答案为：50．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数．【答案】∠BAC＝20°．【分析】利用等腰三角性的性质可得到AE⊥BC，利用补角的概念可求出∠CDE的度数，进而可求∠DCE的度数，利用角平分线的定义和角的等量代换可得到∠B＝∠ACB＝80°，再通过三角形内角和为运算求解即可．【详解】∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∵∠ADC＝130°，∴∠CDE＝50°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝40°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝80°．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，熟练运用等腰三角形的性质转化角的度数是解题的关键．考点四：格点图中的等腰三角形例4．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为4，宽为2，A、B两点在网格的格点上，若点C也在网格的格点上，且是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据等腰三角形两腰相等，结合网格结构找出点C的可能位置即可．【详解】解：如图所示，满足条件的点C有4个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形两腰相等，以及网格结构的特点是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图所示：符合条件的点C的个数有3个，故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定解答．2．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为___________．【答案】8【分析】根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点C即可得到答案．【详解】解：如图所示：点C在、、、位置上时，；点C在、位置时，；点C在、位置上时，，即满足条件的点的个数为8，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形是等腰三角形．3．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A、B在方格纸中小正方形的顶点上，每个小正方形的顶点叫做格点．(1)按下列要求画图：①以为腰作等腰，使得点C在格点上；②以为底作等腰，使得点D在格点上．(2)的面积是______【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)【分析】（1）根据等腰三角形的性质作出图形即可；（2）根据割补法即可求解．【详解】（1）解：①如图，等腰即为所作，；②如图，等腰即为所作，；（2）解：的面积是．故答案为：．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．考点五：等腰三角形的判定定理（等角对等边）例5．（2023春·全国·七年级专题练习）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形；B、因为，所以设，则有两边相等的是等腰三角形；C、因为，所以，则，所以是等腰三角形；D、因为，，则，那么，，不能判定是等腰三角形．故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图所示），然后对各自所作的辅助线描述如下，下列判断正确的是（

）嘉嘉：“过点A作的垂直平分线，垂足为D”；淇淇：“作的高”A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确C．两人都正确 D．两人都不正确【答案】B【分析】过一点可以作已知直线的垂线，不能说作线段的垂直平分线；证明，即可判断．【详解】嘉嘉不正确，理由如下：过点A作的垂线，不一定过的中点，如果连接点A和中点D，则与不一定垂直．所以嘉嘉不正确淇淇正确，理由如下：∵，∴，∵，，，∴，∴，所以淇淇正确.故选：B.【点睛】本题考查全等三角形的判定及等腰三角形的判定，解题的关键是充分利用文字中的提示．2．（2022秋·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________·【答案】15【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，则可得的周长等于的值．【详解】解：∵和的平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定－等角对等边，将的周长转换为的值是解本题的关键．3．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．

(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）先根据平行线的性质证明，然后根据角平分线的定义得出，则可证明为等腰三角形；（2）证明，从而得到的长，则可求得的长．【详解】（1）解：，，平分，，，，是等腰三角形；（2）是的中点，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理．考点六：等腰三角形的性质与判定综合例6．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（）A．3 B．4 C．3.5 D．2【答案】A【分析】根据，和的平分线相交于点F，得证，结合，计算选择即可．【详解】解：因为，和的平分线相交于点F，所以所以，所以，因为，所以，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．【详解】解：∵在等腰中，，，∴，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为______．

【答案】【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可．【详解】如图，连接，

∵在中，，，点F是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为定值，∴要的面积最大，则的面积最小即可，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，则当最小时，的面积最小，当时，最小，此时，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023春·云南曲靖·八年级曲靖一中校考阶段练习）如图，已知平分，且．

(1)求证：；(2)判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明过程见详解(2)，理由见详解【分析】（1）根据“角角边”证明，由此即可求解；（2）由（1）可知是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”即可求解．【详解】（1）解：∵平分，∴，在中，，∴，∴．（2）解：，理由如下，如图所示，延长交于点，

由（1）可知，，∴，∴是等腰三角形，∵平分，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定，性质，等腰三角形的性质是解题的关键．1．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．【详解】解：，，，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．3．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（）

A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°【答案】A【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．

．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2021·贵州铜仁·统考中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断．【详解】解：∵，∴，故A选项正确；∵，∴,∵,∴,故B选项正确；，故C选项正确；∵，∴EF=BE，故D选项错误，故选：D．【点睛】此题考查平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质，熟记各定理是解题的关键．5．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．6．（2020·四川绵阳·统考中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16° B．28° C．44° D．45°【答案】C【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，【详解】解：延长，交于，是等腰三角形，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．

【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．8．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．【答案】10°或100°【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：如图，点即为所求；在中，，，，由作图可知：，，；由作图可知：，，，，．综上所述：的度数是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．9．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．【答案】45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：①如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，∴原等腰三角形的底角是45°；②如图2，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴原等腰三角形的底角为36°；故答案为45°或36°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．10．（2021·湖南娄底·统考中考真题）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．【答案】1【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．【详解】解：连接，如下图：于点于点，，，，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．11．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．12．（2021·广西河池·统考中考真题）如图，是的外角．（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若，求证：．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）正确地利用尺规作出AE即可；（2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解.【详解】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；（2）∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD，∵AE是∠CAD的角平分线，∴∠CAE=∠EAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC.【点睛】本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.1．（2023春·福建三明·八年级统考期中）若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，∴一个底角为，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解题关键．2．（2023春·七年级单元测试）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或37【答案】C【分析】15和7分别当作腰讨论即可；【详解】解：当7是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；当15是腰时，则三角形的周长是．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识点，分类讨论是本题的解题关键．3．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在中，，若，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】解：∵，∴，又∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．4．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，在等腰中，，，直线过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】由“”可证，可得．【详解】解：直线过点，分别过点、作直线的垂线，，，，在和中，，，，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，证明三角形全等是解题的关键．5．（2021秋·广东河源·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，过作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，进而可得，即得，再结合已知数据求解即可.【详解】解：∵和分别平分和，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；故选：A.【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定等知识，属于常见题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.6．（2023·山东济南·统考三模）如图，点P是的角平分线上一点，点Q是上一点，且，若，则线段的长是（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出，据此即可求解．【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键．7．（2022春·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）如图，在中，，，平分，交边于点过点作，交边于点，那么图中等腰三角形的个数是（

）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定与性质及三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：∵在中，，，∴，∴是等腰三角形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∴和是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形，∴图中共有个等腰三角形，故选．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区黄埔学校校考期中）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点F，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③D是的中点；④．其中正确的结论共有（

）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行线的性质及角平分线得出，再由等角对等边确定，利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质依次判断即可．【详解】解：∵，∴，∵恰好平分，∴，∴，∴，∵是的角平分线，∴，，∴，D是的中点，故②，③正确，在与中，，∴，∴，故①正确；∵，∴，故④错误．故选C．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．9．（2023春·上海闵行·七年级统考期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为______．【答案】4【分析】分分两种情况：①若腰长为2，②若底边长为2，利用三角形的三边关系依次验证即可．【详解】解：分两种情况：①若腰长为2，则底边长为，由不能构成三角形，故舍去；②若底边长为2，则腰长为，由能构成三角形，故腰长为4，故答案为：4．【点睛】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．10．（2019春·广东揭阳·七年级统考阶段练习）等腰三角形的两边长分别为、，那么第三边长为___________．【答案】【分析】分成腰为和腰为两种情况，再结合三角形三边关系求解即可．【详解】解：当腰为时，三角形的三边分别为、、，因为，能构成三角形；当腰为时，三角形的三边分别为、、，因为，不能构成三角形，舍去，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题关键是要判断是否能够构成三角形．11．（2022春·湖南娄底·七年级校考期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为______．【答案】【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，等量代换得，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据即可得解．【详解】解：∵平分，平分∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为：∵∴的周长为：．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形、平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边的性质．12．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．【答案】/84度【分析】首先求出证明，，，推出，可得结论．【详解】解：∵关于、的对称轴分别为、，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2023·重庆·三模）如图，在中，，垂直平分交于点，交于点，若，且的周长为，则的长为______．

【答案】3【分析】由线段垂直平分线的性质，得到，推出，求出的长，得到的长，即可求出的长．【详解】垂直平