2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（导学案）-解析版

.5.1直线与圆的位置关系（第2课时）导学案（1）能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养；（3）体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.台风“桦加沙”中心从A地以20km/h的速度向西北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，广州市在A地正西40km处，则广州市是否会遭遇到台风的危害吗？回顾：在学习《两点间的距离公式》时，我们学会了会运用坐标法解决简单的平面几何问题，请回顾：用坐标法解决简单的平面几何问题的四个基本步骤：学生：思考并回顾之前所学知识，马上得出答案一建：建立适当的平面直角坐标系，二表：用坐标或方程表示点、距离、直线、圆等有关几何要素三算：进行有关代数运算四翻译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱QUOTE𝐴2𝑃2的高度（精确到）．回顾：建立适当的平面直角坐标系的三大原则是什么？原则一：让尽可能多的点落在坐标轴上原则二：条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴原则三：轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴思考：如何在该图形中建立直角坐标系？以O为原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系追问：原点O是圆心吗？不是，圆心在y轴上，可令圆心坐标(0，b)转化：建立平面直角坐标系，将实际应用问题转化为怎样的数学问题？原题：圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱QUOTE𝐴2𝑃2的高度.转化后：已知___________________________________，圆心在________上，求点P2的________坐标.思路：由点P2在圆上，可以先求圆的方程，然后代入点P2的横坐标，求得P2纵坐标.预设：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点，的坐标分别为，．设圆心坐标是，圆的半径是，那么圆的方程是．下面确定和的值．因为，两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程．于是，得到方程组．解得，．所以，圆的方程是．把点的横坐标代入圆的方程，得．即（的纵坐标，平方根取正值）．所以m．答：支柱QUOTE𝐴2𝑃2的高度约为3.86m．思考：如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答追问：根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂.坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻.牛刀小试：练1：2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是米.（注意：）预设：以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为，由勾股定理可得，又，即，解得，所以圆心的坐标为，则圆的方程为，将代入圆的方程得，又，解得，所以(米)．故答案为：．例4：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？预设：以小岛的中心为原点，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为．这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为QUOTE𝑥2+𝑦2=4轮船航线所在直线的方程为，即．联立直线与圆的方程，得消去，得．由，可知方程组无解．所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？提示:借助向量工具求一些距离问题预设：以小岛的中心为原点，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为．所以，，直线AB的一个法向量为，所以，点O到直线AB的距离为：所以轮船沿直线返港不会有触礁危险．思考：比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？向量法解决几何问题的步骤，和坐标法很类似：首先将点、线、面等几何要素用向量表示，其次对这些向量进行运算，最后后把向量运算的结果“翻译”成关于点、线、面的相应结果.由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性，以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷.题型一：圆的中点弦问题例题若点为圆的弦的中点，求直线的方程.预设：将的圆心，则直线CM的斜率，由垂径定理可得：直线与垂直，故直线AB的斜率，则直线的方程为，即..方法总结：已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程第一步：先求圆的圆心坐标，和半径；第二步：利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率第三步：根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率第四步：利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程题型二：圆的切线长问题例题：过圆O:x2+y2=1外的点P3,3作O的一条切线，切点为A．22 B．17 C．32预设：由题意可知：圆O的圆心为O0,0，半径r=1所以AP2=OP故选：B.题型三：圆的切点弦的方程问题例题：过点P(4,−1)作圆C:x2+y2+2x−4y−4=0的切线PA，PB，过切点预设：以PC为直径的圆的方程，即以32以|PC|2=34又圆C:x2+故答案为：5x−3y+2=0题型四：直线与圆的位置关系实际应用问题如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？预设：（1）如图所示，A(40,40)、B(20,0)，设圆C的方程为x2得：F=0402+故所以圆C的方程为x2+y2（2）该船初始位置为点D，则D(−20,−203)，且该船航线所在直线l的斜率为故该船航行方向为直线l:3由于圆心C到直线l的距离d=15(3+1)>10题型五：圆上的点到直线距离为定值的个数问题例题已知圆，直线，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1．(1)当时，求b的取值范围？(2)当时，求b的取值范围？(3)当时，求b的取值范围？(4)当时，求b的取值范围？预设：（1）由题知圆的方程为,所以圆心为,半径为,若圆上恰有1个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足，则，解得．解得或.（2）若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足，则，解得．解得或.（3）因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于1,所以只需要圆心到直线的距离为即可,所以圆心到直线的距离为:,解得（4）因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线的距离小于1，因此有.方法总结:直线与圆有公共点（此时d≤r）直线与圆无公共点（此时d>r）1．（2014·安徽·一模）若点P(1,1)是圆x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－3＝0C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0预设：据题意可知直线AB与点P和圆心C(0,3)连线垂直，故kAB＝－1kcp＝12，从而得直线AB方程为y－1＝12(x－1)，整理得直线AB的方程为2．（2025·江西萍乡·二模）过点P3, 1作圆C:x2+yA．16 B．4 C．21 D．21预设：圆C:(x+1)2+(y+2)2则|PC|=(−1−3)所以PA=故选：B3．（高二·全国·课后作业）过点(−2,2)作圆x2+y2=4的切线，若切点为A、BA．x+y+2=0 B．x−y+2=0 C．x+y−2=0 D．x−y−2=0预设：根据题意，设P(−2,2)，圆x2+y2=4有|OP|=4+4则|PA|则以P为圆心，|PA|为半径为圆为(x+2)2+(y−2)公共弦所在的直线即直线AB，则x2+y即直线AB的方程是x−y+2=0；故选：B.4．（高二上·宁夏银川·期末）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米预设