小学五年级数学《因数与倍数：数与形的第一次抽象对话》教学设计

小学五年级数学《因数与倍数：数与形的第一次抽象对话》教学设计一、教材与学情分析（一）教材分析：从“算术”走向“数论”的奠基之课【基石·重要】“因数与倍数”是苏教版小学数学五年级下册第三单元的开启课，隶属于“数与代数”领域，是小学阶段系统学习“初等数论”知识的开端。这部分内容是在学生已经掌握了非零自然数的认识、表内乘法、两位数乘两位数以及除数是两位数的除法等知识的基础上进行教学的1。它不仅是后续学习“2、3、5的倍数的特征”、“质数与合数”、“公因数与最大公因数”、“公倍数与最小公倍数”以及“约分”、“通分”的基石，更是学生数学认知结构从研究“数的大小、运算”向研究“数的性质、关系”的一次重要跃迁34。本节课的核心在于引导学生经历从具体的乘法或除法算式中抽象出因数与倍数概念的过程，体验两个非零自然数之间这种相互依存的关系，掌握有序思考的探究方法，为后续的深入学习奠定坚实的认知基础和方法论基础。（二）学情分析：在“操作经验”与“抽象思维”之间搭建桥梁【重要】五年级的学生已经具备了一定的操作经验和初步的逻辑思维能力。他们对乘法算式中各部分的关系并不陌生，能够熟练口算表内乘法，这为学习本课提供了有力的支撑。然而，“因数与倍数”作为一对抽象的数学概念，具有两大认知难点：其一，概念的“相互依存性”。学生容易孤立地说某个数是因数或倍数，而难以理解二者必须是在说明两个数之间的一种关系48。其二，思维的“有序性与全面性”。在找一个数的因数时，学生往往会凭借直觉零散地写出几个，容易出现重复或遗漏，缺乏有序、全面的思考策略。因此，本节课的教学设计必须充分利用学生的已有操作经验（如拼摆长方形），通过“数形结合”的方式，让抽象的概念在直观的图形中“着陆”，再通过层层递进的探究活动，引导学生在思辨与交流中感悟有序思考的价值，实现思维水平的提升。二、核心素养导向目标【热点·高阶】（一）知识与技能1.学生能结合具体情境，理解因数与倍数的意义，掌握其相互依存的关系，能正确判断两个非零自然数之间是否存在因数或倍数关系。2.学生能自主探究并掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练、有序、不重复、不遗漏地找出一个非零自然数（100以内）的所有因数，以及一个自然数（10以内）在100以内的所有倍数69。（二）过程与方法1.通过“拼长方形”的数形结合活动，经历因数与倍数概念的抽象过程，发展几何直观和抽象概括能力。2.在探究找一个数的因数和倍数的过程中，通过观察、比较、归纳，体会“有序思考”的数学思想方法，培养思维的条理性和严谨性14。（三）情感态度与价值观1.在探究与交流中，感受数学知识之间的内在联系，体验数学思考的乐趣与魅力，增强学习数学的自信心。2.通过了解“完美数”等数学文化，初步感受数论知识的神奇与美妙，激发探索数学奥秘的欲望8。三、教学重难点（一）教学重点：理解因数与倍数的意义，掌握找一个数的因数和倍数的方法。（二）教学难点：理解因数与倍数之间相互依存的关系，以及有序、全面地找出一个数的所有因数。四、教学准备多媒体课件（含拼长方形动画、数轴演示）、12个小正方形学具（供学生操作演示用）、学习单（含百数表、因数探究记录表）。五、教学过程设计与实施【核心·实施过程】（一）激活经验，数形结合——于“拼摆”中初识概念【基础·重点】1.创设情境，操作引入上课伊始，教师利用大屏幕呈现12个完全相同的小正方形，并抛出核心任务：“同学们，请看，这里有12个同样大的小正方形。如果我们用它们来拼成一个大的长方形，可以有几种不同的拼法？你能不能用一道乘法算式来表示你的拼法？”14。此环节给予学生充分想象的空间。学生先独立思考，在头脑中模拟拼摆，然后指名汇报。教师根据学生的回答，利用课件动态演示拼摆过程，并同步板书三道乘法算式：4×3=126×2=1212×1=12【设计意图：通过直观操作和数形结合，将抽象的数学概念建立在学生熟悉的乘法运算和几何图形的经验之上。这一过程不仅唤醒了学生对乘法意义的理解，更为后续揭示因数与倍数的概念提供了生动而具体的素材，有效降低了认知难度。】2.基于算式，揭示概念教师以“4×3=12”为例，进行示范性描述，引领学生初次感知新概念：“在数学王国里，当我们看到4×3=12这道算式时，我们可以说，4是12的因数，3也是12的因数；反过来，12是4的倍数，12也是3的倍数。”随后，教师引导学生将目光转向另外两道算式，组织同桌两人互相说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。在充分交流的基础上，指名汇报，特别是针对“12×1=12”这一特殊情况，要引导学生清晰地表达出：12是12的因数，12也是12的倍数；1是12的因数，12也是1的倍数8。教师趁势总结，明确研究范围：“今天我们就来专门研究因数和倍数。需要特别提醒大家的是，为了研究的方便，我们在讨论因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。”163.多元表征，深化理解为了检验学生对概念的理解，教师出示一组具有思辨性的问题：（1）你能根据18÷3=6这个除法算式，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？（2）（出示数字6和12）只看这两个数，你能说清它们之间的关系吗？通过这两个问题的讨论，引导学生认识到：乘法和除法有着互逆的关系，因此根据除法算式同样可以阐述因数与倍数关系。更重要的是，在辨析“12是36的因数，又是6的倍数”这一现象时，引导学生深刻领悟到：因数和倍数不是指一个数本身，而是指两个数之间的一种关系，它们是相互依存的，必须说清“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”18。（二）自主探究，有序思考——于“列举”中发现方法【难点·高频考点】1.提出问题，激发需求教师出示数字“36”，并提问：“通过刚才的学习，我们知道12是36的因数。那么，36的因数除了12以外，还有哪些呢？你能想办法把36的所有因数都找出来吗？想一想，怎样找才能做到既不重复，又不遗漏？”16。此问题直指本课的教学难点，旨在激发学生的探究欲望和策略需求。2.小组合作，初探方法学生以四人小组为单位，利用学习单尝试寻找36的所有因数。教师巡视，收集典型的资源，如：无序且遗漏的、用除法或乘法算式寻找的、有序一对一对列举的。3.展示交流，优化策略将收集到的不同层次的学生作品投影展示，组织全班进行对比、评价和思辨。1.4.案例一（零散无序）：学生写出了2、3、4、6、9、12、18等，但顺序混乱，且有遗漏（如缺1和36）。2.5.案例二（除法算式法）：学生写出了36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷6=6，从而得到因数1、36、2、18、3、12、4、9、6。3.6.案例三（乘法算式法）：学生写出了1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36，从而得到因数1、36、2、18、3、12、4、9、6。在对比中，引导学生发现案例二和案例三的本质是相通的，都是借助算式，将抽象的寻找过程具体化。关键在于，这两种方法都体现了“有序”和“成对”思考的优点。教师重点引导学生体会：从“1”开始，按从小到大的顺序想乘法算式，一对一对地找，当两个因数越来越接近，直到相等（如6×6）时，就可以断定已经找全了16。教师顺势板书总结，并指导学生规范书写：36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。同时介绍集合图的表示方法。7.巩固练习，内化方法学生独立用学到的方法，找出15和16的所有因数。反馈时重点关注16的因数（1，2，4，8，16），特别是“4”的出现方式，进一步巩固有序思考的策略6。（三）类比迁移，拓展认知——于“探究”中掌握规律【重要】1.顺势而导，迁移学法教师引导：“我们已经成功找到了36的因数，并且发现了因数的一些小秘密。那关于倍数，你们想研究什么？以‘3的倍数’为例，你能借鉴找因数的方法，来试着找一找3的倍数吗？”18。这一环节旨在引导学生将刚刚习得的“有序思考”和“算式表征”的方法，从“找因数”自然迁移到“找倍数”的学习中。2.自主探究，体验无限学生独立寻找3的倍数。汇报时，学生可能出现两种情况：1.3.用乘法：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12……2.4.用除法：（）÷3=整数，如3÷3=1，6÷3=2，9÷3=3……教师引导学生比较两种方法，并追问：“你能把3的倍数全部写出来吗？”学生在尝试中发现，3的倍数是写不完的，有无数个。这时，教师引导学生用省略号来表示，并规范书写：3的倍数有：3，6，9，12，15，……6。同时，结合数轴演示，让学生直观感受到一个数的倍数在数轴上对应的点是无限延伸、没有尽头的。5.分层练习，加深理解学生用同样的方法，独立找出2和5的倍数，并在小组内交流。教师重点指导书写格式，强调“省略号”的必要性6。（四）对比归纳，构建模型——于“思辨”中提炼特征【热点·重要】1.梳理发现，完成表格引导学生回顾刚才找12、36、15、16的因数以及3、2、5的倍数的过程，小组合作完成如下对比表格的填写与讨论：项目最小最大个数一个数的因数1它本身有限的一个数的倍数它本身没有无限的1.交流汇报，归纳特征各小组汇报交流，逐步归纳出因数和倍数的本质特征：1.2.因数的特征：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的68。2.3.倍数的特征：一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，一个数倍数的个数是无限的68。教师对学生的归纳给予高度评价，并指出这是数学学习的重要方法——归纳法。（五）分层练习，深化应用——于“游戏”中提升思维【高频考点】1.基础练习，人人过关（1）根据算式，说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。7×8=5663÷7=9（2）填空题。一个数的最小倍数是18，这个数是（），它的因数有（）。2.游戏辨析，激活思维游戏一：“猜猜我是谁”1。教师在红包背后藏了一个数，并贴出这个数的所有因数（按从小到大排列，但最后一个因数被遮住）。只翻开最后一个因数（即最大的因数），让学生猜这个数是多少。引导学生运用“一个数的最大因数是它本身”这一特征进行推理。游戏二：“起立游戏”24。请学号是“6的因数”的同学起立；请学号是“6的倍数”的同学起立（在150号范围内）。在欢快的氛围中，进一步巩固概念，同时让学生直观感受到，有的同学可能两次起立（如学号6既是6的因数又是6的倍数），从而深化对两者关系的认识。3.拓展延伸，文化渗透简要介绍“完美数”：6的因数有1、2、3、6，这几个因数中，除了6本身，剩下的1+2+3正好等于6。像这样的数，在数学上被称为“完美数”或“完全数”。激发学生课后继续探索数学奥秘的兴趣8。（六）全课总结，畅谈收获——于“回顾”中建构体系1.交流收获教师引导学生回顾本节课的学习历程：“同学们，这节课马上就要结束了，请大家回忆一下，我们是怎样一步步认识‘因数与倍数’的？通过今天的学习，你有哪些收获？你学会了哪些思考问题的方法？”6。学生从知识、方法、情感等多个角度畅谈收获。教师相机引导，帮助学生将零散的知识点串联成线，构建起初步的认知结构。2.布置作业（1）基础作业：完成练习五第1、2、3题。（2）实践作业：找出自己的学号的所有因数，并观察它是不是一个“完美数”？六、板书设计