沪教版初中数学六年级上册“比的意义”核心素养导向教案

沪教版初中数学六年级上册“比的意义”核心素养导向教案

一、课程基本信息

学科：数学（初中）

学段与年级：初中六年级（上海地区六年级属初中阶段）

课程主题：比的意义

课时安排：1课时（40分钟）

授课对象：六年级学生

教材依据：沪教版《数学》六年级第一学期

设计理念：本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于学生已有的整数、小数、分数及除法知识基础，通过创设真实、跨学科的问题情境，引导学生经历从具体情境中抽象出“比”的概念的过程。教学设计强调数学与现实世界的联系，着力发展学生的符号意识、推理能力、模型观念和应用意识。通过合作探究、深度思辨等活动，使学生理解比的意义、掌握比的读写方法、明确比与除法、分数之间的内在联系与区别，初步构建知识网络，为后续学习比例、百分比、函数等核心概念奠定坚实的认知与思维基础。

二、教材与学情分析

（一）教材分析

“比”是小学数学向初中数学过渡的关键概念之一，在沪教版教材体系中承上启下。在此之前，学生已系统掌握了除法的意义、分数的意义与基本性质，这为理解“两个数相除又叫做两个数的比”提供了坚实的认知锚点。在此之后，“比”的概念将直接延伸至“比例”、“比例尺”、“百分比”、“正比例与反比例”乃至初高中的函数思想。因此，本节课不仅是学习一个新概念，更是搭建一座连接算术与代数、常量数学与变量数学的桥梁。

教材通常通过如煮饭时米与水的量、长方形长与宽等生活实例引入比，旨在揭示比较两个数量倍数关系的需求。然而，要达到顶尖教学水准，需对教材进行深度挖掘与结构化重组。本设计将在教材基础上，强化以下三点：一是凸显比的“关系”本质，而非单纯的计算结果（比值）；二是深入辨析“同类量相比”与“不同类量相比”所产生的不同意义（前者表倍数关系，后者产新量）；三是将比置于更广阔的数学史与跨学科背景中，展现其作为普适性数学模型的力量。

（二）学情分析

六年级学生正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，其思维特点表现为：

1.认知基础：熟练掌握了整数、小数、分数的四则运算，深刻理解除法与分数的意义，具备从具体情境中抽象数量关系的基本能力。

2.思维特征：抽象逻辑思维开始发展，但仍需具体形象材料的支持。易于接受新概念，但对概念的本质内涵及其关联网络的深度理解可能存在困难，容易将“比”等同于“比值”或“除法”。

3.潜在迷思：可能认为比只能是整数比；可能混淆“比”与“比值”；可能难以理解不同类量相比的合理性及其意义；可能将比赛中的“比分”与数学中的“比”混为一谈。

4.动机与兴趣：对与生活密切相关的数学问题感兴趣，乐于参与动手操作、小组合作等活动，渴望获得理性思维的挑战与成功体验。

基于以上分析，教学策略应注重：创设高认知卷入度的真实任务；提供丰富的正例与反例，引导对比辨析；设计循序渐进的思维阶梯，促进自主建构；充分利用信息技术工具，实现可视化与动态化表征。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.结合具体情境，理解比的意义，能准确读写比，知道比的各部分名称。

2.理解并掌握比与除法、分数之间的内在联系，能进行三者之间的相互转化。

3.能正确求出比的比值，理解比值所表示的具体含义。

4.能区分“同类量的比”与“不同类量的比”，并解释其现实意义。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例中抽象出比的概念的过程，体会数学抽象和模型思想。

2.通过小组合作、对比分析，探究比、除法、分数三者之间的关系，发展类比迁移和归纳概括能力。

3.在解决实际问题的过程中，学会运用比的知识描述和解决现实世界中的数量关系问题，增强应用意识。

（三）情感、态度与价值观

1.感受比在生活中的广泛应用，体会数学的实用价值和人文内涵（如黄金比）。

2.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心和好奇心。

3.培养严谨求实、一丝不苟的科学态度和理性精神。

（四）核心素养发展指向

1.抽象能力与模型观念：从多样化的现实情境中，剥离非数学属性，抽象出“两个量相比较”的数学模型（a:b）。

2.推理意识：基于除法、分数与比的已知关系，进行合情推理与演绎推理，探索三者形式转换与本质统一的逻辑。

3.应用意识：有意识地运用“比”的模型去解读配方、地图、图表、经济数据等信息，并尝试解决简单实际问题。

4.创新意识：鼓励学生发现和提出关于比的新问题、新应用，如探讨身体比例、声音频率比等。

四、教学重难点

教学重点：理解比的意义，掌握比、除法、分数三者之间的联系。

教学难点：1.理解比作为一种“关系”的本质，而非单纯的运算结果。2.理解不同类量相比的意义及其合理性。

五、教学资源与环境

1.多媒体课件：包含情境动画、图片、动态图表、交互式练习题。

2.实物教具：多个不同长宽比的长方形卡片、不同浓度的果汁调制材料（演示用）、卷尺。

3.学习单：包含探究任务、记录表、分层练习（见附录）。

4.学生终端（如平板电脑）：用于访问互动学习平台，进行实时数据分享与投票。

5.几何画板或类似动态数学软件：用于动态展示图形缩放过程中对应边长的比保持不变。

六、教学过程

阶段一：创设情境，激疑引思（预计时间：5分钟）

活动1：情境导入——“最佳配方”之争

呈现两个真实且具冲突性的情境：

情境A（同类量相比）：学校咖啡社举办“最美拉花”比赛。小明用10克咖啡粉配180毫升牛奶；小华用15克咖啡粉配270毫升牛奶。谁的咖啡口感更浓郁？（引导学生思考：不能单纯比较牛奶或咖啡粉的多少，需要比较它们之间的关系）

情境B（不同类量相比）：校田径队选拔。教练记录了两位队员的数据：小刚跑100米用时15秒；小强跑200米用时30秒。谁的速度更快？（引导学生思考：需要比较“路程”与“时间”这两个不同类量之间的关系）

教师引导语：“同学们，无论是挑选口感均衡的咖啡，还是判断速度的快慢，我们都在不知不觉中做着一件相同的事——比较两个数量之间的关系。在数学中，我们如何清晰、简洁地刻画和表达这种关系呢？今天，我们就来认识一位描述数量关系的‘新朋友’——比。”

设计意图：通过两个典型情境（同类量比、不同类量比）制造认知冲突，激发学生探究如何刻画“关系”的欲望。同时，情境与学生的校园生活紧密相关，富有时代感，能迅速吸引学生注意力，并自然引出课题。

阶段二：操作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

活动2：多元表征，初识“比”

1.任务驱动：回到情境A，请学生用尽可能多的方式表达“咖啡粉与牛奶量之间的关系”。

1.学生可能的方法：文字叙述（“牛奶量是咖啡粉的18倍”）、除法算式（180÷10=18）、分数形式（180/10）。

2.教师引入数学符号：在数学上，这种关系还可以表示为“10：180”或“180：10”，读作“10比180”、“180比10”。介绍比号、前项、后项。

3.引导辨析：“10：180”与“180：10”表示的是同一种关系吗？强调比的顺序性，明确比较的标准。

1.概念提炼：

1.教师板书核心定义：两个数相除，又叫做这两个数的比。

2.请学生用自己的话多角度解读定义：a÷b可以写成a：b。因此，比表示的是两个数之间的一种相除关系。

1.联系旧知，深化理解：

1.比与除法的关系：组织学生填写关系表。

|对比项目|比|除法|分数|

|:---|:---|:---|:---|

|形式|a：b|a÷b|a/b|

|含义|表示两个数的（相除）关系|一种（运算）|一个（数）或关系|

|各部分名称|前项：后项=比值|被除数÷除数=商|分子/分母=分数值|

2.求比值：引导学生根据比与除法的关系，自然引出“比值”概念。求比值就是进行前项除以后项的运算。计算情境A中两个比的比值，并讨论其含义（如10：180的比值约是0.056，表示咖啡粉质量是牛奶量的约0.056倍）。

3.动态演示：利用几何画板展示一个长方形，动态改变其大小，但始终保持长与宽的比为3：2。引导学生观察：图形在缩放，但对应边的比恒定。揭示“比”可以描述形状的特征，为后续学习相似形埋下伏笔。

活动3：深度思辨，辨析“比”类

聚焦情境B（路程与时间）。

1.小组讨论：“路程”和“时间”是不同类的量，它们可以相比吗？相比的结果（比值）有意义吗？

2.汇报交流：小组代表阐述观点。教师引导学生理解：不同类量相比，其比值产生了一个新的量。100米：15秒，比值为100/15≈6.67，其单位是“米/秒”，这就是“速度”这个新物理量。从而理解比在定义新量、建立数学模型中的关键作用。

3.对比总结：引导学生对比情境A和B，完成概念建构的升华。

1.同类量的比：比值是倍数关系，通常无单位或不写单位（本质是相同单位相约）。

2.不同类量的比：比值产生一个新的量，有复合单位。

1.反例澄清：出示一场足球比赛的比分“3：0”，提问：这是我们今天学习的“比”吗？为什么？通过讨论明确，体育比分记录的是得分情况，表示双方得分的多少，而非相除关系，比值没有实际意义。这有助于学生破除生活用语对数学概念的干扰。

设计意图：本环节是概念建构的核心。通过“多元表征”将新知识（比）与旧知识（除法、分数）紧密锚定；通过“动态演示”将比从“数”的关系拓展到“形”的特征；通过“深度思辨”引导学生区分比的两种类型，理解其本质与丰富外延。小组合作与全班分享相结合，确保思维过程的可见与交互。

阶段三：巩固应用，拓展升华（预计时间：12分钟）

活动4：分层应用，内化新知

学习单上设置三个层次的练习。

第一层：基础巩固（概念辨析与简单应用）

1.填空：

（1）比的前项是5，后项是7，这个比写作（），读作（），比值是（）。

（2）9÷11=（）：（）=（）/（）

2.判断：

（1）一场篮球赛的比分是120：115，这说明在比赛中，两队得分数的比是120：115。（）

（2）小敏的身高是1.5米，她爸爸的身高是175厘米。小敏与她爸爸身高的比是1.5：175。（）

（引导学生注意单位统一）

第二层：综合应用（解决实际问题）

1.烹饪中的比：一种糖水，糖与水的质量比是1：9。

（1）用30克糖，需要配多少克水？

（2）要配制500克这样的糖水，需要糖和水各多少克？

（渗透按比例分配思想）

2.地图中的比：在一幅比例尺为1：5000000的地图上，上海到南京的距离大约是6厘米。两地的实际距离大约是多少千米？（提前渗透比例尺概念，体会比在刻画缩放关系中的应用）

第三层：拓展探究（跨学科联系）

1.艺术中的比（黄金分割）：展示巴黎圣母院、蒙娜丽莎画像图片，介绍黄金比（约0.618：1或1：1.618）在建筑、艺术中的应用。请学生测量学习单上提供的矩形图片（有的符合黄金比，有的不符合），计算长宽比，感受美的数学原理。

2.科学中的比（调配试剂）：科学实验课上需要配制一种稀硫酸，浓硫酸与水的体积比为1：4。现有浓硫酸50毫升，需要加水多少毫升？配制后的溶液总体积是多少？（强调安全与操作顺序，进行学科融合与安全教育）

设计意图：分层练习满足不同层次学生的学习需求。从基础的概念识别、形式转换，到解决生活、科技中的真实问题，再到领略数学在人文艺术中的魅力，逐步拓宽学生对“比”的认识视野，实现知识的巩固、技能的熟练与素养的提升。

阶段四：总结反思，评价提升（预计时间：8分钟）

活动5：结构化总结

1.思维导图共创：教师出示一个未完成的关于“比”的思维导图框架（中心词为“比的意义”），请学生以小组为单位，补充关键分支，如：定义、读写、各部分名称、与除法分数的关系、比值、类型（同类/不同类）、应用举例等。随后利用投屏技术展示各组成果，师生共同评议、完善，形成一幅完整的知识结构图。

2.核心提炼：教师强调本节课的“一个核心”：比是表示两个数相除关系的一种数学表达。“两种类型”：同类量比（倍数）、不同类量比（新量）。“三方联系”：比、除法、分数三位一体。

活动6：反思性评价

1.自我评价：学习单末尾设置反思区。

1.今天我学到了什么？（用一句话概括）

2.我最大的收获是什么？还有什么疑惑？

3.我在小组活动中的表现如何？（积极参与、认真倾听、提出想法…）

1.课堂小结：教师以简洁的语言总结全课，并布置具有挑战性和开放性的作业，将学习延伸至课外。

七、板书设计

（左侧主板区）

主题：比的意义

一、定义：两个数相除，又叫做这两个数的比。

记作a：b读作“a比b”

前项比号后项

二、求比值：前项÷后项=比值

例：3：5=3÷5=3/5=0.6

三、比、除法、分数的关系

a：b=a÷b=a/b(b≠0)

（关系）（运算）（数/关系）

四、比的类型与意义

1.同类量的比：比值表示倍数关系（无单位）

例：长：宽，糖：水

2.不同类量的比：比值产生新量（有复合单位）

例：路程：时间→速度

总价：数量→单价

（右侧副板区：用于课堂生成性记录）

1.学生举例：______：______

2.关键讨论点：如“比分vs数学比”

3.黄金比：≈0.618：1

八、教学评价与反思

（一）评价设计

1.过程性评价：通过观察学生在小组探究活动中的参与度、发言质量、合作精神；通过分析学生在学习单“探究记录”部分留下的思维痕迹；通过课堂提问的即时反馈，综合评价学生对概念的理解进程。

2.形成性评价：通过分层练习的完成情况，诊断学生在概念应用、技能掌握方面的达成度。特别关注对“不同类量相比”和“比与比值关系”等难点的理解。

3.总结性评价：通过课后作业的完成质量，以及单元测试中相关题目的表现，进行阶段性学习成果评估。作业设计中包含一道微项目学习任务（如：调查家庭中一个常见的比，如煮饭的米水比、洗衣液的稀释比等，撰写一份简短的“生活比的研究报告”）。

（二）预期反思与调整

1.预计学生在辨析“不同类量相比”时可能仍有困难，教学中应准备更多生动的例子（如：工作效率=工作量/时间，单价=总价/数量），并鼓励学生自己举例。

2.小组合作探究的时间需要精确把控，避免前松后紧。对思维导图共创环节，应预先设计好框架模板，提高课堂效率。

3.对于学有余力的学生，在拓展探究环节可引导他们思考：比的后项可以为1吗？（可以，如正方形的边长与周长的比是1：4）比的前项或后项可以是分数、小数吗？（可以，本质上仍是两个数相比）为后续学习比的化简和性质做铺垫。

4.本教学设计紧密联系跨学科知识，要求教师自身具备一定的科学、艺术素养，或可在相关环节邀请其他学科教师协同教学，打造真正的跨学科学习体验。

附录：课堂学习单（简版）

沪教版六年级数学上册“比的意义”探究学习单

班级：______姓名：______

【探究活动一：初识“比”】

情境：调制柠檬水。A配方：2片柠檬，300毫升水。B配方：3片柠檬，450毫升水。

1.你认为哪杯柠檬水味道更浓？为什么？

2.请用不同的数学方式表达A配方中“柠檬片数”与“水量”之间的关系。

（1）文字：_______________________________

（2）除法算式：___________________________

（3）分数形式：___________________________

（4）比的形式：___________________________

3.写出这个比的各部分名称：______：______

（前项）（后项）

【探究活动二：比、除法、分数“一家亲”】

1.根据定义“两个数相除又叫两个数的比”，完成下表：

|比|除法算式|分数形式|比值|

|:---|:---|:---|:---|

|5：8||||

||15÷4|||

|||7/10||

2.我的发现：比、除法、分数三者之间