2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算（导学案）

2/2第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算【学习目标】1.理解方程的解的概念.2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)3.会估算一元二次方程的解.（难点）学习重点：经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.学习难点：会估算一元二次方程的解.【复习导入】问题1：一元二次方程有哪些特点？问题2：一元二次方程的一般形式是什么？【合作探究】探究点1：一元二次方程的根试一试：下面哪些数是方程x2–x–6=0的解？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.x–4–3–2–101234x2

–

x

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6总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.例1已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.变式：已知a是方程x2+2x－2=0的一个实数根，求2a2+4a+2026的值.方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.探究点2：一元二次方程解的估算问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8-2x)(5-2x)=18，你能求出这个宽度吗？x可能小于0吗？说说你的理由．x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.（2）你能确定x的大致范围吗？（3）填写下表：（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．尝试·思考问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程(x+6)2+72=102，也就是x2+12x-15=0.(1)小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？(3)你能猜出滑动距离x的大致范围吗？(4)x的整数部分是几？十分位是几？思考·交流小亮求解上述“尝试·思考”问题的过程如下：x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513可知x取值的大致范围是：1＜x＜1.5.进一步计算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-15-8.75-25.25所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1．(1)你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。(2)如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。【归纳总结】规律方法上述求解是利用了“区间逐步缩小法”的思想用“区间逐步缩小法”思想解一元二次方程的步骤：①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；②根据题意所列的具体情况再次进行排除；③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.例2请求出一元二次方程x2-2x-1=0的正数根（精确到0.1）.练一练1.根据题意，列出方程，并估算方程的解：一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？当堂反馈1.一元二次方程(x＋2)(x－1)＝0的根为()A.x＝－2 B.x＝1 C.x＝－2或1 D.x＝2或－12.若关于x的一元二次方程x2－x－m＝0的一个根是x＝1，则m的值是()A.1 B.0 C.－1 D.23.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若4a－2b＋c＝0，则它的一个根是()A.－2 B.－12 C.－44.[高频易错]若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋3x＋m2－4＝0有一根为0，则m＝.5.观察下表，确定一元二次方程x2－2x－2＝0的一个近似解的取值范围.xx2－2x－22.1－1.792.2－1.562.3－1.312.4－1.042.5－0.752.6－0.442.7－0.112.80.246.已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为2和3，求b与c的值. 7.[整体思想]已知x＝m是方程x2－2x－1＝0的一个实数根，求2m(m－2)－5的值.参考答案【合作探究】探究点1：一元二次方程的根试一试：解：3和-2.例1解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，.变式解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.∴2a2+4a+2026=2(a2+2a)+2026=2×2+2026=2030.问题1：(1)不能，因为x代表宽度，小于0不符合实际.当x>4，不可能，5-2x<0，边长无意义；当x>2.5，不可能，5-2x<0，地毯宽为负.（2）8-2x＞0，5-2x＞0，解得x＜4，x＜2.5，所以0＜x＜2.5（3）（4）x=1尝试·思考(1)不正确.12+12×1-15=-2(2)都不可能.22+12×2-15=13；32+12×3-15=30(3)x表示宽度，所以x不可能小于0；思考·交流(1)1.先通过较大步长确定根所在的大致区间1<x<1.5；2.再在该区间内缩小步长，进一步精确根所在的更小区间1.1<x<1.2；3.重复此过程，逐步逼近方程的精确解，从而确定解的整数部分、十分位等。(2)在区间1.1<x<1.2内，以0.01为步长计算函数值，找到符号变化的区间(如1.14<x<1.15)，取区间内更接近零点的值作为近似解，即可精确到百分位(近似为x≈1.14)。例2解：（1）列表.依次取x=0，1，2，3…x0123…x2-2x-1-1-2-12…由上表可发现，当2＜x＜3时，-1＜x2-2x-1＜2；（2）继续列表，依次取x=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…x2.22.32.42.5…x2-2x-1-0.79-0.31-0.040.25…由表发现，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜x2-2x-1＜0.25；（3）取x=2.45，则x2-2x-1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45.∴x≈2.4.【练一练】1.解：设苗圃的宽为xm，则长为(x+2)m，根据题意，得x·(x+2)=120.即x2+2x-120=0.根据题意x的取值范围大致是0＜x＜11.由上可知，x的取值范围大致是0＜x＜11.解方程x2+2x-120=0.完成下表(在0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近):x…891011…x2-2x-1…-41-21023…所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.当堂反馈1.C2.B3.A4.2.5.解：由表可发现，当2.