【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题北京卷（回忆版）（含答案）

【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题北京卷（回忆版）一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥2}，则M∪N=（）A．（2，3） B．(−1,+∞) C．2．已知z1=3−2i,zA．22 B．i C．2 3．已知双曲线x2a2A．2 B．3 C．4 D．94．在a−x7A．2 B．-2 C．2 D．±25．下列函数中，既是奇函数，又在其定义域内单调递增的是（）A．f(xC．f（x）=-x3 D．f6．已知向量a=20,bA．1 B．2 C．3 D．47．设数列{an}，{bn}，命题P：存在常数M，使an≤MA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知f（x）=sin（x+φ）（0≤φ<2π）。将f（x）的图象向右平移3φ个单位得g（x），若g（x）的图象与f（x）的图象关于x轴对称，则满足条件的φ的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．某校组织高一、高二年级学生分别前往甲、乙两地研学。记高一去甲、去乙的人数为p，q，高二去甲、去乙的人数为r，s。已知p+q>r+s且p+r>q+s。下列关于人数的判断中一定正确的是（）A．去甲的高一学生多于去乙的高二学生B．去甲的高一学生不多于去乙的高二学生C．去乙的高一学生多于去甲的高二学生D．以上都不能确定10．平面内A，B两点固定，AB=4。点D在以A为圆心、半径1的圆上（AD=1），点C满足CD=3，BC=52A．[14，34] B．[二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。）11．若直线ax+y=0与圆x−22+12．等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S6=6a6+30,且对任意n有13．声压级y（单位：dB的某刻度）与频率f（Hz）满足y=lg14．三棱锥A-BCD中，AD=AB=AC=215．设c∈R，函数fx①f（x）在（-1，1]上既有最小值又有最大值；②当c=0时，f（x）=1有3个解；③当c=1，x∈（1，2]时，f（x）有最大值；④当c>0时，f（x）与y=c有4个交点。其中正确论断的序号是.三、解答题（本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16．已知函数fx=2（1）求ω，φ的值；（2）求f（x）的单调递减区间.17．现从全校学生中随机抽取200人统计某项体能指标，数据按区间[81，94]、（94，107]、（107，120]、（12分组，频数依次为40，60，60，32，8。每个学生指标相互独立。（1）估计该指标不超过120的概率；（2）将指标≥120记为“偏高”，≤94记为“偏低”，其余为“正常”。用频率估计概率，从全体学生中独立随机抽取4人，求恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率；（3）若把每组数据分别用其区间的左端点、中点、右端点代表，所得三组数据的方差分别记为S左18．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1（1）求证：DE∥平面BB1C1C；（2）点P在平面A1B1C1内，且.EP‖B1C1,，再从条件①PA=PD；②PA⊥BC；③BB1∥平面PDE。（注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分。）.19．已知椭圆E:x（1）求E的方程；（2）过点A（1，1）作斜率为k（k≠±1）的直线交E于B，C两点。设D为B关于直线y=x的对称点，直线DC交y=x于点Q。若∣S20．已知函数fx=x2（1）求m，n的值；（2）求证：f（x）有两个极值点；（3）当k>0时，讨论直线y=kx-1与曲线y=f（x）的公共点个数.21．给定正整数m，n（m，n≥3），设A=(a11a12⋯a（1）判断下列两个数表是否具有性质P:（2）在所有具有性质P的5×4数表中，1的个数最多是多少?（3）若m=n=6,a

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：集合M={x|故答案为：B.【分析】根据集合的并集运算求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：由z1=3−2i,z2=−1+4i，可得z故答案为：A.【分析】根据复数代数形式的加法运算，结合复数的模长公式求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：易知双曲线为x2a2因为渐近线为y=±23x，且a>0故答案为：B.【分析】易知双曲线的渐近线方程，结合题意求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：(a−x)7展开式的通项令k2=2，解得k=4，则x2由题意可得C74a7−4(−1)故答案为：A.【分析】写出(a−x)7展开式的通项，令5．【答案】D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=1B、函数f(x)C、函数f(x)=-x3定义域为但函数f(x)D、要使函数f(x)=lnf(x)因为y=ln(5+x)和则函数f(故答案为：D.【分析】先求定义域，再根据奇偶性的定义以及单调性逐项分析判断即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：向量a=(2,0)，则|a所以当a,a−故答案为：D.【分析】利用向量模的坐标运算求得|a|=2，由|7．【答案】A【解析】【解答】解：数列{an}当存在常数M，使an≤M≤bn(显然an≤bn(n=1,假设存在常数M，使an当n→+∞时，an=n→+∞，此时，M需同时“不小于无限增大的n”和“不大于无限增大的n2但不存在这样的固定常数M，则当an≤b故“存在常数M，使an≤M≤b故答案为：A.【分析】由题意，根据数列的性质，结合充分、必要条件的定义判断即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得g(因为g(x)与f(x即sin(x−2①、x−2φ=−x−φ②、x−2φ=π−(−x−φ由0<φ<2π对应φ=π3故答案为：C.【分析】根据三角函数图象的平移可得平移后的函数为sin(x−2φ)，与sin(x+φ)关于x轴对称可知函数值互为相反数，分9．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：高一总人数：p+q，高二总人数r+s，前往甲地的学生人数：p+r，前往乙地的学生人数：q+s，由p+q>r+sp+r>q+s，根据不等式的性质，两侧分别相加并化简可得p>s则高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数.故答案为：A.【分析】由题意可得：高一总人数：p+q，高二总人数r+s，前往甲地的学生人数：p+r，前往乙地的学生人数：q+s，建立不等关系，结合不等式的形式求解判断即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：

由AD=1,CD=3，可得3−1≤AC≤1+3，即2≤AC≤4在△ABC中，cos则2580即cos∠ABC的范围为[故答案为：B.【分析】由题意作出图形，根据边长关系求得2≤AC≤4，再在△ABC11．【答案】0【解析】【解答】解：易知圆(x−2)2+(因为直线ax+y=0与圆相切，所以d=|2a+2|故答案为：0.【分析】易知圆心和半径，由直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径列式求解即可.12．【答案】9（答案不唯一）【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d，首项为a由S6=6a6+30即−15d=30，解得d=−2，因为d=−2<0，等差数列{an}所以S5为前n项和的最大值，即数列前5项非负，第6项及以后非正，即a代入通项公式得a1+4d=a取a1故答案为：9（答案不唯一）.【分析】设等差数列an的公差为d，首项为a1，由题意，利用等差数列前n项和公式与通项公式列方程求的d的值，再由Sn≤S5恒成立可知S5为前n项和的最大值，结合数列的单调性得到a13．【答案】[700,4900)​​​​​​​【解析】【解答】解：由题意可得：lg2≤lg(1+f700)<3lg2=lg故答案为：[700,4900).【分析】根据对数函数的单调性，解对数不等式即可得f的取值范围.14．【答案】3；23【解析】【解答】解：△BCD中，BD=BC=2，DC=23取DC中点E，连接BE，如图所示：

易知BE⊥DC，DE=EC=3，在Rt△BDE中，则S△由AB=AC=AD=22，可得点A在底面BCD上的投影O为△在△BCD中，由余弦定理得cos∠DBC=由正弦定理，△BCD的外接圆半径R=则高h=AO=A三棱锥A−BCD的体积V=1综上，底面面积为3，体积为23故答案为：3；【分析】取DC中点E，连接BE，易知BE⊥DC，DE=EC=3，在Rt△BDE中，利用勾股定理求得BE=1，再利用三角形面积公式求△BCD面积即可；由AD=AB=AC，可知点A在底面BCD上的投影O为△BCD的外心，利用余弦定理求得15．【答案】①②③④【解析】【解答】解：①、令g(x)g(−x)g'(x)=2x+sinx，g则函数h(因为h(所以当x<0时，h(x)=g函数g(x)在(−∞,0)上单调递减，在在f(f(当g(x)即∃x1∈(−1此时f(x)在(−1,x1f(x1)=f因为1+c2>1−f(x)在x=x1在x=0处取最大值，f当g(x)在(f(x)在(所以f(x)在x=1在x=0处取得最大值，f(x)②、同①可得推广结论，在f(x)f(即∃x1∈(−∞,0此时f(x)在(−∞,x1∴f(x)在x=当c=0时，f(x)=|∵f(x)在(∴∃x3∈∵f(x)在[∴∃x4∈∴当x=x3,∴c=0，f(x)③、当c=1时，f(x)=|由①可得，g(x)∵g(1)∴∃x5∈(1∴在f(x)此时f(x)在(∴f(x)在x=2④、由③可得，在f(x)此时f(x)在(−∞,x1在ω(x)1>0，开口向上，所以函数ω(x)所以f(0)=1+c因为c>0，所以y=c在x轴上方，此时y=c与f(x)故答案为：①②③④.【分析】构造函数g(x)=x2−cosx−c2求定义域，判断函数的奇偶性，求导，利用导数判断其单调性，求出f(x)的奇偶性，分g(x)在(−1,1]内有零点和g(x)在(−1,116．【答案】（1）解：函数f(x)因为f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以因为f(π4)=1，所以2sin(则f(（2）解：由（1）可得函数f(x)=2sin(2x+π3)，

【解析】【分析】（1）先利用辅助角公式化简函数可得f(x)=2sin(ω（2）由（1）的解析式，利用整体法，结合正弦型函数的性质求解即可.17．【答案】（1）解：由已知样本中数学成绩低于120分的频率为40+60+60200=45，

所以数学成绩低于（2）解：易知从学校随机抽取一人，该学生成绩“偏高”的概率为15，“偏低”的概率为1则从学校随机抽取4人，恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率概率为C4（3）解：每组数据取左端的值记为xi，中间的值记为yi，右端的值记为zi易知x1=81，x2=94，x3=107，x4=120，x5=135，

y1=87.5，y2=100.5易知x=81×40+94×60+107×60+120×32+135×8200=101.sss右则s左【解析】【分析】（1）计算样本中数学成绩低于120分的频率，再利用频率估计概率即可；（2）由题意，先分别求学生成绩“偏高”和“偏低”的概率，再根据独立事件概率乘法公式求解即可；（3）每组数据取左端的值记为xi，中间的值记为yi，右端的值记为zi18．【答案】（1）解：以A为坐标原点，AB,AC,则A(0,0,0)，B(2且D(0,可得DE=(1,−1设平面BB1C1C令x1=1，则y1=1，因为DE⋅n1又因为DE⊄平面BB1C1C（2）由（1）可知EG//B1若选①：设P(因为PA=PD，则a2+(1−a)则AP=(1设平面PAD的法向量为n2=(令x2=22，则y2=0因为平面DEG//平面BB1C1则cosn所以平面PDE与平面PAD的夹角余弦值为23若选②：设P(a,因为AP⊥BC，则AP⋅BC=a+1−a=0，解得a=则AP=(1设平面PAD的法向量为n2=(令x2=22，则y2=0因为平面DEG//平面BB1C1则cosn所以平面PDE与平面PAD的夹角余弦值为23若选③：由（1）可知：平面DGEH//平面B因为P∈EG，平面DGEH即为平面PDE，即平面PDE//平面B可得BB1//平面PDE【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，AB,AC,（2）若选①：设P(a,1−a,2)，根据题意可得a=12，利用空间向量法求面面夹角即可；

若选②：设P(a,1−a19．【答案】（1）解：易知a=2，由离心率e=12，可得e=ca=a2−b（2）解：由题意可得lBC:y=k(x−1由B关于直线y=x对称的点为D，则D(联立x24+y2由124+123=712<1，可得则y1y1直线lCD:y=则x=y2−整理得x=x1x点B到直线AQ的距离d1=|x1−y又|AQ|=2|故|=======1即有|5k2−5|则k2<1，有5−5k故k=±2【解析】【分析】（1）易知a=2，由离心率e=1（2）利用点斜式可得直线lBC，联立直线与曲线方程，利用韦达定理，结合题目所给条件计算可得点D、点Q坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出S△ABQ20．【答案】（1）解：函数fx=x2+mx−4enx−1的定义域为R，f'(x（2）解：由（1）得f(x)令g(x)令g'(x则当x∈(−∞,1−ln2故g(x)在(又g(g(−1)故存在x1∈(−1,则当x∈(−∞,x1)∪故f(x)在(−∞故f(（3）解：令x2+2x−4e令h(x)若k≥2g(1−ln故h(x)在R当x→−∞时，h(x)→+即y=kx−1(k>0)若0<k<2−2ln2时，设这两个实根分别为x3、x4，且x3<x则当x∈(−∞,x3)∪故h(x)在(−∞故h(x3)为h(x)由h'(x则h=x由0<k≤2−2ln2，则则有x4−1<0、故h(x4又x→−∞时，h(x)→+∞即y=kx−1(k>0)综上所述：y=kx−1(k>0)与f【解析】【分析】（1）求函数fx（2）由（1）得f(x)令g(x)=x+1−2ex−1，利用导数研究函数（3）令x2+2x−4ex−1=kx−1，变形可得x2+2x−4ex−1−kx+1=0，

构造函数h(x)=x2+2x−4ex−1−kx+1，求导，利用导数计算可得h'(x)=2g(x)−k，再分k>2−2ln2及0<k≤2−2ln2进行讨论，当k>2−2ln2，结合（2）中所得可得h(x21．【答案】（1）解：数表A1=(1−111−1−1取第1、2行和第1、4列，四个顶点之和为1+1+(−1)+1=2≠0，则A1数表A2=(11−11则只需检验相邻两行与第1、4列组成的两个矩形，第1、2行对应的四个顶点之和为1+(−1)第2、3行对应的四个顶点之和为1+(−1)则A2具有性质P（2）解：设第i行元素之和为si先考察第1行与第4行，令xj对j=1,2,3，第1、4行的行距为3，第j、j+1列的列距为1，由性质因此x2=−x同理，考察第2行与第5行，可得s2所以整个数阵所有元素之和为s1设数阵中1的个数为N，数阵中共有20个数，因此−1的个数为20−N