1.2 第2课时 菱形的判定（导学案）

第1章特殊平行四边形1.2菱形的性质与判定第2课时菱形的判定【学习目标】1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理；2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.3.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.学习重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.学习难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.【复习导入】根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形？【合作探究】探究点1：四条边相等的四边形是菱形思考·交流由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。证一证已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.知识要点菱形的判定定理2几何语言描述：典例精析例1如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.练一练1.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形.方法一：探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形问题上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是菱形，你觉得对吗？我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.知识要点菱形的判定定理：几何语言描述：典例精析例2已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=eq\r(5)，OA=2，OB=1.求证：□ABCD是菱形.练一练1.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形.方法二：2.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.尝试·交流(1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。(2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。当堂反馈1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是()A.AB＝AD B.AC⊥BDC.AC＝BD D.∠BAC＝∠DAC2.如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，当BD＝时，四边形ABCD是菱形，理由是.3.[推理通关]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥且DE＝＝AC.同理DF∥且DF＝＝AB.又∵AB＝AC，∴DE＝.∴四边形AEDF是菱形().4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，AD＝5，求AB的长.判定方法：.参考答案【合作探究】探究点1：四条边相等的四边形是菱形证一证证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形.典例精析例1证明：∵∠1=∠2，AE=AC，AD=AD，∴△ACD≌△AED(SAS).同理，△ACF≌△AEF.∴CD=ED，CF=EF.又∵EF=ED，∴CD=ED=CF=EF.∴四边形CDEF是菱形.练一练1.方法一：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF.∴∠1=∠2.又∠AOE=∠COF，AO=OC，∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.又∵EF是AC的垂直平分线，∴EC=EA，AF=CF.∴AE=EC=CF=AF.∴四边形AFCE是菱形.探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形证一证证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴□ABCD是菱形（菱形的定义）.典例精析例2证明：在△AOB中，∵AB=eq\r(5)，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).练一练1.方法二：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF.∴∠1=∠2.又∠AOE=∠COF，AO=OC，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四边形AFCE是平行四边形.又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.练一练2.证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO.∴△ADO≌△CEO(ASA).∴AD=CE.∴四边形ADCE是平行四边形.又∵DE⊥AC，∴四边形ADCE是菱形.尝试·交流(1)分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A、B、C、D四点(2)不唯一。理由：垂直平分线上B、D两点的位置可以任意选取(只要OB＝OD)，因此菱形的边长和角度会随OB长度的变化而变化.添加条件使菱形唯一，如：①指定另一条对角线长度：例如“对角线BD=b(给定长度)”，此时OB=b/2​，可唯一确定B、D的位置。②指定菱形的一个内角：例如“∠BAD=60°”，结合AC=a可唯一确定菱形的形状和大小。③指定菱形的边长。当堂反馈1.C2.10，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.ACAF12