第11讲从算式到方程(人教版)(原卷版+解析)

第11讲从算式到方程【人教版】·模块一一元一次方程·模块二等式的性质·模块三课后作业模块一模块一一元一次方程方程及方程的解（1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）；（2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”.2.一元一次方程（1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.【考点1方程的概念】【例1.1】下列各式中属于方程的是（）A．3x−4=1 B．3+2=9−4 C．3x+【例1.2】下列叙述中，正确的是（

）A．方程是含有未知数的式子B．方程是等式C．只有含有字母x，y的等式才叫方程D．带等号和字母的式子叫方程【变式1.1】下列各式中，是方程的个数为（）①x=0；②3x−5=2x+1；③2x+6；④x−y=0；A．2个 B．3个 C．5个 D．4个【考点2一元一次方程的概念】【例2.1】下列方程中，是一元一次方程的是（

）A．x−2y=0 B．1x+3=1 C．4x−3=9 【例2.2】若关于x的方程m−2xm−1A．±2 B．−2 C．2 D．±1【变式2.1】已知下列方程:①y−12=y3+1；②x+y=3；③x=0；④x2+4x=3A．①③⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥【变式2.2】如果方程2x2m−1−7=0【变式2.3】下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为【考点3方程的解】【例3.1】若x=3是方程3x+a=10的解，则a=_______．【例3.2】请写一个“未知数的系数是−3且方程的解是1”的一元一次方程______．【变式3.2】若x=2是方程a−bx=4的解，则−6b+3a+2022值为___________．【考点4列方程】【例4.1】列等式表示：比a的3倍大4的数等于a的5倍，得___________【例4.2】学校体育组有学生43人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（

）A．1.5x+x=43 B．1.5x+x+8=43C．1.5x−8+x+8=43 【例4.3】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（）．A．2x3=x+3 B．2x3=x−3 C．【变式4.1】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（

）A．223+x=17+20−x C．23+x=217+x D．【变式4.2】据市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x模块二模块二等式的性质等式及其性质（1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式；（2）等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.【考点1等式的性质】【例1.1】已知a=b，则下列等式不一定成立的是（

）A．ac=bc B．ac=bc C．【例1.2】由x−5=3x+1，得x−3x=1+5，是等式两边同时加上了（

）A．3x+5 B．3x−5 C．−3x+5 D．−3x−5【例1.3】如图所示的四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，①中天平是平衡的，则②③④中的天平仍然平衡的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1.1】如果3x=2x+7，那么3x−________=7．【变式1.2】下列等式变形错误的是(

)A．若a=b，则a+2=b+2 B．若a=b，则a−3=b−3C．若a=b，则ax2=bx【变式1.3】若a=b，则下列等式：①−a=−b；②2−a=2−b；③am=bm；④【考点2利用等式的性质解一元一次方程】【例2.1】把方程12x=1变形为x=2，其依据是（A．等式的性质1 B．等式的性质2C．分数的基本性质 D．合并同类项法则【例2.2】写出一个一元一次方程，要求：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为____________________．【例2.3】利用等式的性质求一元一次方程−3x+5=8的解是________．【变式2.1】将方程−12x+y=1中xA．5x+y=1 B．5x+10y=10 C．5x−10y=10 D．5x−10y=−10【变式2.2】利用等式的性质解方程并检验：2−14x【变式2.3】利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：(1)−1(2)2x+1=7．模块三模块三课后作业1．下列各式中，是方程的是（

）A．x2−3x=0 B．25x−2 C．2．由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7，在此变形中方程的两边同时加上（）A．3x+7 B．−3x+7 C．3x−7 D．−3x−73．下列等式变形：①如果ax=ay，那么x=y；②如果x=y，那么xa=ya；③如果x=y，那么ax=ay；④如果xaA．①④ B．③④ C．①② D．②③4．下列式子变形中，正确的是（

）．A．由6+x=10得x=10+6 B．由3x+5=4x得3x−4x=−5C．由5x=5得x=5 D．由2(x−1)=3得2x−1=35．有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（

）A． B．C． D．6．解方程6x﹣5＝x﹣1时，可将方程变形为6x﹣x＝﹣1+5，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2C．加法交换律 D．加法结合律7．下列方程变形错误的是（

）A．由13y=1，得y=3 B．由−5x=2C．由3+x=5，得x=5−3 D．由1=x−2，得x=1+28．今年10月孝义市遭受洪灾，汛情发生后，我市及时启动防汛应急抢险预案，加固河道堤防，某河段需要18台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土120m3或运土60m3，为了使挖上和运土工作同时开始，同时结束，安排了A．120x−60x=18(120+60) B．60x+18=120xC．120x=60(18−x) D．120(x−18)−60x=09．如果x=−3是关于x的方程mx−8=15+m的解，那么m=_______．10．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了−2x+·=3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=−1，于是他判断●的值应为_____．11．在①2y+1；②1+7=15−8+1；③13x2+x=0；④12．若关于x的方程3−mxm−213．x的一半比它的3倍少5，用等式表示应为___________．14．在下列方程中①x+2y=3；②1x−3x=9；③y−2315．x=3是关于x的方程ax−b+2=0的解，则15a−5b的值为________．16．下列方程的变形是否正确？为什么？(1)由3+x=5，得x=5+3．(2)由7x=−4，得x=−7(3)由12y=0，得(4)由3=x−2，得x=−2−3．17．用等式的性质解下列方程：(1)4x+7=3；(2)12x−第11讲从算式到方程【人教版】·模块一一元一次方程·模块二等式的性质·模块三课后作业模块一模块一一元一次方程方程及方程的解（1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）；（2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”.2.一元一次方程（1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.【考点1方程的概念】【例1.1】下列各式中属于方程的是（）A．3x−4=1 B．3+2=9−4 C．3x+【答案】A【分析】根据方程式的定义“既含有未知数又是等式”即可求解．【详解】解：A、3x−4=1既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，故本选项正确；B、3+C、3x+D、y−2≠1是不等式，不是方程，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了方程的定义，熟记知识点是解题关键．【例1.2】下列叙述中，正确的是（

）A．方程是含有未知数的式子B．方程是等式C．只有含有字母x，y的等式才叫方程D．带等号和字母的式子叫方程【答案】B【分析】根据方程的概念结合选项选出正确答案即可．【详解】解：A、方程是含有未知数的等式，错误；B、方程是含有未知数的等式，故选项正确；C、并不是只有含有字母x，y的等式才叫方程，错误；D、含有未知数的等式叫做方程，错误；故选：B．【点睛】本题考查了方程的概念，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．【变式1.1】下列各式中，是方程的个数为（）①x=0；②3x−5=2x+1；③2x+6；④x−y=0；A．2个 B．3个 C．5个 D．4个【答案】C【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式，即可判断．【详解】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合题意；③不是等式，故不是方程，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．【考点2一元一次方程的概念】【例2.1】下列方程中，是一元一次方程的是（

）A．x−2y=0 B．1x+3=1 C．4x−3=9 【答案】C【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．【详解】解：A、该方程含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项符合题意；D、该方程不是一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．【例2.2】若关于x的方程m−2xm−1A．±2 B．−2 C．2 D．±1【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，列出方程求解即可．【详解】解：∵关于x的方程m−2x∴m−1=1且m−2≠0∴m=±2且m≠2，∴m=−2，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【变式2.1】已知下列方程:①y−12=y3+1；②x+y=3；③x=0；④x2+4x=3A．①③⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥【答案】B【分析】利用一元一次方程的定义进行判断即可．【详解】①③属于一元一次方程，②中含有2个未知数，④中未知数x的次数为2，⑤为分式方程，⑥中未知数x的次数为2，故只有①③，故选B．【点睛】本题考查一元一次方程的区分，注意一元一次方程是指整式等式中只含有一个未知数且未知数的次数为1，理解好一元一次方程的定义是解题的关键．【变式2.2】如果方程2x2m−1−7=0【答案】1【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．【详解】解：根据题意得：2m−1=1，解得：m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【变式2.3】下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为【答案】3【分析】分别找出方程的个数和一元一次方程的个数即可求出m和n的值，从而可求出m−n的值.【详解】∵2x−1=0，3x=−2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（∴m=5；∵2x−1=0，ax+1=0（a≠0且a为常数）是一元一次方程，∴n=2，∴m−n=5−2=3.故答案为3.【点睛】本题考查了方程和一元一次方程的定义.含有未知数的等式叫做方程；方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可.【考点3方程的解】【例3.1】若x=3是方程3x+a=10的解，则a=_______．【答案】1【分析】直接把x=3代入方程3x+a=10中求出a的值即可．【详解】解：∵x=3是方程3x+a=10的解，∴3×3+a=10，∴a=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【例3.2】请写一个“未知数的系数是−3且方程的解是1”的一元一次方程______．【答案】−3x+3=0（答案不唯一）【分析】由一元一次方程ax+b=0a≠0【详解】解：∵未知数的系数是−3且方程的解是1，∴方程−3x+3=0满足条件，故答案为：−3x+3=0(答案不唯一)．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的一般形式及定义是解题的关键．【变式3.1】下列方程中，解为x=−4的是(

)A．3x+6=3 B．−x+6=2x C．4−2x−1=1 【答案】D【分析】把x=−4分别代入各选项，即可做出判断．【详解】解：A.当x=−4时，左边=3x+6=3×−4+6=−6，右边=3，左边B.当x=−4时，左边=4+6=10，右边=2×−4=−8，左边C.当x=−4时，左边=4−2x−1=4−2−4−1=14，右边D.当x=−4时，左边=12x+2=12×故选：D．【点睛】本题考查了方程的解的定义，是方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，熟知方程的解的定义是解题关键．【变式3.2】若x=2是方程a−bx=4的解，则−6b+3a+2022值为___________．【答案】2034【分析】把x=2代入方程，得a−2b=4，对−6b+3a+2022，提取公因式3，式子为：3(a−2b)+2022，即可求解．【详解】解：∵x=2是方程a−bx=4的解，∴a−2b=4，∵−6b+3a+2022=3(a−2b)+2022，∴3(a−2b)+2022=3×4+2022=2034．故答案为：2034．【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．【考点4列方程】【例4.1】列等式表示：比a的3倍大4的数等于a的5倍，得___________【答案】3a+4=5a【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意可列等式为3a+4=5a；故答案为3a+4=5a．【点睛】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是理解题意．【例4.2】学校体育组有学生43人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（

）A．1.5x+x=43 B．1.5x+x+8=43C．1.5x−8+x+8=43 【答案】D【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有x−8人，只参加篮球队的人数有1.5x−8【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有x−8人，只参加篮球队的人数有1.5x−8根据体育组有学生43人参加了篮球队可得：1.5x−8故选D．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键．【例4.3】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（）．A．2x3=x+3 B．2x3=x−3 C．【答案】B【分析】设田地有x亩，则参与分配田地为2x3【详解】解：设田地有x亩，根据题意：可知方程为2x3故选：B．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键．【变式4.1】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（

）A．223+x=17+20−x C．23+x=217+x D．【答案】B【分析】先求出调往乙处20−x人，再根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程即可．【详解】解：由题意得：调往乙处20−x人，则可列方程为23+x=217+20−x故选：B．【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．【变式4.2】据市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x【答案】(1+5.7【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解．【详解】解：设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，∴(1+5.7%故答案为：(1+5.7%【点睛】本题主要考查用方程表示增长率的计算，掌握增长率的计算，方程的运用，用字母表示数（或数量关系）的原则是解题的关键．模块二模块二等式的性质等式及其性质（1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式；（2）等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.【考点1等式的性质】【例1.1】已知a=b，则下列等式不一定成立的是（

）A．ac=bc B．ac=bc C．【答案】A【分析】根据等式的性质，分别判断即可．【详解】解：∵a=b，当c=0时，ac故A说法错误，符合题意，∵a=b，∴ac=bc，故B说法正确，不符合题意；∵a=b，∴−a=−b，∴−a+1故C说法正确，不符合题意；∵a=b，∴2a=2b，∴2a−5=−5+2b，故D说法正确，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【例1.2】由x−5=3x+1，得x−3x=1+5，是等式两边同时加上了（

）A．3x+5 B．3x−5 C．−3x+5 D．−3x−5【答案】C【分析】根据等式性质进行判断即可．【详解】解：等式的两边同时加上−3x，得x−3x−5=3x−3x+1，即x−3x−5=1，等式的两边再同时加上5，得x−3x−5+5=1+5，即x−3x=1+5；也可以说：等式的两边再同时加上−3x+5，得x−5−3x+5=3x+1−3x+5，即x−3x=1+5，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了等式性质，解题的关键是熟练掌握等式性质，等式的性质1：等式的两边都加(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边都乘(或除以)同一个不为零的数，等式仍然成立．【例1.3】如图所示的四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，①中天平是平衡的，则②③④中的天平仍然平衡的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据等式的性质，可得答案．【详解】解：由第①个天平，可得：两个球加一个圆柱等于5个圆柱，即：两个球等于四个圆柱，故②符合题意，一个球等于两个圆柱，故③符合题意，两个球等于四个圆柱，故④不符合题意，综上所述，符合题意的有2个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确利用等式的性质是解题关键．【变式1.1】如果3x=2x+7，那么3x−________=7．【答案】2x【分析】根据等式的性质知，在原等式的两边同时减去2x，则等式仍然成立．【详解】解：在等式3x=2x+7的两边同时减去2x，则等式仍然成立，即3x−2x=7．故答案为：2x．【点睛】本题考查等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；2、等式的两边同时乘同一个数或式子、除以同一个不为零的数或式子，等式仍成立．掌握等式的基本性质是解题的关键．【变式1.2】下列等式变形错误的是(

)A．若a=b，则a+2=b+2 B．若a=b，则a−3=b−3C．若a=b，则ax2=bx【答案】C【分析】根据等式的基本性质分别判断即可．【详解】解：A、若a=b，则a+2=b+2，故正确，不合题意；B、若a=b，则a−3=b−3，故正确，不合题意；C、若a=b，当x=0时，则axD、若a=b，则−4a=−4b，故正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．【变式1.3】若a=b，则下列等式：①−a=−b；②2−a=2−b；③am=bm；④【答案】①②④【分析】根据等式的性质，两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）以同一个数（式子，，不为零，数式子），等式仍成立；由此即可求解．【详解】解：若a=b，则下列等式：①−a=−b；②2−a=2−b；③am=bm，当m=0时，分式不成立；④a2故答案为：①②④．【点睛】本题主要靠考查等式的性质，掌握等式的加减乘除乘法法则，整式的化简求值是解题的关键．【考点2利用等式的性质解一元一次方程】【例2.1】把方程12x=1变形为x=2，其依据是（A．等式的性质1 B．等式的性质2C．分数的基本性质 D．合并同类项法则【答案】B【分析】根据等式的性质2解答即可.【详解】在方程12x=1两边同乘以2可得故选：B.【点睛】本题考查了等式的性质，等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数或整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，熟练掌握等式的性质是关键.【例2.2】写出一个一元一次方程，要求：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为____________________．【答案】2x=4（答案不唯一）【分析】根据一元一次方程的定义，写出一个一元一次方程即可．【详解】解：根据题意，这样的方程可以为：2x=4（答案不唯一）；故答案为：2x=4（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．【例2.3】利用等式的性质求一元一次方程−3x+5=8的解是________．【答案】x=−1【分析】根据等式的性质①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等进行解答即可得．【详解】解：−3x+5=8两边都减5得：−3x+5−5=8−5化简得：−3x=3两边都除以−3得：x=−1，故答案为：x=−1．【点睛】本题考查了等式的性质，比较简单，解题的关键是熟记等式的性质．【变式2.1】将方程−12x+y=1中xA．5x+y=1 B．5x+10y=10 C．5x−10y=10 D．5x−10y=−10【答案】D【分析】要把方程中x的系数变为5，就是要把方程左右两边同时乘以−10即可．【详解】解：方程两边同时乘以−10，得5x−10y=−10．故选D．【点睛】本题考查等式的性质．注意在变形时等式的左右两边要同时进行，常数项不能漏乘．【变式2.2】利用等式的性质解方程并检验：2−14x【答案】x=-4【分析】根据等式的基本性质解题，检验时，把所求的未知数的值代入原方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解．【详解】解：根据等式性质1，方程两边都减去2，得：−1根据等式性质2，方程两边都乘以−4，得：x=−4，检验：将x=−4代入原方程，得：左边=2−14×(−4)=3所以方程的左右两边相等，故x=−4是方程的解．【点睛】本题主要考查了利用等式的基本性质解方程，解题的关键是掌握等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．【变式2.3】利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：(1)−1(2)2x+1=7．【答案】(1)x=2；(2)x=3.【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．【详解】解：(1)两边同加32x得：检验：当x=2时，左边=−1，右边=−1，左=右，∴x=2是方程的解；(2)两边都减去1，得2x=6，两边都除以2，得x=3．检验：当x=3时，左边=7=右边，∴x=3是方程的解．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解题的关键．模块三模块三课后作业1．下列各式中，是方程的是（

）A．x2−3x=0 B．25x−2 C．【答案】A【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程，直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，A选项是方程，符合题意；B选项不是等式，是代数式，故不符合题意；C选项无未知数，故不是方程，不符合题意；D选项是不等式，故不符合题意；故选A．【点睛】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．2．由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7，在此变形中方程的两边同时加上（）A．3x+7 B．−3x+7 C．3x−7 D．−3x−7【答案】B【分析】根据等式的性质，即可解答．【详解】解：由2x−7=3x+2，得2x−3x=2+7，在此变形中方程的两边同时加上：−3x+7，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．3．下列等式变形：①如果ax=ay，那么x=y；②如果x=y，那么xa=ya；③如果x=y，那么ax=ay；④如果xaA．①④ B．③④ C．①② D．②③【答案】B【分析】根据等式的性质逐一判断即可．【详解】解：①如果ax=ay，当a=0时，x=y不一定成立，变形错误；②如果x=y，当a=0时，xa③如果x=y，那么ax=ay，变形正确；④如果xa=y∴正确的是③④，故选：B．【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．4．下列式子变形中，正确的是（

）．A．由6+x=10得x=10+6 B．由3x+5=4x得3x−4x=−5C．由5x=5得x=5 D．由2(x−1)=3得2x−1=3【答案】B【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.由6+x=10得x=10−6，故该选项不正确，不符合题意；B.由3x+5=4x得3x−4x=−5，故该选项正确，符合题意；C.由5x=5得x=1，故该选项不正确，不符合题意；

D.由2(x−1)=3得x−1=3故选：B．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．5．有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y“●”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即可．【详解】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y“●”的质量为m，根据题意，得2x=4y即x=2y，故A正确，不符合题意；∴x+m=m+2y，故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；∴x+2m=2m+2y，故D正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键．6．解方程6x﹣5＝x﹣1时，可将方程变形为6x﹣x＝﹣1+5，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2C．加法交换律 D．加法结合律【答案】A【分析】根据一元一次方程的解法及等式的性质进行解答即可．【详解】解：6x-5=x-1，在等式的两边同时加5，减x得，6x-x=-1+5（等式的性质1），故选：A．【点睛】此题考查的是等式的性质，掌握等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式是解决此题关键．7．下列方程变形错误的是（

）A．由13y=1，得y=3 B．由−5x=2C．由3+x=5，得x=5−3 D．由1=x−2，得x=1+2【答案】B【分析】等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．根据等式的性质逐项分析判断即可．【详解】解：A.由13y=1，得B.由−5x=2，得x=−2C.由3+x=5，得x=5−3，变形正确，不符合题意；D.由1=x−2，得x=1+2，变形正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题关键．8．今年10月孝义市遭受洪灾，汛情发生后，我市及时启动防汛应急抢险预案，加固河道堤防，某河段需要18台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土120m3或运土60m3，为了使挖上和运土工作同时开始，同时结束，安排了A．120x−60x=18(120+60) B．60x+18=120xC．120x=60(18−x) D．120(x−18)−60x=0【答案】C【分析】根据安排了x台挖土机械，则有（18﹣x）台运土机械，根据“挖土和运土工作同时开始，同时结束”得出方程．【详解】解：安排了x台挖土机械，则有（18﹣x）台运土机械，根据题意，得120x＝60（18﹣x）．故选：C．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．9．如果x=−3是关于x的方程mx−8=15+m的解，那么m=_______．【答案】−【分析】把x=−3代入mx−8=15+m得到关于m的方程，然后解方程即可求解．【详解】把x=−3代入mx−8=15+m得：m×−3解得：m=−23故答案为：−23【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟悉方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．10．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了−2x+·=3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=−1，于是他判断●的值应为_____．【答案】−5【分析】把x=−1回代原方程，求解即可．【详解】因为x=−1是−2x+·=3x的解，所以−2×−1解得·=−5．故答案为：−5．【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解解的定义是解题的关键．11．在①2y+1；②1+7=15−8+1；③13x2+x=0；④【答案】③④【分析】含有未知数的等式是方程，据此逐项分析，找出满足条件的一项即可选择．【详解】①2y+1，含未知数但不是等式，所以不是方程；②1+7=15−8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程；③13④m+2n=3是含有未知数的等式，所以是方程；⑤a+b=b+a（a，b为常数），不含有未知数，不是方程．综上，是方程的为③④．故答案为：③④．【点睛】本题考查方程的定义．注意：方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数的不是方程，含未知数但不是等式的也不是方程．12．若关于