25.2.3 因式分解法 导学案（解析版）

.2.3因式分解法（导学案）(1)理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方程特征灵活选择最优解法.（2）经历“观察方程结构—因式分解—降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力.（3）在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维.重点：掌握因式分解法解一元二次方程的原理和完整解题步骤；熟练运用提公因式法、乘法公式法解可因式分解的一元二次方程.难点：准确观察方程结构，灵活选择因式分解的方法，实现二次方程的降次转化.规避“方程两边随意消含未知数因式”“未化为积为0形式直接分解”等典型错误.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课复习回顾：提问学生公式法解一元二次方程的步骤，解方程（用公式法）.师生互动：学生独立完成后，教师提问：该方程结构简单，是否有更简便的解法？不用复杂计算、不用套公式即可快速求解？【学法指导】新知自研：自研课本第12-14页的内容【学法指导】自研课本P12-14页内容(一)探究原理，理解核心活动1：物体经过多少秒落回地⾯?问题：根据物理学规律,如果把⼀个物体从地⾯以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过2s后的离地⾼度(单位:m)约为.根据上述规律,物体经过多少秒落回地⾯?设物体经过xs落回地⾯,这时它离地⾯的⾼度为0m,即.追问1：将⽅程的左边分解因式得到的方程是什么？将⽅程的左边分解因式,得x(10-5x)=0.追问2：若两个代数式的乘积为0，这两个代数式之间具有什么关系？若两个代数式的乘积为0，即a·b=0，则a=0或b=0.;反之,如果a=0或b=0，则a·b=0.追问3：根据上述原理，怎样解方程x(10-5x)=0.⽅程x(10-5x)=0.的两个根是.追问4：物体经过多少秒落回地⾯对于这两个根,表示物体抛离地⾯的时刻,即在Os时物体被抛出,此刻物体的⾼度是0m;⽽表示物体在抛离地⾯2s时落回地⾯.活动2：怎样用因式分解法解一元二次方程思考：解⽅程时,⼆次⽅程是如何降为⼀次的?学生交流讨论：可以发现,在上述解法中,由到或的过程,不是⽤开平⽅降次,⽽是先分解因式,使⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式,再使这两个⼀次式分别等于O,从⽽实现降次.这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分解法.师生归纳：把一元二次方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，通过降次转化为两个一元一次方程求解的方法，叫做因式分解法。（二）归纳因式分解法步骤活动3：因式分解法解一元二次方程的步骤师生通过以上解方程过程，共同归纳因式分解法解题步骤：一化：移项，将方程所有项移到左边，使方程右边=0；二分：将方程左边整式因式分解，化为两个一次因式乘积形式；三列：根据积为0原理，列出两个一元一次方程；四解：分别解一次方程，得出方程的两个根.及时巩固：解方程x(x+2)=2(x+2)移项得x(x+2)-2(x+2)=0，分解得(x+2)(x-2)=0，解得.（三）择优合适方法解方程活动4：总结三种解法的适用场景，明确能因式分解优先用因式分解法.学生讨论根据不同方程，择优选择合适的方法.及时巩固：让学生自主选择最优解法：(1)（优选直接开平方法/因式分解法）(2)（优选因式分解法/求根公式法）(3)（无整数因式，优选公式法）【自研自探】自研课本P12-14页内容典型例题例1.因式分解法解方程：(1)；(2)；(3)【分析】(1)利用提取公式法因式分解解一元二次方程．(2)利用完全公式法因式分解解一元二次方程．(3)利用平方差公式法因式分解解一元二次方程．解：(1)提公因式：3x(x+2)=0得3x=0或x+2=0∴(2)整理得公式法因式分解：得x-2=0∴(3)解：因式分解：(x+3)(x-3)=0得x+3=0或x-3=0∴例2.解方程：(1)；(2)．【分析】（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【详解】（1）解：，，，，，解得：，．（2）移项得：，因式分解得：，即或，解得：，．第二环节合作探究1.讨论因式分解法的原理.2.讨论因式分解法步骤.3.讨论如何择优合适方法解方程.拓展提升：1．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．【详解】（1）解：证明：，此方程总有两个实数根；（2），，，此方程恰有一个根小于，，解得，即的取值范围为．课本课堂练习（P14）第1(1、2、3、4）、2题.1．（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12．【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，所以x﹣4＝0或x﹣3＝0，解得x1＝4，x2＝3．2.（2025.漯河·校考）解下列方程：(1)；(2)．【详解】（1）解：，移项，得，因式分解，得，或，解得，；（2）解：，，，，，，，．1.知识与技能：（1）核心原理：若ab=0，则a=0或b=0；（2）两种分解方法：提公因式法、乘法公式法（平方差、完全平方）；（3）解题四步骤：右化0—左分解—列一次方程—求解根；（4）解法选择：结构特殊可因式分解，优先用因式分解法，运算最简、速度最快.2.思想方法：（1）转化降次思想：将陌生的二次方程转化为熟悉的一元一次方程，化繁为简、化未知为已知；（2）数形结合与模型思想：建立“积零为根”的解题模型，实现题型归类、方法固化；（3）择优优化思想：根据方程结构选择最优解法，培养灵活解题的数学思维.3.易错提醒：（1）必须先移项使方程右边为0，再因式分解