统考版2025届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练7概率与统计理

概率与统计（7）

1.[2024•全国乙卷（理）]某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进

行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工

艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的

橡胶产品的伸缩率分别记为为，匕（了=1,2,…，10）.试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率XI545533551522575544541568596548

伸缩率力536527543530560533522550576536

记zi=x—yi{i=1,2,•••,10）,记zi,Z2,…，益的样本平均数为z,样本方差为

⑴求z,s；

（2）推断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有

显著提高（假如二则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡

胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2.[2024•内蒙古满洲里模拟预料]随着数字化信息技术的发展，网络成J'人们生活的

必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉

迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前高校生每天上网状况，某调查机构

对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网的时间超过8小时的被称为“有

网瘾”，否则被称为“无网瘾”.调查结果如下：

有网瘾无网瘾合计

女生10

男生20

合计100

(1)将上面的2X2列联表补充完整，再推断是否有99.9%的把握认为“有网瘾”与性别

有关，说明你的理由；

(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取3人参与

座谈会，记这3人中“有网瘾”的人数为X试求才的分布列与数学期望.

参考公式：*=…)(b+d)，其中〃=a+〃+c+a

参考数据:

〃心〃0)0.100.050.0100.001

kn2.7063.8416.63510.828

3.[2024•安徽合肥一中模拟预料]北京2024年冬奥会祥瑞物“冰墩墩”和冬残奥会祥

瑞物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完备结合，是一次

现代设计理念的传承与突破.为了宣扬2024年北京冬奥会和冬残奥会，合肥一•中确定支配

5名志愿者将两个祥瑞物安装在合一广场，活动共分3批次进行，每次活动须要同时派送2

名志愿者，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名志愿者中，2人有安装阅历，

3人没有安装阅历.

(1)求5名志愿者中的“小明”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率;

(2)求其次次抽选时，选到没有安装阅历志愿者的人数最有可能是儿人？请说明理由；

(3)现在须要2名志愿者完成某项特别教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一

次，假如前一位志愿者肯定时间内不能完成教学任务，则再派另一位志愿者.若有力、8两

个志愿者可派，他们各自完成任务的概率分别为A,月，假设1>A>月，且假定各人能否完成

任务的事务相互独立.若按某种指定依次派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为⑦，

3,其中S，3是《、月的一个排列，试分析以怎样的依次派出志愿者，可使所需派出志愿

者的人员数目的数学期望达到最小.

4.[2024•山西吕梁三模]足球竞赛淘汰赛阶段常规竞赛时间为90分钟，若在90分钟

结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采纳“点球大战”的

方式确定输赢.“点球大成”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮番踢点球，累计进

球个数多者胜；②假如在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的

球数，则不须要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0,则不须

要再踢第5轮了)；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮

各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则接着下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的

状况，进球方胜出.

(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等

可能地选择球门的左、中、右三个方一直扑点球，而且门将即使方向推断正确也只有义的可

能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的

个数才的分布列和期望；

(2)现有甲、乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”

31

来确定输赢，设甲队每名队员射进点球的概率均为三乙队每名队员射进点球的概率均为5,

假设每轮点球时进球与否互不影响，各轮结果也a不影响.

(i)若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进

球)并胜出的概率；

(ii)求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5:4(不含常规赛和加时赛得分)胜出的

概率.

5.[2024•陕西汉台中学模拟预料]2024年，中国新能源汽车销售火爆，力省相关部门

调查了该省2024年1月份至10月份的新能源汽车销量状况，得到一组样本数据（必，yMi

=1,2,10）,其中％表示第■个月，匕表示第，个月力省新能源汽车的销量（单位：万

辆），由样本数据的散点图可知，y与4具有线性相关关系，并将这10个月的数据作了初步

处理，得到下面一些统计量的值：

101010

*

i

y1=1<=1r斗=1

1.589.138515

（1）建立y关于x的线性回来方程；

（2）为激励新能源汽车销售商主动参与调杳，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商

开展抽奖活动，共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别嘉奖2

万元、1万元、5千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为：、k1.现有甲、乙两

家新能源汽车销售商参与了抽奖活动，假设他们所中奖项相互独立，求这两家汽车销售商所

获奖金总额单位：万元）的分布列及数学期望.

附：对于一组数据（x,M）,（X2，%），…，（无，公，其线性回来方程夕=打+3的斜率

y

/=1'—八一

和截距的最小二乘法估计公式分别为方=-------------,a=y—bX.

E4—nxz

J=1

6.[2024•河南郑州三模]据悉强基支配的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到

笔试优秀才能进入面试环节.已知甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目且每门科

目是否达到优秀相互独立,若某考生报考甲高校，每门科目达到优秀的概率均为;，若该考

I2

生报考乙高校，每门科目达到优秀的概率依次为\三，〃，其中0</KL

00

(1)若〃分别求巴该考生报考甲、乙两所高校在笔试环节恰好有一门科目达到优秀

O

的概率；

(2)强基支配规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数

的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲高校的面试环节，求〃的取值范围.

概率与统计(7)

1.解析：(1)由题意，求出z,的值如表所示,

试验序

12345678910

号/

Z,968-8151119182012

则z=]^X(9+6+8—8+15+11+19+18+20+12)=11,

s2=-j^X[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(Il­

li)24-(19-11)24-(18-11)2+(20-11)24-(12-11)2]=61.

(2)因为2、吊=2#下=47,~=ll=y/121>y[24~4,

所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有

显著提高.

2.解析：(1)依据题意，列联表如下：

有网瘾无网瘾合计

女生401050

男生203050

合计6040100

2100X(40X30—20X10)

*=60X40X50X50%16.667>10,828,

所以有99.9%的把握认为“有网瘾”与性别有关.

55

（2）由题意，“有网瘾”中抽取20X示=2（人），“无网瘾”中抽取30乂标=3（人）,

□UoU

x的全部可能取值为D,1,2,

p（v_0）Lp（r-i）_-p（r_2）__A

尸（才_o）一6一10,尸（才-l）—c_IO_5'_c：-10，

所以随机变量X的分布列为

012

133

P

W5W

336

故后（幻=°、Z+1乂5+2义而=守

2

3.解析：（1）5名志愿者中的“小明”在每轮抽取中，被抽取到的概率为二,

0

则三次抽取中，“小明”恰有一次被抽取到的概率AC；X信丫侍深；

WIZb

（2）其次次抽取到的没有安装阅历志愿者人数最有可能是1人.

设3表示第一次抽取到的没有安装阅历志愿者人数，3可能的取值有0,1,2,

C；1CC；6d3

则尸（3=0）=~；2（3=1）=~Q^=75；Pk3=2）=^-=Y^.

设;表示其次次抽取到的没有安装阅历志愿者的人数，4可能的取值有0,1,2,则

c；C；,C；C；C；,C；C；30

P(《=2)

c；《c；6cC：丽

因为尸（f=1）>P（f=2）>P（f=0）,

故其次次抽取到的没有安装阅历志愿者人数最有可能是1人.

（3）依据先力后8的依次所需人数期望最小：

①设;表示先力后夕完成任务所需人员数目，则

X12

P41-A

E(r»=A+2(1-/D=2—4,

①设J'表示先8后0完成任务所需人员数目，则

X12

P月1一月

E⑺=月+2(1—2)=2—月，E⑺-E(X)=A一8>0,

故依据先A后〃的依次所需人数期望最小.

4.解析：（1）依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为々JxJx3xJ=:，

JJZO

门将在前三次扑出点球的个数才的可能取值为0,1,2,3.

pg。）=《xG）°x®3=S*户g）司x0，x（I）2=S,

p（/=2）=qxdx5'=£P(K3)=C；X。X。=1

216,

则才的分布列为

0123

1252551

P

2167272216

19Soc:511

、的数学期望夕⑴=0X-+lX-+2X-+3X-=-

或（易知才〜43,看），E（/）=3x1=1j.

（2）（i）记事务“甲队先踢点球，在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛

和加时赛进球）并胜出”为事务人意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前

三轮踢进3个点球，对应的概率为

"〈心=目乂t）3=急

（ii）记“点球大战在第6轮结束，且乙队以5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出”

为事务/A意味着前5轮结束后比分为4：4,第6轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为

5.解析：(1)由题意得：；=1+2+3%+9+10=5.5,

1010

又y=1.5,Z%匕=89.1,^Xj=385,

i=1i=1

io_____

•gjM-lOxy89.1-10X5.5X1,5.

:.b=—n-----——=385—10X552—=0，0&a=1-5-0.08X5.5=1.06,

7Z-1x—10/.

:.y关于x的线性回来方程为尸1.06+0.08x.

(2)奖金总额*的全部可能结果有4,3,2.5,2,1.5,1,

pg)=坛《

P(/=3)=2x|x|=|,

boy

P(1=2.5)

OZD

P(/=2)

JJ9

、111

尸(1=1.5)=2X-X-=~,

JZJ

/cr=i)=1x1=i

・•・/的分布列如下:

1432.521.51

n111111

r3696934

数学期望E(Z)=4X^+3x1+2.5X、+2X、+1.5X；+1

ooyoy34o

6.解析：(1)设该考生报考甲高校恰好有一门笔试科目优秀为事务A,则P3=

二伶丫」.

3⑶9,

该考生报考乙高校恰好有一门笔试科目优秀为事务8,则