第13讲解直角三角形的应用(原卷版+解析)

第13讲解直角三角形的应用理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．模块一：仰角与俯角仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．仰角仰角视线水平线视线俯角铅垂线如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角 为，则较低建筑物CD的高为（ ） A．a米 B．（）米 C．米 D．米AABCDE如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的 仰角为30°、45°，已知CD=30米，求铁塔的高．（结果保留根号）ABABCD如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼 底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？ABCDABCD模块二：方向角方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．北北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30°70°45°50°如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（） A．北偏东15° B．北偏西75° C．南偏西15° D．南偏东75°ABC东南西北D如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到ABC东南西北D200米到C地，此时小明离A地_____米．如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏 东北ABCD60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30东北ABCD（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环 城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB=2千米，．ABCDEFABCDEF环城路和平路文化路中山路G（2）求C、D之间的距离．模块三：坡度（坡比）坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．hl坡度通常写成1:m的形式，如．hl坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．

如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）ABCA．4米 B．米 C．米 D．米ABCABCD如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽ADABCD的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC=______．如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面ABCPQDE上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶ABCPQDE（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB=1.6米，BC=3.2米，DE=7.2米，EF=2.6米，斜坡EF的坡度i=1:2.4，FG=1.6米．试求大树HD的高．AABCDEFGHMN一、单选题（2022·上海·九年级专题练习）如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（

）A．5米 B．米 C．米 D．米（2023·上海虹口·统考一模）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°（2023·上海杨浦·统考一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（

）A．米 B．米 C．米 D．9米（2022秋·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．6米 B．米 C．米 D．米（2023·上海·一模）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里（2022秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（）A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米（2023·上海松江·统考一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（

）A．米 B．米C．米 D．米（2023·上海·一模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里二、填空题（2023·上海·一模）小明沿着坡度的斜坡行走了米，那么他上升的高度是_____米．（2023·上海金山·统考一模）某商场营业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯坡度，自动扶梯的长度为12米，那么大厅两层之间的高度_________米．（2023·上海奉贤·统考一模）已知一斜坡的坡度，高度为20米，那么这一斜坡的坡长约____________米．（2023·上海松江·统考一模）如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的长度是________米．（2023·上海崇明·统考一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为________千米．（用的式子表示）（2023·上海杨浦·统考一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为___________厘米．（参考数据：，，．）（2023·上海徐汇·统考一模）小球沿着坡度为的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是___________．（2023·上海·一模）小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了________米．三、解答题（2023·上海宝山·统考二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．(1)求“房顶”点A到盒底边的距离；(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；（参考数据：，，）．(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？（2023·上海奉贤·统考二模）图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．(1)求该支架的边的长；(2)求支架的边的顶端D到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（

）A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（

）A． B． C． D．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，如果在坡比为的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为______米．

如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离的值为________米．为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，建筑物底端B的俯角为，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据：）

小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度厘米的A处，花洒的长度为厘米．(1)已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号）(2)某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了元，求这个此款花洒的原价是多少元？第13讲解直角三角形的应用理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．模块一：仰角与俯角仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．仰角仰角视线水平线视线俯角铅垂线如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角 为，则较低建筑物CD的高为（ ） A．a米 B．（）米 C．米 D．米AABCDE【答案】D【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E． 由题意有：，， 在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的 仰角为30°、45°，已知CD=30米，求铁塔的高．（结果保留根号）ABCDABCD【解析】解：由题意可得：，． 设，则， 在中，， ∴，解得：．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．

如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼 底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？ABCDABCD【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：，， 在中，， ∴，∴． 在中，， ∴，∴．∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．模块二：方向角方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．北北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30°70°45°50°如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（） A．北偏东15° B．北偏西75° C．南偏西15° D．南偏东75°【答案】B【解析】考查方向角的定义．ABC东南西北D如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到ABC东南西北D200米到C地，此时小明离A地_____米．【答案】100．【解析】解：由题意可知： 在中，， ∴，∴，． ∴． ∴．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏 60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围 16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．东北ABC东北ABCD【解析】解：（1）由题意可得：， ，． ∴， ∴ ∴ ∴B在暗礁区外．（2）在中，， ∴，∴ ∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环 城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB=2千米，．ABCDEFABCDEF环城路和平路文化路中山路G（2）求C、D之间的距离．【答案】（1）2；（2）．【解析】解：(1)由题意得：，． ∵∴ ∴∵ ∴∴ ∴(2)∵ ∴ ∴过C作CG⊥BD，垂足为G在中，， ∴， ∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．模块三：坡度（坡比）坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．hl坡度通常写成1:m的形式，如．hl坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．

如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）ABCA．4米 B．米 C．米 D．米ABC【答案】C【解析】考查坡角的定义．如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD=15毫米， 槽的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC=______．ABCABCD【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面ABCPQDE上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶ABCPQDE（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC交PQ于点E，过A作AD⊥PQ由题意可知：，，． 在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴设，，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB=1.6米，BC=3.2米，DE=7.2米，EF=2.6米，斜坡EF的坡度i=1:2.4，FG=1.6米．试求大树HD的高．ABCDABCDEFGHMN【解析】解：由题意可得：， 过F作FM⊥HD，过F作FN⊥DN 在中，， ∴． 设，， ∴则， ∴． ∴，． ∴． 在中，， ∴，∴． ∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．一、单选题（2022·上海·九年级专题练习）如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（

）A．5米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，∵BE平行于地面，∴∠ABE＝∠α，∵BE＝5米，∴AB＝＝．故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．（2023·上海虹口·统考一模）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【详解】设这个斜坡的坡角为α，由题意得：tanα=1:.=，∴α=30°；故选A.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.（2023·上海杨浦·统考一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（

）A．米 B．米 C．米 D．9米【答案】A【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可.【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C，∵i=BC：AC=1：3∴3：AC=1:3,∴AC=9,在Rt△ACB中，由勾股定理得，∴AB=米.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键.（2022秋·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．6米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】过点B作于点C，构造直角求出的长即可．【详解】解：过点B作于点C，∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，∴，∴米，在中，，由勾股定理得米，故选：C．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．（2023·上海·一模）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．【详解】根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∴，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．（2022秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（）A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米【答案】B【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可．【详解】解：如图：，，千米，千米，千米，千米，千米，故选B．【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答．（2023·上海松江·统考一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，根据锐角三角函数可得，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，∵，∴，∵米，∴，即，∴，即米，即这条河的宽度是米，故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．（2023·上海·一模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】首先由方向角的定义及已知条件可以得出∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°，再根据AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°，然后解Rt△ABP，即可得出答案．【详解】解：由题意可知，∠NPA=50°，PA=2海里，∠ABP=90°，∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=50°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，PA=2海里，∴AB海里．故答案选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，还有平行线的性质和三角函数的定义．二、填空题（2023·上海·一模）小明沿着坡度的斜坡行走了米，那么他上升的高度是_____米．【答案】【分析】如图，由坡度易得与的比为，设出相应未知数，利用勾股定理可得的长度．【详解】解：设他上升的高度是米，如图，在中，，坡度：，，∴与的比为，∴，，∵，∴，解得：，（负值不符合题意，舍去），∴他上升的高度是米．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形及勾股定理．理解坡度的意义是解题的关键．（2023·上海金山·统考一模）某商场营业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯坡度，自动扶梯的长度为12米，那么大厅两层之间的高度_________米．【答案】6【分析】如图，由坡度易得与的比为，设出相应未知数，利用勾股定理可得的长度．【详解】解：设大厅两层之间的高度为米，如图，在中，，坡度：，，∴与的比为，∴，，∵，∴，解得：，（负值不符合题意，舍去），∴大厅两层之间的高度为米．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形及勾股定理．理解坡度的意义是解题的关键．（2023·上海奉贤·统考一模）已知一斜坡的坡度，高度为20米，那么这一斜坡的坡长约____________米．【答案】【分析】设斜坡的水平宽度为米，根据坡度的定义可求出，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：设斜坡的水平宽度为，斜坡的坡度，高度为20米，∴，∴这斜坡的坡长为（米），故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解题的关键．（2023·上海松江·统考一模）如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的长度是________米．【答案】【分析】首先根据坡比求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度．【详解】解：∵迎水坡的坡比，∴∵堤高米，∴米，∴米，故答案为：．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，熟记坡比的定义是解题的关键．（2023·上海崇明·统考一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为________千米．（用的式子表示）【答案】【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边长即可．【详解】如图所示，飞机在点处，为水平线，则，解得故答案为：【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是知道俯角是哪个角，然后利用正弦值求解．（2023·上海杨浦·统考一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为___________厘米．（参考数据：，，．）【答案】10【分析】过点A作于点F，在中，根据，可得厘米，即可求解．【详解】解：如图，过点A作于点F，根据题意得：，，厘米，在中，，∴，解得：厘米，∴厘米，即小球在最高和最低位置时的高度差为10厘米．故答案为：10【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．（2023·上海徐汇·统考一模）小球沿着坡度为的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是___________．【答案】【分析】设高度为x，根据坡度比可得水平距离为，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x，∵坡度为，∴水平距离为，由勾股定理可得，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．（2023·上海·一模）小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了________米．【答案】50【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【详解】解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为，∴他行走的水平宽度为米，由勾股定理得，，解得，，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用）——坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．三、解答题（2023·上海宝山·统考二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．(1)求“房顶”点A到盒底边的距离；(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．【答案】(1)点A到盒底边的距离为厘米；(2)新造型“盒身”的高度为厘米．【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进一步计算即可求解；（2）利用（1）的结论，结合角和的正弦、余弦，建立方程即可求解．【详解】（1）解：如图，作垂足为F，∵是等腰三角形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，在中，，∴，∴点A到盒底边的距离为厘米；（2）解：如图，作垂足为F，设，则，，∵，∴，由（1）得，∴，解得或3，当时，，不合题意，舍去；∴，即新造型“盒身”的高度为厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；（参考数据：，，）．(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？【答案】(1)1200米(2)原计划单向开挖每天挖100米【分析】（1）由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程，然后求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，米，∴米；答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．（2）解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：，解得：，经检验：是原方程的解且满足题意，答：原计划单向开挖每天挖100米．【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．（2023·上海奉贤·统考二模）图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．(1)求该支架的边的长；(2)求支架的边的顶端D到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，）【答案】(1)该支架的边的长为7米；(2)支架的边的顶端D到地面的距离为米【分析】（1）先解求出米，进而求出米，再解求出的长即可；（2）如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形，即可证明米，，求出，即可解，求出米，则米，【详解】（1）解：在中，米，∴米，∵米，∴米，∵，∴，在中，米，∴米，∴该支架的边的长为7米；（2）解：如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形，∴米，，∴，∴，在中，米，∴米，∴支架的边的顶端D到地面的距离为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（

）A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出，海里，，再由，根据平行线的性质得出．然后解，得出海里．【详解】解：如图，由题意可知，，，在中，，，海里，海里．故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义．小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A作于E，则四边形是矩形，．∵在中，，，∴，∵在中，，∴，∴．即旗杆的高度为．故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，如果在坡比为的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为______米．

【答案】5【分析】根据坡比为求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．【详解】解：水平距离为，坡比为，竖直高度（米）