2026北京八十中高三3月统练数学试题及答案

223．设a,b是非零向量，则“a<b”是“a.b<b”的(24．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)以及火箭（除燃料外）的质量N(kg)间的关系为v=2ln若火箭的最大速度为12km/s，则下列各数中与最接近的是()A．200B．400C．600D．8005．双曲线上存在四点A,B,C,D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线离心率的取值范围是()A．f(2m)() 8．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AD1和B1C1上．给出下列四个结论：①MN的最小值为2；②四面体NMBC的体积为；③有且仅有一条直线MN与AD1垂直；④存在点M，N，使△MBN为等边三角形．其中所有正确结论的序号是()9．函数f的定义域是.在区间上单调递减，则w=；φ=.ABCD为正方形．若AB=6cm，EF=3cm，且 .①若函数g(x)无零点，则a的一个取值为；③存在正整数N，当n≥N时，an>15．函数f=Asin的最小正周期为(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定f(x)的解析式，并求函数h(x)=f(x)−2cos2x的单调递增区间.条件①：f(x)的最大值为2；条件②：f(x)的图象关于点中心对称；条件③：f(x)的图象经过16．在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，上ABC=,EFⅡ平面ABCD,AB=2EF=2，点M为BC中点.(1)在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMGⅡ平面BDF，请说明理由；(2)请在下列条件中任选一个，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值.0.【分析】先利用复数的乘法，写出z1.z2，再根据纯虚数的概念求参数.【分析】先判断sinα<0，再根据商的关系结合平方关系求解即可.:sinα<0,【分析】结合充分条件与必要条件的定义及向量的数量积公式计算即可得.222222222故“a<b”是“a.b<b”的充分不必要条件.26【分析】首先设A(m,n)，代入双曲线方程得到m2−b2，根据四边形ABCD是正方形，得到m22，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可.【详解】设A(m,n)，在第一象限，2=m22，【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.【详解】若关于x的方程f(x)=1在(0,τ)上恰有一个实数根m，则2sin(2x+φ)=1，即sin(2x+φ)=在若sinφ≠,则关于x的方程f(x)=1在(0,τ)上有两个实数根，因为φ<，所以φ=，此时f(m)=2sin(2m+)=1，可.m【分析】对于①,利用直线之间的距离即可求解；对于②,以M为顶点，NBC为底面即可求解；对于③,利用直线的垂直关系即可判断；对于④,建立空间直角坐标系，先将BM=BN，再根据上BMN=列式求解即可判断.【详解】对于①,由于M在AD1上运动，N在B1C1上运动，所以MN的最小值就是两条直线之间的距离所以四面体NMBC的体积为，故②正确；对于③,由题意可知，当M与D1重合，N与C1重合时，D1C1丄AD1，所以AD1所以当M为AD1中点，N与B1重合时，此时MN丄AD1，故与AD1垂直的MN不唯一，故③错误；对于④,当△MBN为等边三角形时，BM=BN，所以AM=B1N，所以只需要BM与BN的夹角能等于即可，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图，(nn)(22,(nn)(22,n22BM.BNn+4n22BM.BNn+4所以存在n使得△MBN为等边三角形，故④正确.3x【分析】由题意可得出{，结合对数函数的单调性求解即可.3x{，解得：x≥.2+y2调性可构造方程组求得φ.【详解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，=，:，解得w=2.此时f(x)的小正周期在区间上单调递减，和分别为f(x)单调递减区间的起点和终点，又φ<，:φ=−,12．30cm3【分析】作辅助线，将五面体分割为三棱柱与四棱锥，再利用锥体与柱体的体积关积.【详解】由五面体ABCDEF可知，四边形DCFE与四边形ABFE都为平面四边形.如图所示，分别取AB，DC的中点G，H，连接EG，EH，GH，因为面ABCD为正方形，所以AB//DC，又AB丈平面EFCD，DC平面EFCD，所以AB//平面EFCD，又平面EFCD平面ABFE=EF，AB平面ABFE，所以AB//EF，因为G，H分别为AB，DC的中点，AB=6cm，EF=3cm，所以EF//GB,EF=GB，则四边形EGBF为平行四边形，同理四边形EHCF也为平行四边形.则EG//FB，EG平面EGH，FB丈平面EGH，所以FB//平面EGH，同理FC//平面EGH，又FBFC=F，且FB平面FBC，FC平面FBC，所以平面FBC//平面EGH，又四边形HGBC也是平行四边形，所以几何体EGH−FBC为三棱柱，已知EF与面ABCD的距离为2cm，即点E333故答案为：30cm3.【分析】①结合函数f(x)的图象，函数g(x)无零点，即y=f(x)与y=a的图象无交点，所以可得到a的[x2+2x,x−2或[x2+2x,x−2或x12,①函数g(x)=f(x)−a无零点，即f(x)−a=0无解，②函数g(x)有4个零点，即f(x)−a=0有4个根，即y=f(x)与y=a的图象有4个交点，x2、x3关于x=0对称，所以x2+x3=0，n−1n+1n(an+3n,(7−ann,(7−an)(an+3)nn−1n+1n(an+3n,(7−ann,(7−an)(an+3)4①,利用差比较法结合结论①可判定②③.（2）根据条件求出A,φ即可求出f(x)的解析式，结合两角和的正弦公式和辅助角公式化简h(x)，借助于三角函数性质即可求出单调递增区间.2τ2τ 所以φ=.因为f(x)的最大值为2，所以A=2，=τ,所以=2，(5τ)又因f(x)的图象关于点|(12,0(5τ)故f(x)=2sin2x+,)|，(τ)(1)(τ)(1)(6,，=sin2x−cos2x=2sin(|2x−(6,，因为f(x)的最大值为2，所以A=2，(τ)(τ).(τ)(τ)(τ).(τ)因为0<φ<τ,所以π<φ+π<2π,故φ+π=π,即φ=π,所以f(x)=2sin2x+,)|，(6,(6,=sin2x−cos2x=2sin(|2x−τ)|，(5τ)(12,因为f(x)的图象关于点(5τ)(12,因为函数f(x)的图象经过点(τ,)，所以Asin(τ+τ)=.解得A=2，故f=2sin所以h(x)的单调递增区间为【分析】（1）由题意根据条件推出EF//平面ABCD,GM//平面BDF，再根据面面平行的判定定理证明结论.（2）若选①,在BDF中，利用cosLDEF=，求出BF，取AD中点N，连接FN,BN，从而证明BN丄AD,FN丄AD，建立空间直角坐标系，求出所平面BEC的法向量，再利用法向量求二面角即可.若选②,由EM=2，求出OF，取AD中点N，连接FN,ON,BN，从而证明BN丄AD,FN丄AD，仿照选①的方法可求二面角.【详解】（1）在直线CD上存在一点G，使得平面EMGⅡ平面BDF，理由如下：连接AC交BD于点O，连接OM,OF，取CD的中点G，连接GM,GE，又EFⅡ平面ABCD,EF∈平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，故EF∥AB,O为AC的中点，点M为BC中点，则OMⅡABⅡEF，AB=EF，故四边形OMEF为平行四边形，则EMⅡOF，EM丈平面BDF，OF∈平面BDF，故EMⅡ平面BDF；又点M为BC中点，G为CD的中点，故GMⅡBD,GM丈平面BDF，BD∈平面BDF，故GMⅡ平面BDF，EMGM=M,EM,GM∈平面EMG，故平面EMGⅡ平面BDF，（2）选择①,则BAD为正三角形，AB=2，取AD中点N，连接FN,BN，则BN2+FN2=BF2，所以BN丄FN，因为△ABD是正三角形，所以BN丄AD，因为ADFN=N,AD,FN平面ADF，所以BN丄平面ADF，FN平面ADF,:BN丄FN，又FN丄AD,ADBN=N,AD,BN平面ABCD，故FN丄平面ABCD，以N为原点分别以NA,NB,NF所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面BEC的法向量为m=(x,y,z)，令z=1，则y=2，故m=(0,2,1)，设平面BDF的法向量为n=(a,b,c)，由于平面BDF与平面BEC所成二面角为θ∈[0,τ]，则co所以平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值为sinθ=若选②:取AD中点N，连接FN,ON,BN， 在△ONF中，FN=3,ON=1,OF=2，则FN2ON2OF2，所以ON丄FN，因为△ADF是正三角形，所以AD丄FN，又ADON=N,AD,ON平面ABCD，则F