25.1 一元二次方程的概念

25.1一元二次方程的概念九年级(上册)人教版2026新版教材1.能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程,建立模型观念.2.理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称.3.理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根.在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.

如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系：AC∶BC=BC∶5，即BC2=5AC.设雕像腰部以下的身长BC为x

m，根据上述等量关系，就可以列出方程x2=5(5-x)，整理得x2+5x-25=0.解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长.ACB5-xx问题1

如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3

600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？图1图2设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3

600cm²，可列得方程(100-2x)(50-2x)=3600.整理并化简，得x2-75x+350=0.由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长.图1图2x(100-2x)cm(50-2x)cm思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？未知数的个数是1，最高次数是2.问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？未知数的个数是1，最高次数是2.思考：以下方程有什么共同点？

x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0.(1)方程中含有未知数的式子都是整式；(2)方程中只含有一个未知数；(3)方程中未知数的最高次数是2.

一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.识别关键：原方程若有分母，则分母中不含未知数；若有根号，则根号中不含未知数.例1

符合一元二次方程的概念；整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；含有两个未知数；含有未知数的式子不都是整式；未知数的最高次数是3；当

m=0

时，未知数的最高次数是1；整理，得x=0；含有未知数的式子不都是整式；B判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键观察含有未知数的式子是否为整式不是一元二次方程使方程的右边为0，左边合并同类项观察是否满足“一元”和“二次”不是一元二次方程是一元二次方程是是否否一元二次方程的一般形式是

ax²+bx+c=0(a≠0)，其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0.即为bx+c=0，不是一元二次方程，所以规定a≠0.思考：为什么规定a≠0？

将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.例2

原方程一般形式确定各项及各项系数(不要漏掉符号)去分母、去括号、移项、合并同类项通常将二次项系数化为正数确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0

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使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.

例3

解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8，∵左边≠右边，∴-1不是方程x2-4x+3=0的解；当x=0时，左边=0-0+3=3，∵左边≠右边，∴0不是方程x2-4x+3=0的解；

例3

解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0，∵左边=右边，∴1是方程x2-4x+3=0的解；当x=3时，左边=32-4×3+3=0，∵左边=右边，∴3是方程x2-4x+3=0的解.综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法(代入检验法）数代入方程左边=右边左边≠右边是方程的解不是方程的解把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)5x2−1=4x；

(2)4x2=81；(3)4x(x+2)=25；

(4)(3x−2)(x+1)=5x−2.解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0.二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1.(2)一般形式为4x2-81=0.二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)5x2−1=4x；

(2)4x2=81；(3)4x(x+2)=25；

(4)(3x−2)(x+1)=5x−2.解：(3)一般形式为4x2+8x-25=0.二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25.(4)一般形式为3x2-4x=0.二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0.2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.解：(1)设正方形的边长为x,根据题意，得4x2=25,一般形式为4x2-25=0.2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2，根据题意，得x(x-2)=100,一般形式为x2-2x-100=0.解：(3)设较短一段的长为xm，则较长一段的长为(1-x)m,根据题意，得x=(1-x)2,一般形式为x2-3x+1=0.2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.

解：∵一元二次方程未知数