金融工程-课件-第7章 衍生资产定价基本原理

1第7章衍生资产定价基本原理CONTENT目录从绝对定价到相对定价（重点，线下）7.1.1基本概念和简单例子7.1.2资产定价基本问题7.1.3相对定价与衍生资产7.1.4资产定价的动态过程7.1资产复制（线上）7.2.1完全复制7.2.2不完全复制7.2.3资产回报的合成与分解及因子资产的选择7.2CONTENT目录无套利原理和相对定价（重点，线下）7.3.1套利机会的基本概念和简单例子7.3.2一价法则和等价复制定价法7.3.3资产价格的合成与分解7.3.4正定价法则和状态价格定价法7.3风险中性定价及等价鞅测度（难点，线下）7.4.1风险中性概率和风险中性定价法7.4.2等价鞅测度和计价物的选择7.4.3风险补偿和风险溢价的合成与分解7.4CONTENT目录从绝对定价到相对定价（重点，线下）7.1.1基本概念和简单例子7.1.2资产定价基本问题7.1.3相对定价与衍生资产7.1.4资产定价的动态过程7.1资产复制（线上）7.2.1完全复制7.2.2不完全复制7.2.3资产回报的合成与分解及因子资产的选择7.27.1.1基本概念和简单例子具象化含义抽象化定义-在金融学研究的范畴中，资产或金融资产的范围是很宽泛的，本章采用广义的范畴。-比如本课程讲授的远期、期货、互换、期权等多种类型的衍生金融工具。-包括诸如股票、债券、外汇和大宗商品等之类的基础资产，还包括以它们为标的所衍生的资产，或者是由这些基础资产和衍生资产组合出来的各种类型的基金。-还包括市场流动性比较差的机器设备、房地产、基础设施等等实物资产。-还可以是一些抽象的法律合同，这些合同将缔约双方的权利和义务挂钩于某个自然或经济金融变量。-从金融意义上抽象地看，所有这些具体的客体无论是否冠以“资产”或“金融资产”，本质就是挂钩于未来现金流或者价值或者收益或者回报的载体，是一种或有收益的要求权（contingentclaim），或有收益表示未来是不确定的。-现金流、价值、收益、回报几个术语的含义在多数情况下是一致的，为了简化本课程将这些术语统一称为未来回报（payoff）。-资产价格（assetprice）就是为了获得未来回报，在当前买入并持有，因此付出的补偿或代价。VS金融资产和资产价格6设定：抛掷硬币决定参与者盈亏的游戏，这些游戏可以类比资产市场，例如抛掷硬币出现的结果表示经济的某种状态，或者硬币出现正面可以类比资产未来回报相对于某个阈值出现上涨，出现反面则是下跌。状态证券（statesecurities），也称为阿罗-德布鲁证券（Arrow-Debrusecurities），是指未来某个状态发生则可以获得1元回报而其他状态发生则获得0元回报的证券。一些简单例子7

例7.18

例7.2：换个角度看9

例7.3和例7.410资产定价问题的引出11

资产定价问题的引出12

根据著名金融学者考科瑞（JohnH.Cochrane）教授的归纳和分类，学术界一般从两个视角讨论资产定价问题，也即：绝对定价法（absolutepricing），包括基于消费的资产定价（consumption-basedassetpricing）基于生产的资产定价（production-basedassetpricing）相对定价法（relativepricing）资产定价方法13金融资产定价的两种方法绝对定价法

相对定价法绝对定价法就是根据证券未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现，加总为现值，该现值就是此证券的合理价格。绝对定价法14请为一个面值为100元，为期3年，息票率为5%的债券定价。假设该债券每年年底付息一次，最后一次付息时同时返还本金。假定一年期无风险利率为3%。未来的现金流合适的贴现率绝对定价法两要素03

?元

5元

5元105元

绝对定价法15绝对定价法

相对定价法相对定价法的基本思想是利用标的资产价格与衍生品价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生品价格。无套利定价和风险中性定价都是相对定价法。相对定价法16金融资产定价的两种方法相对定价法绝对定价法债券定价大多使用绝对定价法，一些股票定价也采用此法，以及基础金融资产的定价方法。原理简单，易于理解，但由于现金流和贴现率概率分布的估计困难，多数情况下应用不是很方便。衍生品定价主要运用相对定价法。利用标的资产与衍生产品价格的关联性为衍生品定价。易于实现，贴近市场，但一般仅适用于衍生品或可复制资产，对于一般金融产品是不适用的。VS适用情形比较分析两种方法的适用情形及比较分析17补充知识：

基于消费的绝对资产定价中涉及到的

效用函数的风险态度问题的提出19假设决策者面临以下两种选择方案：其中，E[2]=10*0.5+0*0.5=5(万元)>4(万元)=E[1]但是在实际中，很多人会选择方案（1）如果改成5万你的选择有变化吗？如果把万字去掉，你的选择有变化吗？方案二：得到10万（P=0.5）或者一无所获（P=0.5）方案一：稳获4万效用函数（UtilityFunction）20u(M)M0AA+ΔmBB+Δm从A增加Δm和从B增加Δm，效用的增加是不一样的，前者会更大。对于你而言，从100元增加到101元，和从1万元增加到1万零一元，感受一样吗？捡到100元的高兴程度，和丢失100元的难受感受程度一样吗常见效用函数曲线类型211.0L1L3L1－保守型Riskaverse（风险厌恶型）L2－冒险型Riskseeker(风险偏好型）L3－中间型Riskneutral（风险中性）L2风险厌恶型22主体的效用函数为严格凸函数：确定性财富带来的效用大于参与期望收益相同的一场赌博带来的期望效用。经济主体通常是风险厌恶的，其效用函数被设定为凸函数。方案二：得到10万或者0方案一：稳获5万风险厌恶型23反映到效用函数图中，即为Uc大于Ud。风险偏好型24主体的效用函数为严格凹函数：确定性财富带来的效用小于参与期望收益相同的一场赌博带来的期望效用。经济主体如果是风险偏好的，其效用函数通常被设定为凹函数。方案二：得到10万或者0方案一：稳获5万风险偏好型25反映到效用函数图中，即为Uc小于Ud。风险偏好中性26主体的效用函数为线性函数：确定性财富带来的效用等于参与期望收益相同的一场赌博带来的期望效用。风险中性假设，此时经济主体的效用函数形式为线性函数。方案二：得到10万或者0方案一：稳获5万风险偏好中性27反映到效用函数图中，即为Uc等于Uab。7.1.2资产定价基本问题符号约定29

30一些解释

31资产当前价格和未来回报的关系

32资产当前价格和未来回报的关系7.1.3相对定价与衍生资产相对定价和定价基准34不同资产的风险溢价有所不同，因为资产的多样，现实中我们很难对所有资产都计算风险溢价。根据基于消费的绝对定价模型，风险溢价又决定于效用函数中对待的风险态度，可是效用函数在现实市场中是很难直接观察到的，这就带来了很多困难。虽然资产种类繁多，但是总能够归纳为一些非常基本的资产，这些基本的资产的价格是给其他所有资产定价的基准，不妨称为基准资产，或者因子资产（factorportfolio）。由这些基准资产的价格得到所有资产的价格就是相对定价视角要思考的问题。相对定价思想最重要的应用就是衍生资产的定价。衍生资产的数学定义35

如何设计衍生资产

7.1.4资产定价的动态过程资产定价的反向迭代过程38

附息债券反向迭代定价的例子39

衍生资产定价的反向迭代过程40

41衍生资产定价问题的数学形式

42衍生资产定价问题的数学形式CONTENT目录从绝对定价到相对定价（重点，线下）7.1.1基本概念和简单例子7.1.2资产定价基本问题7.1.3相对定价与衍生资产7.1.4资产定价的动态过程7.1资产复制（线上）7.2.1完全复制7.2.2不完全复制7.2.3资产回报的合成与分解及因子资产的选择7.27.2.1完全复制完全复制的定义45相对定价的基础问题就是未来回报（比如资产或商品未来产生的现金流）如何合成和分解，无论采取合成或者其逆过程对资产进行拆分，都是为了构造出与某个现金流相同或者可以比较的另一个现金流头寸，进而基于无套利原理进行定价，这种操作也即本书前面内容中提到的“复制”或者“等价复制”，也称为“完全复制”。可以从商品生产、商品交易、金融资产组合等多个视角理解。商品生产中的完全复制46商品生产中的多种投入品合成一种产出品例如养殖场在给作为产出品的生猪进行定价时，常常采取的定价策略是核算产出1斤生猪的投入品成本为多少，包括需要投入猪仔、养殖过程的饲料、养殖过程中的人工以及其他费用等等。商品生产中的一种投入品分解为多种产出品例如生猪屠宰场在给作为产出品的猪肉进行定价时，可以根据生猪作为投入品的价格扣除掉生猪拆解出的猪骨、猪内脏、猪皮等其他屠宰产出品的价格，从而得到猪肉的相对合理价格。商品生产中的完全复制47商品的生产过程不可逆，商品的组合和拆分受到一些限制，完全复制只能向一个方向。例如，生猪的生产需要投入猪仔、养殖过程的饲料、养殖过程中的人工等要素，这个过程是不可逆的。不能将生猪拆解为这些投入要素，拆解生猪并不是生产生猪的逆过程而是一个不同形式的生产过程，得到的是猪肉、猪骨等其他产出品。但商品的交易是可逆的，因此可以进行等价复制。【例7.8】交易者需要在3个月后持有16吨满足大连商品交易所交割标准的生猪，如果把3个月后的16吨生猪多头头寸理解为一个资产组合，那么这个资产组合的合成方式至少可以有两种：第一，当前买入16吨生猪现货，准备3个月期限的16吨生猪库容；第二，当前建立16吨规模的3个月期限期货合约的多头（也即1张合约多头），储备好3个月后用于交割的资金，当前可以购买3个月期限的货币市场投资工具。商品交易中的完全复制48用等价复制的恒等式表示如下：3个月后的16吨生猪多头头寸=当前16吨生猪现货多头头寸+16吨生猪3个月期限的库容=1张合约规模为16吨的3个月期限的生猪期货合约多头+到期面值等于16吨生猪交割价值的3个月期限的无风险证券其中库容可以包含的含义比较广泛，包括期间的仓储、喂养、繁殖和耗损等自然活动和生产活动等，无论什么活动都可以归纳为两类：第一类是导致现货头寸增值的活动，例如繁殖，第二类是导致现货头寸减值的活动，例如仓储和喂养的成本支出，以及耗损等导致的减值。商品交易中的完全复制49完全复制：金融资产的组合分解50金融资产可以卖空或者融资，当然金融资产的交易可能还受到一些其他约束，不过多数约束都可以在可交易头寸上得以反映。因此，金融资产的复制是可以互逆的过程，从而等价复制更容易实现。注释：“可交易头寸”是指可以通过市场交易实现将某种因素对原始头寸的价值的影响进行证券化，从而有相应的金融工具对应这种价值影响。金融资产的一种典型的拆分就是将资产分解为多个基准资产（因子资产）的组合，然后根据组成成分的价格或者基准资产（因子资产）的价格，从而确定相应资产的价格。

卖空是指交易者能够先卖出当时不属于自己的资产（俗称做空头），待资产价格下跌后再以低价买回，即所谓“先卖后买”。卖空51盈亏：若股票价格下降，投资者盈利；若股票价格上升，投资者损失。操作：通过经纪人从其他客户处借证券来卖掉，所得价款进入自己的帐户，同时在经纪人处交纳一定的初始保证金；若要平仓，则用自己帐户中的资金购买相应数量的证券归还原主。保证金账户：经纪人要求做卖空的客户建立一个保证金账户，投资者应在保证金账户里存入现金或可销售证券，由此保证证券价格上升时，投资者不会抛弃空头头寸。卖空期间收益的处理：借券期间，空头客户必须将该证券的任何收入（如红利、利息）经经纪人转付给被借券的客户。风险：挤空如果在未平仓期间不能继续借到证券，则必须强制平仓，称为挤空(short-squeezed)。卖空交易与正常股票买卖的现金流52股票的买卖

4月：以每股120元买入500股股票-600005月：收到股息+5006月：以每股100元卖出500股股票+50000

净收益=-9500股票卖空交易

4月：借500股股票以每股120元卖出+600005月：支付股息-5006月：以每股100元买入500股股票-50000

净收益=9500构建等价组合的技术——完全复制复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的头寸与被复制组合的头寸互相之间应该完全实现头寸对冲。注意：不能只在数学期望的意义上完全一致。

53BA基础资产多头无风险资产多头远期合约多头金融资产完全复制的例子54【例7.9】考虑沪深300指数（简称HS300）、HS300的交易所交易型基金（简称HS300ETF）、HS300期货、HS300的成分股，以及上证50指数（简称SH50）、SH50的交易所交易型基金（简称SH50ETF）、SH50期货、SH50的成分股等之间的复制，恒等式采用省略数量和价值的简化形式。几种复制：例如，3个月后的10亿份HS300ETF可以通过以下恒等式等价复制：3个月后的HS300ETF多头头寸=当前HS300-ETF多头头寸-HS300ETF在3个月期限分红的可交易头寸或者3个月后的HS300指数多头：3个月后的HS300指数多头头寸=3个月期限的HS300期货合约多头+3个月期限的无风险证券由于市场上并没有HS300ETF的期货，所以无法通过期货头寸等价复制出3个月后的HS300ETF多头头寸。如果交易者希望通过期货头寸复制HS300ETF多头头寸，只能近似地由HS300期货多头不完全复制出来。55金融资产完全复制的例子7.2.2不完全复制不完全复制的定义57现实世界中有很多因素没法准确捕捉，使得等价复制的恒等式出现偏差，导致了不同的资产头寸之间只是相似的，头寸的复制并不能等价，而只是“不完全复制”。导致不完全复制的原因：非系统性因素：绝大多数没法准确捕捉的因素要么没法合理建模，要么最后不会对资产价格产生影响，这些因素是非系统性因素，在随着时间动态演化中呈现出白噪声的时序特征，并且相对于其他头寸是独立或者不相关的。系统性因素：现实中也存在一些能够导致资产头寸出现实质性不完全复制的系统性因素，这些因素通常不能通过可交易头寸进行复制。例如，不同时点上的现货头寸之间除了相差期间的库容，还要考虑持有更早的现货头寸将可能获得持有期间的便利性。这种便利性可能来自多个方面，其中一个重要而且直观的解释是，加工商品的生产计划发生了变化或者销售商品的时间提前了，从而需要提早使用现货。通常情况下商品的便利性是很难在数量上准确度量的，基本上也没有相应的可交易头寸可以反映出来，所以通过合成或分解的方式构造复制头寸一般是无法考虑这个因素的，因此多数情况下商品交易中复制的头寸是不完全复制。商品交易中的不完全复制58金融资产中的不完全复制59导致金融资产头寸不完全复制的主要原因并不同于商品现货的便利性，而是其他一些无法通过可交易头寸反映出来的因素，例如交易上受到的法律约束、现货与远期标的之间的差异、不同头寸的流动性差异等。比如，由HS300期货多头和无风险资产不完全复制HS300-ETF多头头寸。导致不完全复制的主要原因是，虽然HS300-ETF跟踪HS300指数，但是因为ETF基金组合存在着仓位调整、净值计算、成分股停牌、申购赎回资金准备等因素，相对于HS300指数会有跟踪误差（trackingerror），也即HS300-ETF并不是HS300指数的完全复制。7.2.3资产回报的合成与分解及因子资产的选择

资产未来回报现金流的分解61常见的资产定价模型包括CAPM模型、因素模型、APT模型，就是将资产未来的回报分解为多个具有经济、金融或者财务意义的影响因素的组合，例如市场指数、市值规模、行业特征等。当这些影响资产回报的因素可以在市场上找到相对应的资产组合实现等价复制时，它们就构成了定价的因子资产，交易者通过交易因子资产从而承担自己熟悉的风险因素而获得风险回报，规避或对冲自己不熟悉的风险因素。资产定价模型中的因子资产选择62

资产定价模型中的因子资产选择63

两状态情景下的例子64

两状态情景下的例子65

多状态情景下的例子66

多状态情景下的例子67

多状态情景下的例子68CONTENT目录无套利原理和相对定价（重点，线下）7.3.1套利机会的基本概念和简单例子7.3.2一价法则和等价复制定价法7.3.3资产价格的合成与分解7.3.4正定价法则和状态价格定价法7.3风险中性定价及等价鞅测度（难点，线下）7.4.1风险中性概率和风险中性定价法7.4.2等价鞅测度和计价物的选择7.4.3风险补偿和风险溢价的合成与分解7.47.3.1

套利机会的基本概念和简单例子在相对定价模型下，资产复制技术使得不同资产之间可以相互比较，从而建立相互之间的合理价格对比关系。在自由交易条件下，例如融资不受限制、卖空不受限制、进入不同资产市场不受限制等。一旦这种合理关系被打破，市场将会出现可以增加效用的机会（套利机会），交易者将会进行套利，这种行为推动金融市场恢复到合理的均衡状态，也就是所谓的无套利状态。即使只要一个套利者就可以驱使这种机会消失。这种资产定价的驱动机制就是无套利原理，是相对定价的核心。在金融工程领域乃至金融学领域，讨论资产在均衡状态的定价，需要遵循的无套利原理可以视为一个基本假设。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率的提高。因此无套利是有效市场的必要条件。金融市场有效率和无套利的基本假设71使得资产价格之间满足无套利的基本推动力，来自于两个非常朴素的生活常识：第一，相同品质的物品应该具有相同的价格；第二，品质更高的物品应该具有更高的价格。这种常识不仅适合于一般的商品和服务定价，同样也适合资产定价。对于资产定价，这两个常识可以翻译为：第一，未来相同回报则当前价格相同，或者未来零回报则当前零价格；第二，未来更高回报则当前更高价格，或者未来正回报则当前正价格。金融市场有效率和无套利的基本假设72【例7.17】经济未来可能等概率出现繁荣和衰退两种状态，金融市场有S、T、P三种资产，未来回报矩阵如下表所示。三种资产的价格向量为：[q(S),q(T),q(P)]=[59,0.8,4]，请问金融市场的价格体系是否合理？违背第一个常识的套利的例子73经济状态STP繁荣7012衰退50110

违背第一个常识的套利的例子74常见的简单套利是在某项金融资产的交易过程中，利用一个或多个市场之间存在的价格差异，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。简单套利机会75怎样的组合可以成为一个套利组合典型套利组合远期合约多头基础资产空头无风险资产多头交割抵补自融资76单纯持有基础资产，不论多空，都有风险单纯持有远期合约，不论多空，也有风险套利组合的特点套利组合零投资，是自融资系统，要求市场规则允许卖空套利组合特点零投资无风险时间价值如果套利组合中含有衍生品，则组合中通常亦包含对应的基础资产，套利组合无风险套利组合中一般会包含无风险资产77构建套利组合78衍生品及标的资产价格走势一致，则一多一空；走势相反，则头寸方向相同标的资产和衍生品价格波幅不同，头寸比例不应为1:1，假设为1:y谁来构建头寸方向头寸大小套利组合构建原则套利组合构建由1单位看涨期权空头和y单位标的股票多头组成的无风险组合。无风险组合的价值按照无风险利率增长。构建套利组合

79

10*y-f11*y-0.59*y无风险利率组合价值运动的二叉树假设套利者的交易没有改变资产S和资产T的价格，但是使得资产P的价格推低到0.4元，简单计算可以看出套利组合[-2,150,-5]的价格将为0，也即所谓的“未来零回报则当前零价格”，这符合我们前面提到的第一个生活常识。那么此时金融市场就消除了套利机会吗？【例7.18】例7.17中资产P的价格改为0.4元，因此成为冗余资产，将其剔除以后，金融市场未来回报矩阵如表7.1中的前两列，两种资产的价格向量为：[q(S),q(T)]=[59,0.8]，请问金融市场的价格体系是否合理？违背第二个常识的套利的例子80

违背第二个常识的套利的例子81【例7.19】例7.17和例7.18中的资产S的价格推低到等于56元，是否套利交易就会停止？【解析】此时，组合未来回报在经济繁荣时为0、在经济衰退时为20元，而当前现金流等于0，这也是一种套利机会。但是相对于例7.17和例7.18中的套利机会更弱一些，因为这种组合是否获利依赖于未来经济状态，如果经济未来几乎一定出现繁荣，那么这种套利机会就不会得到获利，当然本例中未来经济状态是等概率出现，因此还是可能实现获利的。套利的其他例子82期初有两项投资A和B可供选择。我们已经知道到了期末这两项投资可以获得相同的利润，还有这两项投资所需的维持成本也相同。如果这两项投资在期初的投资成本却不同。比如投资A的定价低于投资B，这时你们会怎么做？套利的现实例子83投资B投资A投资A所得卖空所得价差无风险利润！卖空持有买入抵补套利方案84零投资无风险方案特征

套利的数学定义85套利机会不会长期存在套利机会存在的原因是当前的价格跟其理论价格偏离。如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应调整，重新回到均衡状态。一般而言，套利空间都比较小。投资A投资B86无套利定价的思想87当价格出现偏离时，如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态，这就是无套利均衡定价思想。从理论上讲，当金融市场出现无风险套利机会时，每一个交易者都可以构筑无穷大的无风险套利组合来赚取无穷大的利润巨大的套利头寸成为推动市场价格变化的力量，这种力量能够迅速消除套利机会无套利定价原理88在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。当市场达到无套利均衡时，此时得到的价格即为无套利价格，也是所谓的理论价格。无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。从前面几个例子可以看出，满足无套利的资产价格可能并不唯一，那么为何现实市场却往往只有一个实际交易的价格呢？是否除了无套利机制以外，还存在着其他驱动资产处于合理水平的机制呢？我们再用一个例子讨论一下。【例7.20】在例7.17中，假设套利者的交易没有改变资产S和资产P的价格，但是资产T的价格推高到0.92元，也即[q(S),q(T),q(P)]=[59,0.92,4]。此时，金融市场的价格体系是否合理？【解析】根据例7.18和例7.19的计算方法可知，三个资产的价格无法构造出满足（7.14）至（7.16）三种情况的任意一种组合，因此金融市场没有套利机会。简单计算可知，买入4份资产S或59份资产P在当前投入相同本金，但是未来期望回报为：E(4*S)=4*(70+50)/2=240,E(59*P)=59*(2+10)/2=354,E(4*S)<E(59*T)虽然没有套利机会，但是从风险规避的效用意义上看，资产S的价格偏高而资产P的价格偏低。套利的扩展：风险套利和资产定价的其他机制89在金融工程领域乃至金融学领域，讨论资产在均衡状态的定价，需要遵循的无套利原理以及风险/回报相匹配可以视为一个基本假设。驱使市场达到这种均衡形成合理价格，依赖于关于交易者行为的假设和规律，还依赖于市场撮合机制。通常认为，现实金融市场的套利有这几种基本的形式：空间套利、时间套利、税收套利和工具套利等。从理论上讲，套利无需资本，也没有风险。然而，现实生活中的套利往往是有风险的，因此是有局限的。关于无套利、套利的进一步讨论907.3.2一价法则和等价复制定价法

一价法则及其等价形式92一价法则还可以表示为资产定价映射q(.)的线性特征。资产组合γx+λy是由资产x和y按照头寸γ和λ等价复制的，根据一价法则可知其价格就是资产x和y的价格按照相应的系数复制而得，该特性称为线性定价法则。也即：q(γx+λy)=γq(x)+λq(y)一价法则的回报率表达形式：其中一价法则及其等价形式93一价法则及其等价形式94一价法则金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合就必须有相同的价格。否则，投资者在金融市场中就可以进行套利交易。根据一价法则实施无套利定价的步骤95构造两个投资组合，如果两者的期末价值相等，则其期初价值一定相等，否则存在套利机会。

第一步第二步一价法则在期权单步二叉树定价中的应用96假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，求一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。97二叉树模型假设未来金融资产的价格只有两种可能的结果。股票价格运动的二叉树期权价格运动的二叉树，其中f为期权费10119f0.503个月3个月一价法则在期权单步二叉树定价中的应用远期利率定价与套利98假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？如果能，远期利率的无套利均衡价格应该为多少？

10%11%?12%远期利率套利按10%的利率借入一笔6个月资金1000万元，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元签订远期利率协议，约定6个月后可以按11%的利率从市场借入资金1000×e0.10×0.5=1051万元执行远期协议，用协议中的借款偿还6个月前借入的6个月资金本息1年后收回1年期贷款得本息1000e0.12=1127万元，并用1051e0.11×0.5=1110万元偿还远期协议债务，交易者净赚1127万元-1110万元=17万元六个月后当前当前1年后99远期利率套利

借入资金

履行协议

收回贷款贷出资金偿还本息偿还本息净收益零投资无风险100远期利率定价套利者既然无风险地获取17万元的利润，说明该例中6个月远期利率11%的定价是不合理的。

10%，1元

12%，1元

101假定目前货币市场上美元利率是6%，马克利率是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是1美元兑换1.8马克(1:1.8)，问一年期的远期汇率是否还是1:1.8？若不是，应该是多少？远期外汇定价与套利=1.8*6%10%=1.8*？102远期外汇定价与套利1.00USD1.80DEM1.98DEM1.10USD1.06USD0.04USD若远期汇率还是1:1.8，则投资者可进行套利。每借入1美元可获得0.04美元的无风险利润。若无套利，应使得远期汇率满足1.06美元=1.98马克，即：1美元=1.87马克103无风险利润！我们可以从这几个层次来理解一价法则或线性定价法则：（1）如果自由交易受到限制，例如完全不能跨市场流通，或卖空受到限制，则一价法则或者不成立或者部分不成立；（2）考虑跨市场交易成本后，同种资产在不同市场必须同价；（3）齐次性，也即没有规模经济或不经济，或者批发价和零售价相同，数学上的表示就是资产定价映射满足：q(γx)=γq(x)（4）可加性，也即没有范围经济或不经济，或者没有上市公司的收购或兼并，数学上的表示就是资产定价映射满足：q(γx+λy)=q(γx)+q(λy)一价法则的经济含义104其实并不只是在金融市场无套利存在一价法则，在经济活动的多个领域都存在这个基本规律。一价法则最早在国际贸易领域被提出。国际金融中三种货币的汇率兑换，违背一价定律就存在三角套利。资本市场的交易型开放式基金（ETF）存在着一级市场的净值和二级市场的市价之别，在满足无套利条件下，净值和市价应该趋同，一旦出现了折价或溢价，市场的套利力量将会入场。在远期和期货交易领域，远期合约与无风险证券等价复制了现货，因此一价法则约束三者的价格满足无套利的平价关系。关于商品生产的定价，之前我们以养殖场生产生猪为例，其实可以广义上将养殖场的生产活动理解为在生猪、猪仔、饲料、人工等多种经济物品和生产要素之间构造套利交易，无套利原理要求长期来看生猪的生产趋于零利润，这恰恰也是微观经济学生产理论的结论。当然由于受到生产过程的不可逆性，不能买入生猪将其拆解为各种投入品，短期内生猪的生产会有利润，类似于金融市场对某些资产的卖空限制、融资限制或者准入限制等约束，将会导致无套利机制受限而存在暂时的违背一价法则的情况。一价法则的经济含义105补充知识：

MM定理与无套利定价MM定理的发现者50年代后期提出的MM理论曾经极大的震惊了金融学术界，FrancoModigliani和RobertMiller为此先后荣获诺贝尔经济学奖（1985和1990两次颁奖）。

尽管如此，他们的理论成果中所含有的无套利均衡思想在后来所产生的的巨大影响，仍然是当时所没有预见的。M.MillerF.Modigliani无摩擦环境假设

企业不缴纳所得税；企业发行证券不需要交易成本；企业的生产经营的信息对内对外来说是一致的，即信息披露是公正的；与企业有关者可以无成本地解决彼此之间的利益冲突问题。企业发行的负债无风险ＭＭ第一命题：在ＭＭ条件下，企业价值与其资本结构（企业负债和权益的比例结构）无关108MM定理假设价值会计度量:帐面价值—历史成本法价值金融/财务度量:市场价值—折现法

109MM定理推导A公司股票为100元/股设Ｂ的资本中有4000万元负债，年利率为8%，并且假设此债务是无限期的。则Ｂ负债的市场价值就是4000万元，每年支付利息320万元。请问B的公司价值为多少？

请注意，我们现在还不知道公司B的权益价值究竟是多少，因为现在暂时还不知道公司B的权益的预期收益率应该是多大。MM定理结论：B的权益价值为6000万110MM定理推导如何证明？假设在无税条件下，企业的收益必须先付利息再分红利，则股东每年可以分到的收益为EBIT-320万元，若假定Ｂ的股份数是60万份，需证明股价为100元／股。反正法：如果是90元（或110元），则可采用如下策略套利头寸情况即期现金流未来每年现金流1%A股票空头1%B债券多头1%B股票多头+10000股×100元/股=100万元-1%×4000万元=-40万元-6000股×90元/股=-54万元-EBIT的1%1%×320万元=3.2万元1%×（EBIT-320万元）净现金流+6万元0111套利者的现金流（90元）头寸情况即期现金流未来每年现金流1%A股票多头1%B债券空头1%B股票空头-10000股×100元/股=-100万元1%×4000万元=40万元6000股×110元/股=66万元-EBIT的1%1%×320万元=3.2万元1%×（EBIT-320万元）净现金流+6万元0112套利者的现金流（110元）

因B的股价是100元，则B的权益市值为100X60=6000万元。从而B的企业价值也为10000万元。与A的企业价值相等。即

ＭＭ第一命题：在ＭＭ条件下，企业价值与其资本结构（企业负债和权益的比例结构）无关

采用无套利分析技术，实际上是用一组证券复制某项或某一组证券，其要点是使复制证券的现金流特征与被复制证券的现金流特征完全相同。113结论由于存在财务杠杆，放大了权益的收益，同时也加大了权益收益的波动。情况EBIT公司A的EPS公司B净收益EPS好1500万15元1180万19.67元中1000万10元680万11.33元坏500万5元180万3.00元平均1000万10元680万11.33元标准差4元6.81元114两家公司的收益/风险特性

115MM定理一般情形资本的成本取决于资本的使用而不取决于来源。在金融市场上的交易都是零净现值行为。116进一步的思考7.3.3资产价格的合成与分解金融市场有J种可交易的资产，如果某一资产可以由其他资产所构成的组合等价复制，那么便称该资产是冗余的，数学上也即该资产的回报向量可以由其他资产的回报向量线性组合。根据一价法则，冗余资产的价格可以由等价复制组合的成分资产的价格线性表示出来，也即资产价格可以分解为成分资产的价格的线性组合。如果我们将这些冗余资产剔除，只剩下成分资产，并将这些成分资产作为基准资产（因子资产），那么金融市场必然满足一价法则。当没有冗余资产时，这些可交易资产不能彼此等价复制。冗余资产118

资产价格的合成与分解119

资产价格的合成与分解1207.3.4正定价法则和状态价格定价法

如何比较资产未来回报122

正定价法则及其等价形式123

正定价法则及其等价形式124

正定价法则及其等价形式125

状态价格定价法126CONTENT目录无套利原理和相对定价（重点，线下）7.3.1套利机会的基本概念和简单例子7.3.2一价法则和等价复制定价法7.3.3资产价格的合成与分解7.3.4正定价法则和状态价格定价法7.3风险中性定价及等价鞅测度（难点，线下）7.4.1风险中性概率和风险中性定价法7.4.2等价鞅测度和计价物的选择7.4.3风险补偿和风险溢价的合成与分解7.47.4.1风险中性概率和风险中性定价法绝对定价范式存在着一些困难：其一是现实概率并不可知，在现实金融市场这个信息反而是隐含在资产价格中的；其二交易者对待风险的态度也不可知，而且不同交易者的风险态度也是千差万别的，因而交易者要求的合理风险溢价也是难以有效观察。当市场无套利时，状态证券作为最重要的基准资产（因子资产），其价格有效的揭示了关于现实概率和交易者风险态度信息，因此通过状态证券给资产定价可以回避掉绝对定价范式的两个困难。来自绝对定价的启发129

风险中性概率130

风险中性定价131衍生资产的风险中性定价132风险中性定价原理：在对衍生证券定价时，可假定所有投资者都是风险中性的。此时所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，所有的现金流都可以用未来现金流的期望值通过无风险利率贴现求得。现金流贴现（DCF）是用来为金融资产、项目或公司估值的一种方法，它的核心思想是将未来的现金流用资本成本来折现，并计算所有现值之和，将其作为该资产、项目或公司当前的现值（PV）。——维基百科衍生资产的风险中性定价133风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。按照等价鞅测度中提到的，现在的价格等于将未来价格依风险中性概率取期望，再用无风险利率贴现。这个结论对股票适用，对期权也适用。期权两种经典定价模型都体现了风险中性定价的思想。风险中性定价案例134案例：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。求风险中性概率：风险中性定价案例135利用风险中性定价原理定价：风险中性定价的步骤：先由股票价格的变动情况和利率求风险中性概率，再利用风险中性定价原理为期权等衍生品定价。补充知识：

期权二叉树定价的两种方法等价性期权定价案例（一）：背景介绍137假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T。在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。S当前时刻t到期日TSuSdfufd期权定价案例（二）：等价复制无套利定价思路138构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的Δ.由无套利定价原理：S当前时刻t到期日TSuSdfufd期权定价案例（三）：等价复制无套利定价思路139代入期权定价案例（四）：等价复制无套利定价思路140根据此式，代入相关数据即可求出期权的内在价值。S当前时刻t到期日TSuSdfufd(P)(1-P)期权定价案例（五）：风险中性定价思路141求风险中性概率：利用风险中性定价原理定价与无套利定价思路的结果一致！风险中性定价之直观推导：风险中性定价-进一步理解14211…1Pfc1c2…cnPc期权定价案例（六）：殊途同归143无套利定价是构造一个组合为无风险组合，然后对这个组合按无风险利率贴现。风险中性定价是在风险中性世界里各自按无风险利率贴现。风险中性定价与无套利定价是等价的，殊途同归。7.4.2等价鞅测度和计价物的选择

鞅的构造和无风险资产作为计价物145鞅的定义146若随机过程{Yt}满足如下条件：（1）给定新息集Ft,Yt是已知的；（2）E(|Yt|)<∞；

（3）Et(Yt+

)≡E(Yt+

|Ft)=Yt对任意

成立。则称{Yt}为对应于信息集Ft的一个鞅。在任何时刻，对变量未来的预期值等于其当前的观察值。布朗运动具有鞅性鞅的定义-扩展阅读147鞅的原名martingale原指一类于18世纪流行于法国的投注策略，称为加倍赌注法。在博弈中，赌徒会掷硬币，若硬币正面向上，赌徒会赢得赌本，若硬币反面向上，赌徒会输掉赌本。这一策略使赌徒在输钱后加倍赌金投注，为的是在初次赢钱时赢回之前输掉的所有钱，