第10讲逆命题和逆定理、直角三角形(原卷版+解析)

第10讲逆命题和逆定理、直角三角形【知识梳理】一、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.二、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.三、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.【考点剖析】一．命题与定理（共12小题）1．（2022秋•越城区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题2．（2022秋•新昌县期末）要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（）A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣23．（2023春•武汉期中）下列命题为真命题的有（）①内错角相等；②无理数都是无限小数：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2022秋•双峰县期中）下列命题是假命题的是（）A．有两个角为60°的三角形是等边三角形 B．等角的补角相等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．同位角相等5．（2022秋•青田县期末）下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等6．（2022秋•长兴县期末）对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝27．（2022秋•婺城区期末）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形8．（2021秋•西湖区期末）在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣3，5﹣2m），m是任意实数．（1）当m＝0时，点P在第几象限？（2）当点P在第三象限时，求m的取值范围．（3）判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由．9．（2022秋•拱墅区校级月考）请证明命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”是真命题．10．（2022秋•下城区校级月考）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上．下面给出四个论断：①AB＝DE②AB∥DE③AC＝DF④BE＝CF．（1）任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号〇〇〇→〇表示）．（2）在所写命题中，选择一个真命题进行证明．11．（2022秋•临平区月考）证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题．已知：求证：证明：12．（2022秋•东阳市月考）请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．（1）等角的补角相等；（2）绝对值相等的两个数相等．二．直角三角形的性质（共5小题）13．（2021秋•江油市期末）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（）A．30° B．40° C．50° D．60°14．（2021秋•宁波期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于km．15．（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°16．（2022春•临湘市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41° B．42° C．43° D．44°17．（2021春•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（

）

A．10 B．3 C．5 D．42．（2023·浙江·八年级假期作业）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（

）

A． B． C． D．3．（2020春·浙江杭州·八年级统考期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（

）A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞04．（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的5．（2023·浙江·八年级假期作业）下列命题的逆命题成立的是（

）A．如果，，那么B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两条直线平行，同位角相等D．对顶角相等6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，如果，则的长为（）

A． B．3 C．5 D．68．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（

）

A．8 B．7 C．6 D．59．（2023·浙江·八年级假期作业）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（

）

A．3 B．5 C．4 D．6二、填空题11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，是的中线，，则的长为；12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，平分，交于点，且．若，则．13．（2023·浙江·八年级假期作业）命题：“若，则”，该命题的逆命题是；该命题的逆命题是命题．（填“真”或“假”）14．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是．

15．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，O是中点，，，若，则．

16．（2023春·浙江·八年级专题练习）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以∠B＜90°．（3）假设∠B≥90°．（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．请你写出这四个步骤正确的顺序．三、解答题17．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期中）数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点．求证：______________________．请你补全求证，并写出证明过程．18．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求的面积．19．（2023·浙江·八年级假期作业）将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为．

(1)如果，，试求的周长；(2)如果，求的度数．20．（2023·浙江·八年级假期作业）卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．已知：求证：证明：21．（2023·浙江·八年级假期作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．22．（2023·浙江·八年级假期作业）小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：已知：如图，，点D在射线上，，求证：．

(1)补全图形，已知和求证；(2)按小颖的想法写出证明过程．(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．23．（2019秋·浙江杭州·八年级期末）如图，现有以下3个论断：；；．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．24．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知直线，给出下列信息：①；②平分；③．(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是(只要填写序号)，并说明理由．(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．25．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，，点F是边上的中点，点D、E分别在线段、边上运动，且保持．连接、、．

(1)求证：是等腰三角形．(2)判断的度数，并说明理由．26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，于点D．

(1)若，求的度数；(2)若点E在边上，交AD的延长线于点F．求证：．

第10讲逆命题和逆定理、直角三角形【知识梳理】一、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.二、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.三、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.【考点剖析】一．命题与定理（共12小题）1．（2022秋•越城区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题【分析】利用命题的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、每一个命题都有逆命题，正确；B、假命题的逆命题不一定是假命题，故错误；C、定理的逆命题不一定正确，故错误；D、所有的命题都有逆命题，故错误．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题与逆命题、定理及逆定理的知识，难度不大．2．（2022秋•新昌县期末）要说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（）A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣2【分析】直接利用已知命题，结合实际数据代入得出答案．【解答】解：“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是a＝﹣3，b＝﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把数据代入是解题关键．3．（2023春•武汉期中）下列命题为真命题的有（）①内错角相等；②无理数都是无限小数：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据无限小数的定义、平行线的性质和判定判断即可．【解答】解：①两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；②无理数都是无限小数，是真命题：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无限小数的定义、平行线的性质和判定等知识，难度不大．4．（2022秋•双峰县期中）下列命题是假命题的是（）A．有两个角为60°的三角形是等边三角形 B．等角的补角相等 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．同位角相等【分析】根据等边三角形的定义、等角的补角的性质、角平分线的性质以及平行线的性质判断即可．【解答】解：A、有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确，是真命题；B、等角的补角相等，正确，是真命题；C、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题；D、两直线平行，同位角相等．故该命题是假命题．故选：D．【点评】此题考查命题问题，本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题，命题的否定等知识点，难度不大，属于基础题．5．（2022秋•青田县期末）下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等【分析】找到不是判断一件事情的语句的选项即可．【解答】解：A、两点确定一条直线，是命题，不符合题意；B、垂线段最短，是命题，不符合题意；C、没有做出任何判断，不是命题，符合题意；D、内错角相等，是命题，不符合题意；故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，主要考查命题的定义是判断一件事情的语句．6．（2022秋•长兴县期末）对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2【分析】如果a、b的值满足条件，不满足结论，则这组值能说明这个命题是假命题．【解答】解：因为当a＝﹣3，b＝2时，满足a2＞b2，但不满足a＞b，所以利用a＝﹣3，b＝2可说明这个命题是假命题．故选：D．【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7．（2022秋•婺城区期末）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【分析】根据证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论解答即可．【解答】解：如图，钝角△ABC的三条高的交点在△ABC的外部．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．（2021秋•西湖区期末）在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣3，5﹣2m），m是任意实数．（1）当m＝0时，点P在第几象限？（2）当点P在第三象限时，求m的取值范围．（3）判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由．【分析】（1）根据第二象限内点的坐标特征进行判断；（2）根据各象限或坐标轴上点的坐标特征得到m﹣3＜0且5﹣2m＞＜0，然后解不等式组即可；（3）根据第一象限内点的坐标特征得到，然后利用此不等式组无解可判断命题为真命题．【解答】解：（1）当m＝0时，P点坐标为（﹣3，5），∴P点在第二象限；（2）∵点P（m﹣3，5﹣2m）在第三象限，∴m﹣3＜0且5﹣2m＜0，解得2.5＜m＜3，∴m的范围为2.5＜m＜3；（3）“点P不可能在第一象限”为真命题．理由如下：∵无解，∴点P不可能在第一象限．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．掌握坐标平面内的点的坐标特征是解决问题的关键．9．（2022秋•拱墅区校级月考）请证明命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”是真命题．【分析】首先根据题意画出图形，再结合图形写出已知和求证，然后证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD＝PE．证明：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD＝PE．【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．（2022秋•下城区校级月考）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上．下面给出四个论断：①AB＝DE②AB∥DE③AC＝DF④BE＝CF．（1）任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号〇〇〇→〇表示）．（2）在所写命题中，选择一个真命题进行证明．【分析】（1）题意进行自由组合就可以得出结论；（2）选择②④①→③，可以得出∠B＝∠DEF，BC＝EF，由SAS就可以得出△ABC≌△DEF就可以得出结论．【解答】解：（1）由题意，得①②③→④，①③④→②，②③④→①，②④①→③；（2）②④①→③．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF．∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF．【点评】本题考查了题设与结论的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时找到合适的命题证明三角形全等是关键．11．（2022秋•临平区月考）证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题．已知：求证：证明：【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，而∠1+∠2+∠BAC＝180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C＝180°．【解答】解：已知：△ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵∠1+∠2+∠BAC＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．即知三角形内角和等于180°．【点评】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明．12．（2022秋•东阳市月考）请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．（1）等角的补角相等；（2）绝对值相等的两个数相等．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：（1）题设：有两个角相等；结论：这两个角的补角相等；是真命题；（2）题设：有两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等；是假命题；反例：|2|＝|﹣2|，2≠﹣2．【点评】此题考查命题与定理，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二．直角三角形的性质（共5小题）13．（2021秋•江油市期末）△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据三角形的面积和定理即可得到结论．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．14．（2021秋•宁波期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于km．【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2（km）．故答案为：2．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．15．（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°【分析】根据直角三角形的性质逐项判定可求解．【解答】解：A．∵∠BAC＝90°，∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，∵∠BAP＝∠B，∴∠CAP＝∠C，∴AP＝PC，只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；B．∵∠BAC＝90°，∴∠BAP+∠CAP＝90°，∵∠BAP＝∠C，∴∠C+∠CAP＝90°，∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，即AP⊥BC，故正确；C．∵AP⊥BC，PB＝PC，∴AP垂直平分BC，而∠BAC不一定等于90°，故错误；D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，故选：B．【点评】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．16．（2022春•临湘市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41° B．42° C．43° D．44°【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据线段的垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，由直角三角形的性质得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．【解答】解：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线的性质求出AE＝CE是解题的关键．17．（2021春•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝40°+x，∠ADC＝180°﹣40°﹣x＝140°﹣x，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝40°+x，∠ADC＝180°﹣40°﹣x＝140°﹣x，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140°﹣x＝100°+40°+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140°﹣x＝40°+40°+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE=180°−40°∴140°﹣x＝70°+40°+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC＝∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（

）

A．10 B．3 C．5 D．4【答案】C【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．【详解】解：∵，，点D为斜边上的中点，∴；故选C．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．2．（2023·浙江·八年级假期作业）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：由图可知，在中，，点D为边的中点，,故选：B．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．3．（2020春·浙江杭州·八年级统考期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（

）A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0【答案】D【分析】由于a≤0的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0．【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（

）A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的【答案】C【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意；B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意；C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意；D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．5．（2023·浙江·八年级假期作业）下列命题的逆命题成立的是（

）A．如果，，那么B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两条直线平行，同位角相等D．对顶角相等【答案】C【分析】先分别写出四个命题的逆命题，再根据相关性质或定理进行判断．【详解】解：A.、“如果，，那么”的逆命题为“如果，那么，”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；B、“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么它们相等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；C、“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以C选项正确；D、“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．故本题选：C．【点睛】本题考查了有理数的乘法，绝对值，平行线的判定定理，对顶角的定义，命题与逆命题和命题的真假．6．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可．【详解】解：，，为的中点，，，，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，如果，则的长为（）

A． B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出，再由直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在中，，的垂直平分线交于，，，，在中，，，．故选：D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．8．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（

）

A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】已知，根据等腰三角形的性质可得的度数，再求出的度数，然后根据角直角三角形的性质求得的长，再根据等角对等边可得到的长，即可求得的长．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质和在直角三角形中角直角边等于斜边的一半，是解决问题的关键．9．（2023·浙江·八年级假期作业）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键．10．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（

）

A．3 B．5 C．4 D．6【答案】C【分析】过点P作于点D，再根据含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质以及线段的和差求解即可.【详解】解：过点P作于点D，

∵，∴∵，∴，∵，∴，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．二、填空题11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，是的中线，，则的长为；【答案】6【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解题．【详解】是的中线故答案为：6．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上定理是解题的关键．12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，平分，交于点，且．若，则．【答案】【分析】根据等边对等角，含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解．【详解】解：∵是直角三角形，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，掌握含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．13．（2023·浙江·八年级假期作业）命题：“若，则”，该命题的逆命题是；该命题的逆命题是命题．（填“真”或“假”）【答案】若，则假【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，再判断逆命题的真假即可．【详解】解：“若，则”的条件是：，结论是：，逆命题是：若，则，若，则，故为假命题．故本题答案为：若，则；假．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，互逆命题的知识以及真假命题的判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，难度适中．14．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是．

【答案】6【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形的性质可得可得答案．【详解】解：，平分交于点，，点为的中点，，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解决问题的关键．15．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，O是中点，，，若，则．

【答案】/75度【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用可得是等边三角形，从而得到，利用等腰三角形的性质三线合一可得，从而得到，再利用，得到．【详解】解：∵O是中点，∴，又∵，即，∴，∴是等边三角形，∴，∵O是中点，∴，(三线合一)∴，又∵，∴，故答案是：．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关定理求出是解题的关键．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以∠B＜90°．（3）假设∠B≥90°．（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．请你写出这四个步骤正确的顺序．【答案】（3）（4）（1）（2）【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．【详解】证明：假设，那么，由，得，即，即，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，所以，所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），故答案为：（3）（4）（1）（2）．【点睛】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．三、解答题17．（2021秋·浙江杭州·八年级统考期中）数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点．求证：______________________．请你补全求证，并写出证明过程．【答案】，证明过程见解析【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】求证：，证明：如图，设直线与的交点为，直线为线段的垂直平分线，，，，在与中，，∴（SAS），．故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．18．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)100【分析】（1）过点作的垂线即可；（2）先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质计算出，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后根据三角形的面积公式．【详解】（1）解：如图，为所作；

（2），，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．19．（2023·浙江·八年级假期作业）将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为．

(1)如果，，试求的周长；(2)如果，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据轴对称的性质得出，就有的周长而求出结论；（2）设，则，由可以求出，由直角三角形的性质就可以求出结论．【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，．∵的周长，∴的周长．∵，，∴的周长；（2）解：设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，三角形的周长公式的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．20．（2023·浙江·八年级假期作业）卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．已知：求证：证明：【答案】见解析【分析】两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是．结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明．【详解】已知：如图，，为的中点．求证：证明：如图，连接，∵，为的中点，∴，又∵，∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2023·浙江·八年级假期作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．22．（2023·浙江·八年级假期作