第13讲函数的概念及正比例函数的概念(原卷版+解析)

第13讲函数的概念及正比例函数的概念掌握函数和正比例函数的概念重点是函数的概念理解难点是函数表达式的归纳总结模块一：函数的概念1、函数的概念在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量.函数用记号表示，表示时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．下列各式中，是否是的函数？为什么？（1）； （2）．已知汽车驶出站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与站的距离（km）表示成（时）的函数．已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成 的形式： （1）； （2）； （3）； （4）．模块二：函数的定义域和函数值1.函数的定义域和函数值函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．求下列函数的定义域.（1）； （2）；（3）；（4）．填空：（1）如果函数，那么——————；（2）如果函数，那么——————；（3）如果函数，那么=——————．求函数的定义域．已知． （1）求，，，； （2）当为何值时，没有意义？ （3）当为何值时，？模块三：正比例函数的概念1．正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．（1）； （2）； （3）； (4)．（1）已知是正比例函数，求m的取值范围；（2）若函数是正比例函数，那么m的值是多少？已知，与成正比例，与成正比例，且时，，时，求与的函数解析式．已知与成正比例，并且时，．写出与之间的函数关系式；（2）当时，求的值；当时，求的值．一、单选题（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）下列所述不属于函数关系的是（

）A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（

）A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高B．长方形的长确定，它的面积与宽C．长方形的长确定，它的周长与宽D．等边三角形的面积和它的长（2022秋·上海黄浦·八年级黄浦大同初级中学校考期中）下列问题中两个变量成正比例的是（

）A．正方形面积和它的边长B．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C．圆的面积与它的半径D．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数（2022秋·上海松江·八年级校考阶段练习）关于函数，下列说法错误的是（

）A．它是正比例函数 B．图象经过点C．图象经过一、三象限 D．当时，（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y与注水时间x之间的函数关系，大致是下列图像中的（

）．A．B．C．D．（2023春·上海宝山·八年级校考阶段练习）一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S（米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（

）A．爸爸登山时，小军已走了50米B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面C．小军比爸爸晚到山顶D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快二、填空题（2022秋·上海松江·八年级校考期中）已知点在正比例函数的图像上，则这个函数的解析式为________．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）函数y的定义域是___________．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）函数的定义域为________．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知函数，则________．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知，那么的值是________．（2022秋·上海·八年级专题练习）如果函数是正比例函数，那么的值为__________．三、解答题（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知是的正比例函数，它的图像经过点、，求这个正比例函数的解析式和的值．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题：(1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”）(2)甲到达地用了________小时．(3)两人在出发多少小时后相遇？如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）A． B．C． D．汽车由武冈驶往相距400千米的长沙，如果汽车的平均速度是100千米/时,那么汽车距长沙的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为(

)A．B．C． D．若函数是正比例函数，且图像在一、三象限，则_________．已知函数，当______．时，这个函数为正比例函数．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则：(1)，两城相距______千米；(2)乙车速度为______千米/小时；(3)乙车出发后______小时追上甲车．已知：函数(1)求这个函数的定义域；(2)计算．第13讲函数的概念及正比例函数的概念掌握函数和正比例函数的概念重点是函数的概念理解难点是函数表达式的归纳总结模块一：函数的概念1、函数的概念在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量.函数用记号表示，表示时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．下列各式中，是否是的函数？为什么？（1）； （2）．【答案】（1）是；（2）不是．【解析】（1）对变量的任意值，有唯一确定的值与之相对应，故是的函数；对变量取值范围内的任意值，有两个值与之相对应，即与之间不存在确定的依赖关系，故不是的函数．【总结】函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是．已知汽车驶出站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与站的距离（km）表示成（时）的函数．【答案】．【解析】根据路程=速度×时间，可知汽车后面所行驶的路程，则汽车与A站的 距离，同时汽车行驶时间不超过40分钟，即，可知．【总结】根据所学相关公式，即可得到其中一些量之间的关系，三个量相互关联的量中一个量一定的情况下，另两个量之间则有函数关系．已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成 的形式： （1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．【解析】（1）移项可得，则； （2）因式分解即有，则； （3）化乘积式即，移项即得，，则；（4） 分解因式，即，由此或，由此可得与函数 关系式为或．【总结】将式子改写成的形式，只需要通过等式性质进行变形，一边只有，另一边表示成只含有相关的代数式的形式．模块二：函数的定义域和函数值1.函数的定义域和函数值函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．求下列函数的定义域.（1）； （2）；（3）；（4）．【答案】（1）全体实数；（2）；（3）；（4）【解析】（1）为任意值，都有意义，即函数定义域为全体实数； （2）；（3）；（4）．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可．填空：（1）如果函数，那么——————；（2）如果函数，那么——————；（3）如果函数，那么=——————．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；；．【总结】本题主要考查函数值的确定．求函数的定义域．【答案】且．【解析】由题意，可得：，解得：且．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．已知． （1）求，，，； （2）当为何值时，没有意义？ （3）当为何值时，？【答案】（1），，，；（2）；（3）．【解析】（1），，，；没有意义，可知，即得；，即，解得．【总结】表示时的函数值，代值进行相应化简计算即可．模块三：正比例函数的概念1．正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．

下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．（1）； （2）； （3）； (4)．【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为和；（2）（3）不是正比例函数．【解析】形如的函数是正比例函数，其中即为其比例系数，可知（1）（4） 是正比例函数，比例系数分别为、；（2）（3）不是正比例函数．【总结】考查正比例函数和其相关比例系数的概念．（1）已知是正比例函数，求m的取值范围；（2）若函数是正比例函数，那么m的值是多少？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）函数是正比例函数，可知其自变量系数，即取值范围是；（2）函数是正比例函数，则其常数项，解得．【总结】考查正比例函数的概念理解，自变量系数不为0，常数项为0．已知，与成正比例，与成正比例，且时，，时，求与的函数解析式．【答案】．【解析】设，，()，则，时，，时，； 即得：，解得：． 代入即得：与的函数解析式是：．【总结】待定系数法转化为方程求函数解析式．

已知与成正比例，并且时，．写出与之间的函数关系式；（2）当时，求的值；（3）当时，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）设，时，，可得，解得，即与函数关系式为；时，；，即，解得：．一、单选题（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）下列所述不属于函数关系的是（

）A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系【答案】D【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（

）A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高B．长方形的长确定，它的面积与宽C．长方形的长确定，它的周长与宽D．等边三角形的面积和它的长【答案】B【分析】先列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义回答即可．【详解】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，选项不符合题意；B、长方形的长确定，它的面积等于长乘宽，是正比例关系，选项符合题意；C、长方形的长确定，它的周长等于2倍长加2倍宽，不是正比例关系，选项不符合题意；D、设等边三角形的边长为，则面积，不是正比例关系，选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据题意列出函数关系是解题的关键，形如的函数为正比例函数．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）下列问题中两个变量成正比例的是（

）A．正方形面积和它的边长B．一条边确定的长方形，其周长与另一边长C．圆的面积与它的半径D．半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数【答案】D【分析】根据正比例函数的定义逐项判断，即可得出答案．【详解】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选项不合题意；圆的面积等于与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；弧长，半径确定的圆中，是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数n成正比例，故D选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．（2022秋·上海松江·八年级校考阶段练习）关于函数，下列说法错误的是（

）A．它是正比例函数 B．图象经过点C．图象经过一、三象限 D．当时，【答案】B【分析】根据正比例函数的图象与系数的关系解答，对于，当时，的图象经过一、三象限；当时，的图象经过二、四象限．【详解】A、它是正比例函数，说法正确，不符合题意；B、当时，，图象经过，说法错误，符合题意；C、，图象经过一、三象限，说法正确，不符合题意；D、当时，，说法正确，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了正比例函数的性质和定义，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题关键．

（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y与注水时间x之间的函数关系，大致是下列图像中的（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】分成3段分析可得答案．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选A．【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．（2023春·上海宝山·八年级校考阶段练习）一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S（米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（

）A．爸爸登山时，小军已走了50米B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面C．小军比爸爸晚到山顶D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快【答案】D【分析】根据函数图象和爸爸登山的速度比小明快进行判断．【详解】由图象可知，小明和爸爸离开山脚登山的路程S（米）与登山所用时间t（分钟）的关系都是一次函数关系，因而速度不变．可知：爸爸前10分钟前在小军的后面，10分钟后小军在爸爸的后面．故选：D．【点睛】此题主要考查了函数的图象，关键是要正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．二、填空题（2022秋·上海松江·八年级校考期中）已知点在正比例函数的图像上，则这个函数的解析式为________．【答案】【分析】正比例函数解析式为，把点代入计算出的值，即可求解函数的解析式．【详解】解：∵点在正比例函数的图像上，设正比例函数解析式为，∴，则，∴这个函数的解析式，故答案为：．【点睛】本题主要考查待定系数解正比例函数，掌握正比例函数是解题的关键．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）函数y的定义域是___________．【答案】【分析】由于函数解析式是分式，则要求分母不为零，则可求得自变量的取值范围即函数的定义域．【详解】解：根据题意得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，初中求自变量取值范围的常常是三类函数：解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；解析式是分式时，分母不为零；解析式是二次根式时，被开方数非负．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）函数的定义域为________．【答案】且【分析】根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域．【详解】由题意得：且，且，故答案为：且．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是求函数自变量取值范围时常常要考虑的．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知函数，则________．【答案】【分析】把代入计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：．故答案为：【点睛】本题考查了函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知，那么的值是________．【答案】0【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】解：当时，．故答案为：0．【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．（2022秋·上海·八年级专题练习）如果函数是正比例函数，那么的值为__________．【答案】【分析】根据自变量的次数为1，系数不等于0求解即可；【详解】解：∵函数是正比例函数，∴m2-1=1，且，解得m=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．三、解答题（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知是的正比例函数，它的图像经过点、，求这个正比例函数的解析式和的值．【答案】正比例函数的解析式为：，．【分析】设正比例函数为，将代入求得解析式，再将代入求得即可．【详解】解：设正比例函数为，将代入，可得，解得，即，将代入可得，，解得，正比例函数的解析式为：，．【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题：(1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”）(2)甲到达地用了________小时．(3)两人在出发多少小时后相遇？【答案】(1)甲(2)(3)【分析】（1）直接观察图象，即可求解；（2）求出甲的速度，即可求解；（3）设两人在出发t小时后相遇，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】（1）解：观察图象得：甲先到达地；故答案为：甲（2）解：根据题意得：甲的速度为千米/小时，∴甲到达地用了小时；故答案为：（3）解：设两人在出发t小时后相遇，根据题意得：，解得：，即两人在出发小时后相遇．【点睛】本题主要考查了函数图象，准确从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题可用排除法．依题意，自行车以匀速前进后又停车修车，故可排除A项．然后自行车又加快速度保持匀速前进，故可排除B，D．【详解】解：由已知得最初以某一速度匀速行进，这一段路程是时间的正比例函数；中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，这一段时间变大，路程不变，因而选项A一定错误．第三阶段李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，这一段，路程随时间的增大而增大，因而选项B一定错误，这一段时间中，速度要大于开始时的速度，即单位时间内路程变化大，直线的倾斜角要大．故选：C．【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程s之间的关系采用排除法求解即可．汽车由武冈驶往相距400千米的长沙，如果汽车的平均速度是100千米/时,那么汽车距长沙的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意列出s、t之间的函数关系式，再根据函数图象的性质和实际生活意义进行选择即可．【详解】解：根据题意可知s=400﹣100t（0≤t≤4），∴与坐标轴的交点坐