统计学原理真题讲解

统计学原理真题讲解

三、相对指标、平均指标和变异指标

某地区土地面积3700K总人口数为1200万人，其中男性人口640万人，女性人口560万人，某年该地

区污水排放总量为9.6亿疗。根据以上资料计算：人口密度、男性人口比重，人均污水排放量，并指出每个指标属

于哪一种相对指标。

解：人口密度」200x10000-3243人/Km?

3700

男性人口比重=侬"x100%=53.33%

1200

人均污水排放量=-'I普=80m3/人

1200

人口密度、人均污水排放量是强度相对指标，男性人口比重是结构相对指标。

33（2008年7月）.某地有100家商店，其销售额资料如下：

销售额商店数

100~15024

150-20016

200~25030

250~30018

300~35010

350~4002

确定中位数，计算算术平均数、标准差、离散系数。

解：

销售商向下组中xfx-x(XF(XF/

100~242412530-9810019440

150~164017528-4160025600

200~307022567101003000

250-18882754960360064800

300~10983253211121012100

350~21003757516256051200

合计10——21——46000

100

-------=50,中位数所在的组为200・250那一组。

22

50“、

——40

2口m-l

中位数：Me=L+X4=200十2x50»217

/30

Jm

劭出知一2150（）

算术平均数工=等一=------=215

Z7100

标准差八FP二第382

离散系数V=2=生丝=31.54%

x215

某外贸出口企业装配车间工人加工零件情况如下表：

按加工零件分组（件）工人数（人）

100以下20

100-15040

150-200100

200-25030

250以上10

合计200

要求：（1）计算每名工人平均加工的零件数量

（2）工人加工零件的众数和中位数（保留整数）

解：

按加工零件分组工人数组中向下累计次

（件）（人）值Xxf数

100以下2075150020

100-15040125500060

150-20010017517500160

200-250302256750190

250以上102752750200

合计200—3350011

后.丁1壬我冲一£475x20+125x40+175x100+225x30+275x10

每名工人平均加工的零件数：工=等一=-------------------------------------------------=167.5（件）

Z/20（）

=168（件）

众数组为150-200那一组。

工人加工零件的众数:

M=4+Axc/=150+-----100~40------x50=173(件)

+(100-40)+(100-30)

AIA2

200

^\-f=—=100,中位数所在的组为150-200那一组。

22

XZ—S,--60

O2zn-ln_,

工人加工零件的中位数：M+.....xd=l50+d------x50=170(件)

1V1ef100

下表为某地甲商场服装组职工工资分组资料

月工资（元）人数（人）

5004

6003

7007

8003

9003

合计20

另有乙商场服装组职工月平均工资为800元，标准差为110元，试比较两商场服装组职工哪一组的平均工资代

表性大，（保留一位小数）

解：

月工资（元）人数xfx-x（X-J）2(x-x)2f

500420/p>

600318-9810024300

70074910100700

80033411121036300

900327214410132300

合计2013——338000

川在匕皿壮卬加丁0心丁、欠-工4500x4+600x3+700x7+800x3+900x3一、

甲商场服装组职工平均工资：%=等一=-------------------------------------------=69（X兀）

Yf20

殁&=13。(元)

甲商场服装组职工工资标准差。=

甲商场服装组职工工资离散系数V甲=W=史=18.8%

x690

乙商场服装组职工工资离散系数V乙=2="=13.8%

x800

丫甲＞丫乙，乙商场服装组职工的平均工资代表性大。

39、某中学高三男生体重资料如下表:

按体重分组（千克）学生人数1人）

50以下20

50-5225

52-5430

54-5610

56-589

58以上6

合计100

试计算中学高三男生体重的算术平均数、中位数和众数.（结果保留一位小数）

解：：=2^=丝=52.6（千克）（2分）

Zr100

之应」…

M0=L+---------------Xd-52+---X2-52.M千克）（2分）

匚“

Mo=L+———Xd=52+—-—X2=52.4（千克）（2分）

d+A,5+20

（1）房间里有10个人，平均身高为I72cm,此时走进来一个人，身高为176cm,现在，房间所有人的平均身

高为多少？（2）如果要使这11个人的平均身高达到173cm,则最后进来的人至少要多高?

解:⑴”

n

^x=xx/7=172x10=1720cm

-1720+176

X\=---------=------------------=172.36cm

10+1

（2）£占=9x%=173x11=1903c

X=^x2=1903-1720=183cm

四、抽样调查

34.（2007年7月考题）某水泥厂生产100kg装水泥，每分钟产量10袋，连续生产一天的产量为1440袋，

现每隔144分钟抽取10袋组成样本.检测其包装重量，结果如下：

每袋重量（kg）数量（袋）

97-9921

99-10165

101~10314

计算抽样平均误差。并以95.45%9（t=2）的概率估计这一天生产水泥平均每袋重量的区间。（提示：使用不重置

抽样方法）

解：

每袋数量组中xfx-xd-)2(X-X)2f

97~2198205-1.83.4572.6516

99~651006500.140.010.0004

101~141021422.144.5720.9727

合计100-998--93.6247

不重置抽样条件下，

Yxf9986

x=-==—=-=---9-9-.86

»10012

0.9363J440-100

抽样平均如二、(J=3.56

N-1尸100100-1

-寸/93.6274

Z（x=----------=0.9303

100

在95.45%的可靠程度下，t=2

A-=tx//=2x3.56=7.12

估计区间上限99.86+7.12=106.98

估计区间下限99.86-7.12=92.74

某厂生产钢珠，随机抽取36个，测得其直径的平均值为31.06mm,标准差为0.25mm,试以95%(t=1.96)

的概率估计钢珠平均直径的置信区间。

解：由于总体标准差未知，计算抽样误差时用样本标准差s代替。

s二0.25,1=31.06,n=36,F(t尸95%,『1.96

50万

抽样平均误差：〃=1==£=0.04167〃"〃

山iV36

抽样极限误差:A;=，x〃广1.96x0.04167=0.0817mm

置信区间下限=1一A；=31.06-0.0817=30.9783;

置信区间上限=7+=31.06+00817=31.1417；

钢珠平均直径的置信区间为［30.9783,31.1417］

检测部门对某企业生产的奶粉进行检查，在仓库中随机抽取了400袋产品，检查结果是每袋平均是454克。标

准差5克。按照规定，奶粉每袋重不应低于453克。要求：

(1)试以99.73%的概率(t=3)推断该批奶粉平均重量的估计区间；

(2)判断该批奶粉重量是否达到了规定要求(保留两位小数)

解(1)n=400,x=454,s=5,F(t)=99.73%,t=3

拍样平均误差：［/；=0.25(克)

抽样极限误差:&=fx从广3x0.25=0.75(克)

全部奶粉平均重量的估计区间界于(454-0.75,454+0.75)=(453.25,454.75)克之间。

⑵由于该批奶粉平均重量的估计区间下限、上限数值均大于453克，说明该批奶粉平均重量达到了规定要求。

某电子元件厂采取不重置抽样方法，对2007年6月份生产的10000件产品进行检查，结果在抽查的100件产

品中有5件不合格产品，要求：

(1)以95.45%的概率(t=2)推算该厂全部产品的合格率的置信区间。(保留一位小数)

(2)说明该厂2007年6月份生产的全部产品是否超过了规定9%的不合格率范围。

M(1)N=10000,n=100,ni=5,F(t)=95.45%,t=2

P=-^=-^=5%，合格率q=1・p=1・5%=95%

pQ_p)(N_n)(0.05x(1-0.05)x(ioooo-ioo)_o

抽样成数误差:,4,=

n(V-1)—\100x(10000-1)

抽样成数极限误差式xpp=2x2.2%=4.4%

置信区间下限=95%-4.4%=90.6%

置信区间上限=95%+4.4%=99.4%

全部产品的合格率的置信区间：［90.6%,99.4%］

(2)不合格率为9%,合格率就为91%,在区间［90.6,99.4%］范围内，不超过。

对某鱼塘的鱼进行抽样调查，采用重复抽样方法捕到草鱼49条，测得平均每条重2千克，标准差0.77千克。

试按95.45%的保证程度(k2)对该鱼塘草鱼平均重量作区间估计。

解：已知n=49j=2,s=0.77,F(t)=95.45%,t=2

s0.77八一，〒士、

勺=五=病"(千克)

==2x0.11=0.22(千克)

估计区间下限=2-0.22=1.78(千克)

估计区间上限=2+0.22=2.22(千克)

该鱼塘草鱼平均重量区间估计为(1.78,2.22)千克。

五、相关分析和回归分析

对10户居民家庭的月可支配收入和消费支出进行调查，得资粕如下：

家庭1234567891

收入X2164689979

支出2143466757

配合收入和支出求解回归直线方程。

解：

家庭收入X支出X2丫2XY

12520625400500

21815324225270

3604036016002400

445302029001350

5624238417642604

6886077436005280

7926584642255980

8997098049006930

9755356228093975

10987896060847644

合计6624735162650736933

〃£町，10x36933-662x473

心了一10x51656-6622

••・金0.72

473-0.72X662

=0.364

nI0

一元线性回归方程是：y=0.72x+0.364

10名男大学生的身高和体重资料如下：

编12345678910

号

身16181617171816171716

高5065219958

体53795473697765707578

重

计算相关系数，并配合一元线性回归方程。

解：

编身体重

号

8xyx2y2xy

165327228087

1525945

187932462414

20001220

165427529189

3656664

177330653212

45259775

176929547611

52841868

187732759213

61619937

166528542210

79615985

177032049012

89410530

177530656213

95255125

1167828260813

08244104

台1629948812

计73093602190253

10x120253-1730x693…

相关系数二士

22

--匕）2My2-（Zy）27l0x299602-1730710x48819-693

«y^-YxYy10x120253-1730x693

□=----------------=----------------------

_（Zx）210x299602-17302

、Zy-hl.x693—1.67x173（）

a=-----------=----------------=—21y.o1

n10

一元线性回归方程是:y=-219.61+1.67x

根据某企业生产的产品产量（X）和单位产品成本（丫）资料，可得以下数据：

ZX=29;£Y=426;1X2=151;ZY2=30628;£XY=2044;n=6

试根据所给资料，建立单位成本对产量的回归直线，并解释直线中参数b的经济意义。

6x2044-29x426

=-1.38

一心2_£)26x151-29?

--㈠.38”29“67

n6

直线方程:

y=a+bx=77.67-1.38x

b为估计直线的斜率,表示当x增加1个单位时y的平均增加数量。本题中当x增加1个单位时y平均降低1.38

个单位，

41、某企业产品产量与单位成本资料如下:

1998199920002001200220032004

产品产量（万件）2343456

单位成本（元/件）53525153494846

要求：

（1）珑立单位成本对产量的直线回归方程.

（2）指出每当产量增加1万件时，单位成本的变化情况.（结果保留两位小数）

解：b「Exy-，x£y=7x3-27x352『9G79（3分）

-Lxl-（Sx）27x115-271

-L>>

y-vb■x=-b•

nn

352

=----（-1.9079）*PxPx

7

=57.6447（3分）

y=a+bx=57.6447-1.9079x（1分）

当产量每增加1万件时，单位成本平均降低L9079元。（1分）

某地区某种成品的年产量资料如下：

年份产量（万台）年份产量（万台）

199820200428

199921200533

200025200635

200129200739

200229200838

200331200941

用最小平方法配合直线方程，并预测该地区2010年这种产品可能达到的产量。

解：

方法1:

年年份产量（万台）

份XyX2y2xy

1120140020

998

1221444142

999

2325962575

000

242916841116

001

252925841145

002

263136961186

003

272849784196

004

2833641089264

005

2935811225315

006

210391001521390

007

211381211444418

008

212411441681492

009

合7836965011852659

计3

人〃沙；一之汨'J2X2659-78X369“82

工入-0/）12x650-782

f/=Z>-^=369-1.82x78=18j92

n12

直线方程:

y=a+bx=18.92+1.82x

当x=13时，y=18.92+1.82x13=42.58（万台）

方法2:简便算法：令Ex=O,年数为偶数项，中间两年x取值分别为-1和+1,两邻两年间隔为2,则：

年年份产量（万台）

份XyX2y2xy

1-1120121400-220

998

1-92181441-189

999

2-72549625-175

000

2-52925841-145

001

2-3299841-87

002

2-1311961-31

003

2128178428

004

23339108999

005

2535251225175

006

2739491521273

007

2938811444342

008

211411211681451

009

合03695721185521

计3

6/=^-=—=30.75

n12

直线方程:

y=a+bx=30.75+0.91x

当x=13时，尸30.75+0.91x13=42.58（万台）

注意：采用简捷算法时，如果题目给定资料为奇数年份资料，中间年份只有一年，令2x=0,中间那一年x取

值为0,两邻两年间隔为1o

六时间数列

36.（2007年7月考题）某企业2000~2004年的工业增加值（已剔除物价因素）如下：

年份20002001200220032004

工业增267332357359401

加值

试计算该企业几年来增加值的定基和环比发展速度、年平均增长速度。

解：

年份20002001200220032004

工业增加267332357359401

定基发展—124.3133.7134.4150.1

讣比发展——124.3107.5100.5111.7

年平均增长速度=年平均发展速度・1

=V124.34%X107.53%x100.56%x111.7%-1=10.7%

或者1=10.7%

V267

某地区2000年到2004年各季度某种销售量资料如下：

第一季度第二季度第三季第四季度

度

2000913166

200111141710

2002816216

20031012208

200412151610

用按季平均法测定该商品销售量的季节比率。

解：

第一第二第三第四全年

200091316644

20011114171052

200281621651

2003101220850

20041215161053

五年合50709040250

四季平101418812.5

季节指80.00112.144.64.0100.0

某企业2006年第二季度商品库存额资料如下：

日期4月1日5月1日6月1日7月1日

库存额（万160140150160

元）

要求：计算该商品的第二季度平均商品库存存额。

解：第二季度平均商品库存额二

%+%+%+幺^^+140+150+^^

2——--_2_=2-----------------------2=150（万元）

4-14，-1,

年份20012002200320042005

环比发展速度130120124

定基发展速度130150225

试根据两个指标之间的关系，推算表格内空缺的数值，并计算2001-2005年间的年平均增长速度。（结果保

留一位小数）

解：解题思路

年份20012002200320042005

环比发展速度为一出一如=

4出。3%

定基发展速度£1£1

£L=”二==

^-=—X^x^-=130%x115.4%x120%=180%

牝即4a2

幺=幺+2=至%=125%

a2劭旬180%

5二&X幺=124%x225%=279%

%a4a0

某地区2005到2009年各季度某种商品销售量资料如下：用“按季平均法”测定该种商品销售量的季节指数。

第一季度第二季度第三季度第四季度

2005913166

200611141710

2007816216

20081012208

200912151610

解：

第一第二第三第四全年

200591316644

20061114171052

200781621651

2008101220850

20091215161053

五年合50709040250

四季平101418812.5

季节指80.00112.144.64.0100.0

七、统计指数

某企业职工人数及工资资料如下:

人数平均工资（元）

基期fo报告期基期报告期引

技工500530800850

-------------4-0-0-------------------------870--------------400—----------------450----------

试计算总平均工资可变指数、固定结构指数和结构影响指数，用因素分析法说明平均工资变动的原因。

解：

人数平均工资(元)工资总额

基期报告期基期报告XofoXlflxofi

可变构成指数3

X

技500530800850400450424

辅400870400450160391348

合9001400560842772

固定结构指数第=守+聋=符=徽=皿。7%

结构影响指数至二辛3空-成也亚吧

=88.62%

X。”1400900

因素分析:

(1)相对数分析

3.Wx工

X。X.X。

99.66%=109.07%x88.62%

(2)绝对数分析

X「X°=(X「Xn)+(Xn—X。)

842000-560000=(842000-772000)+(772000-560000)

282000=700000+212000

结果表明：报告期总平均工资比基期下降了3.34%,其中由于技工和辅工工资水平提高使总平均工资

增长了9.07%,由于技工和辅工人数结构变动是总平均工资下降了11.38%。同时，各组工资水平提高使总

平均工资提高700000,各组人数结构变动使总平均工资提高212000,这两个因素共同作用的结果，使总

平均工资提高282000。

三种产品的销售星及价格变动,科如下：

销售量价格

产品名称计量单位

2003年2004年2003年2004年

甲吨8083100150

乙件75080090110

丙套5065120100

运用指数体系，从相对数和绝对数两方面分析价格和销售量的变动对销售额的影响。

解：

产品销售■价格销售额

名称基期报告基期报告PoqoPiqiPoqi

甲80831001508001245830

乙750