苏科版初中数学七年级上册《有理数的混合运算（第一课时）》教案

苏科版初中数学七年级上册《有理数的混合运算（第一课时）》教案

一、教学背景分析与设计理念

（一）教材内容深度解析

本节课选自苏科版《义务教育教科书·数学》七年级上册第二章“有理数”的第七节。从教材编排体系来看，本章是学生从小学算术数学习迈向初中代数学习的关键枢纽。在相继学习了有理数的意义、数轴、相反数、绝对值、有理数的加、减、乘、除、乘方等基本概念和运算之后，本节课“有理数的混合运算”第一次系统地将这些孤立的运算技能进行整合与串联，标志着学生对有理数运算的学习从“单一技能形成”阶段进入“综合能力构建”阶段。

从知识结构网络看，有理数的混合运算规则（运算顺序）是整个中学阶段代数运算的“基本法”。它不仅是后续学习整式加减、解一元一次方程、不等式运算、函数表达式求值等内容的运算法则基础，更是培养学生严谨、有序、条理化数学思维的重要载体。本节课所确立的“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序原则，将贯穿学生未来整个数学学习生涯，其奠基性意义不言而喻。

（二）学情精准诊断

七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，其认知特点表现为：

1.已有知识储备：学生已经掌握了有理数的加、减、乘、除、乘方五种基本运算的法则，能够独立进行单一类型的运算。对运算中的符号确定（如“同号得正，异号得负”）、绝对值计算有初步体验。

2.潜在认知冲突与困难：

1.3.顺序意识的模糊性：小学虽接触过“先乘除后加减”，但在引入乘方和负数后，运算层级增多，学生对运算优先级（尤其是乘方与乘除的先后、多重括号的处理）的理解容易产生混淆。

2.4.“符号关”的顽固性：在混合运算的复杂情境中，负号的归属（是减号还是负数的性质符号）、连续多个负号的处理、乘方运算中底数为负数时的符号判定，是学生最容易出错的重灾区。

3.5.步骤书写的跳跃性：学生急于得出答案，常常省略关键步骤，导致运算过程不清晰，错误发生后难以检查回溯。规范的步骤书写习惯尚未养成。

4.6.运算律应用的陌生感：在混合运算中适时、合理地运用加法交换律、结合律，乘法对加法的分配律进行简便运算，对学生而言是一个新的挑战和思维跃升点。

（三）核心素养导向的教学目标设计

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求，结合教材与学情，制定如下三维教学目标：

1.知识与技能

1.理解并掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右依次进行；有括号时，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

2.能正确、熟练地进行简单的（以三步为主，涉及加、减、乘、除、乘方中的若干种）有理数混合运算，准确率达到85%以上。

3.初步感知在混合运算中运用运算律可以简化计算过程。

2.过程与方法

1.经历从实际问题抽象出数学算式，并通过观察、比较、归纳得出混合运算顺序的过程，体会数学规定的合理性与必要性，发展抽象概括能力。

2.通过“尝试计算—辨析错例—归纳要点—规范板演”的螺旋式学习路径，掌握有理数混合运算的基本程序和规范书写格式。

3.在解决层次递进的练习中，形成有条理、分步骤思考问题的习惯，提升运算的准确性和灵活性。

3.情感态度与价值观

1.通过创设现实情境和解决实际问题，感受有理数混合运算在生活中的应用价值，激发学习兴趣。

2.在小组讨论、错例分析中，养成严谨求实、一丝不苟的科学态度和合作交流的意识。

3.在克服运算难关的过程中，锻炼意志力，体验数学思维的严谨之美与成功解决问题的成就感。

（四）教学重难点及突破策略

1.教学重点：有理数混合运算的运算顺序。

2.教学难点：混合运算中符号的正确处理与运算步骤的规范书写。

3.突破策略：

1.4.情境锚定，理解顺序：通过设计贴合学生认知的现实问题链（如海拔变化、温度计算、游戏计分等），引导学生在解决实际问题中自然产生对统一运算顺序的需求，从而理解规则不是强行规定，而是解决问题的客观需要。

2.5.口诀辅助，强化记忆：将运算顺序编成朗朗上口的口诀（如“三级运算分明，乘方老大先行。乘除紧随其后，加减最后搞定。括号是个例外，里外依次进行。”），帮助学生记忆。

3.6.错例共析，聚焦符号：精心设计或收集学生典型错例（如-3^2

与(-3)^2

的混淆、6÷2(1+2)

的争议性理解等），组织学生进行“错因诊断”，在辩论和澄清中深刻理解符号和运算顺序的本质。

4.7.板演示范，规范步骤：教师进行规范板演，强调“一步一变，步步有据”的书写原则。要求学生使用“划线标记法”，在计算每一步前，用笔轻轻划出下一步要计算的局部，直观体现运算顺序。

（五）教学准备与资源整合

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（包含情境动画、运算顺序动态演示、分层练习题组、典型错例）；实物投影仪；课堂评价用的小组积分表。

2.学生准备：复习有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则；准备好练习本、双色笔（用于标注和改错）。

3.环境准备：将学生分为4-6人异质小组，便于开展合作学习。

二、教学过程实施（核心环节详案）

第一环节：创设情境，导入新知——从“生活序”到“数学序”（约8分钟）

1.情境呈现：

课件展示两个生活化问题。

问题一（海拔计算）：登山队从海拔-15米（海平面以下）的营地出发，先向上攀登了200米，然后因为天气原因下降了50米，最后又向上攀登了120米。问此时登山队在海拔多少米处？

问题二（温差计算）：某市早晨气温是-3℃，中午气温比早晨上升了10℃，傍晚气温比中午下降了6℃。傍晚的气温是多少摄氏度？

2.学生活动：

1.学生独立思考，尝试列出算式。

2.教师请两名学生板书列式。

1.3.问题一算式可能为：(-15)+200-50+120

2.4.问题二算式可能为：(-3)+10-6

5.学生口算得出结果。

3.教师追问，引发冲突：

教师变换问题一：“如果登山队攀登的速度是每分钟上升20米，下降的速度是每分钟25米，第一次攀登用了10分钟，下降用了2分钟，最后一次攀登用了6分钟。那么整个过程中，登山队的海拔总变化量是多少米？”

引导学生列出更复杂的算式：20×10+(-25)×2+20×6

或20×10-25×2+20×6

。

提问：这个算式里有哪些运算？我们应该先算什么？为什么？

4.归纳导入：

教师总结：“像这样，在一个算式中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，就叫做有理数的混合运算。今天，我们就一起来研究，如何让这些运算在同一个算式中‘井然有序’地进行。”（板书课题：有理数的混合运算）

【设计意图】从仅含加减的简单问题入手，降低起点，让所有学生都能参与。通过变换条件，自然引入乘法的混合，制造认知冲突（先算加还是先算乘？），激发学生对统一“运算顺序”的内在需求。将生活情境中的“顺序”（如先攀登再下降）与数学运算的“顺序”进行隐喻关联，帮助学生理解数学规则的现实根源。

第二环节：合作探究，建构规则——明晰“运算序”（约15分钟）

1.回顾旧知，建立联系：

教师提问：“在小学，我们学习过不含括号的四则混合运算，顺序是什么？”

学生齐答：“先乘除，后加减。”

教师肯定：“这是数学世界里的基本交通规则。进入初中，我们引入了有理数和乘方运算，这个‘交通规则’需要升级。”

2.探究活动一：给运算“排座次”

课件出示算式：3+2×5²÷(-5)

1.任务一：独立尝试请学生独立思考，尝试计算。

2.任务二：小组讨论在小组内交流各自的计算过程和结果。讨论焦点：①这个算式里有哪几级运算？②你是按照什么顺序算的？③你们组内结果统一吗？不统一的原因是什么？

3.任务三：全班分享与辩论教师选取2-3个具有代表性过程的小组上台展示（可能出现的典型过程：①从左到右算；②先算2×5²

；③先算5²

）。组织学生辩论，哪种顺序更合理。

3.教师引导，归纳规则：

在学生辩论的基础上，教师利用课件进行动态演算：

1.第一步：算式中级别最高的运算是乘方5²=25

。原式变为3+2×25÷(-5)

。

2.第二步：接下来是乘除，它们是同级运算，从左到右。2×25=50

，原式变为3+50÷(-5)

。50÷(-5)=-10

，原式变为3+(-10)

。

3.第三步：最后算加减。3+(-10)=-7

。

教师边演示边总结，并板书核心规则：

有理数混合运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右依次进行；

3.如有括号，先算括号里面的（小→中→大）。

4.口诀化记忆，强化认知：

师生共同编创并朗读记忆口诀：“三级运算分明，乘方老大先行。乘除紧随其后，加减最后搞定。括号是个例外，里外依次进行。”

5.探究活动二：括号的“权力”

出示算式：[12-4×(3-5)]÷2²

引导学生分析：这个算式里有括号，该如何处理？

学生口述步骤：先算小括号(3-5)=-2

，再算中括号内的乘法4×(-2)=-8

，然后算中括号内减法12-(-8)=20

，接着算乘方2²=4

，最后算除法20÷4=5

。

教师强调：括号改变了原有的运算顺序，拥有最高的“优先级”。

【设计意图】本环节是本节课的核心知识建构过程。通过一个典型的混合运算算式，让学生在“尝试-冲突-辩论-澄清”的探究活动中，主动建构起运算顺序的规则。教师的动态演算将抽象的思维过程可视化。口诀的创编符合七年级学生的记忆特点，使规则生动有趣。括号环节的设计，是对运算顺序规则的补充和深化，使学生形成完整的认知结构。

第三环节：典例精析，规范步骤——攻克“符号关”与“格式关”（约20分钟）

这是本节课技能形成的关键环节，重在解决难点。

1.教师规范化板演示范：

出示例1：计算(-2)³+(-3)×[(-4)²+2]-(-6)²÷(-3)

教师边板书，边用语言阐述思维过程和书写规范：

解：原式=(-2)³+(-3)×[(-4)²+2]-(-6)²÷(-3)

（抄题，留足空间）

=(-8)+(-3)×(16+2)-36÷(-3)

（第一步：算所有乘方。注意：(-2)³=-8

，(-4)²=16

，(-6)²=36

。这里要特别讲解(-6)²

与-6²

的区别，这是符号难点。）

=(-8)+(-3)×18-36÷(-3)

（第二步：算括号内。小括号内16+2=18

。）

=(-8)+(-54)-(-12)

（第三步：算乘除。(-3)×18=-54

，36÷(-3)=-12

。注意-(-12)

表示减负12，等于加12。）

=(-8)+(-54)+12

（将减法转化为加法，统一为加法运算更不易错）

=(-62)+12

（第四步：算加减。先同号相加：(-8)+(-54)=-62

。）

=-50

板演要点强调：

1.一步一变：每进行一种运算，就将算式更新一次，使当前算式的运算种类减少。

2.步步有据：每一步变形都要有运算顺序规则或运算法则作为依据。

3.符号醒目：负数、括号要书写清晰。建议学生使用“划线法”，在计算前，用笔轻轻划出下一步要计算的部分，如第二步前划出[(-4)²+2]

。

2.学生模仿练习（“跟我做”）：

计算：-1⁴-(1-0.5)×1/3×[2-(-3)²]

一名学生上台板演，其余学生在练习本上完成。教师巡视，重点关注：①-1⁴

的理解（是1⁴

的相反数，即-(1⁴)=-1

）；②小括号和减法；③分数乘法的处理。

板演完成后，师生共同批改、订正。

3.错例诊疗室（聚焦难点）：

课件出示几个典型错误计算过程，请学生扮演“数学医生”进行诊断。

1.病例1（符号错误）：计算-2²+3

错解：-2²+3=4+3=7

（误将-2²

当作(-2)²

）

诊断：-2²

表示2²

的相反数，应先算乘方2²=4

，再取相反数-4

。

正解：-2²+3=-4+3=-1

1.病例2（顺序错误）：计算6÷2×3

错解：6÷2×3=6÷6=1

（先算了2×3

）

诊断：乘除同级，应从左到右。6÷2=3

，3×3=9

。

正解：6÷2×3=3×3=9

1.病例3（去括号错误）：计算8-(5-3)

错解：8-(5-3)=8-5-3=0

（去括号时符号未变）

诊断：括号前是减号，去括号后，括号内每一项都变号。

正解：8-(5-3)=8-5+3=6

【设计意图】“模仿—实践—纠错”是技能习得的有效路径。教师的规范板演为学生提供了可参照的“范本”。随后的模仿练习及时巩固，并将难点(-1⁴

)暴露出来。“错例诊疗”环节极具针对性，将学生最容易犯的错误集中呈现，通过辨析、纠错，能极大地加深学生对运算顺序和符号法则的理解，起到“免疫”作用。此环节是化解教学难点的核心操作。

第四环节：分层训练，巩固提升——实现“精准练”（约15分钟）

设计三层练习，满足不同层次学生需求，全体参与，各有收获。

A组：基础达标（全体必做）——巩固运算顺序

1.(-3)×2+(-24)÷4

2.(-1)¹⁰×2+(-2)³÷4

3.[1-(1-0.5)]×[2-(3)²]

（设计意图：三步以内混合运算，紧扣运算顺序主线，检测基本掌握情况。教师巡视，快速批改组长的答案，然后小组内互批，当堂反馈。）

B组：能力提升（多数学生选做）——熟练步骤与符号

1.-9+5×(-6)-(-4)²÷(-8)

2.(-2)²-|-7|×(-1)-(-5)

（引入绝对值，进行轻度综合）

3.规定一种新运算：a※b=a×b-a-b，例如2※3=2×3-2-3=1。求(-2)※3的值。

（设计意图：步数稍多，符号处理更复杂。第3题定义新运算，旨在考查学生对运算顺序规则的本质理解，能迁移应用到新情境中，培养阅读理解与迁移能力。）

C组：思维拓展（学有余力选做）——渗透简便思想

计算：(-125)×(-2)×8+(-25)×(-5)×(-4)

教师提示：观察数字特征，直接按顺序算繁琐吗？能否“结对子”简便计算？

引导发现：(-125)×8=-1000

，(-2)×(-25)×(-5)×(-4)=?

实际上，可以运用乘法交换律和结合律进行简便运算。虽本节课不强调运算律，但为下一课时埋下伏笔，启迪优生思维。

【设计意图】分层练习尊重学生差异，让每个学生都能在“最近发展区”获得成功体验。A组保底，B组促中，C组提优。新运算和简便思想的渗透，体现了知识的延展性和思维的开放性。课堂时间有限，C组可作为思考题，鼓励学生课后探究。

第五环节：课堂小结，反思升华——梳理“知识树”（约5分钟）

1.学生自主小结：

引导学生围绕以下问题用思维导图或关键词的形式进行梳理：

1.“本节课我学习了关于有理数混合运算的哪个核心规则？”

2.“在进行运算时，我需要特别注意哪两个问题？（顺序、符号）”

3.“我的计算步骤规范吗？‘一步一变’我做到了吗？”

2.师生共同完善：

教师展示一个简单的知识结构图：

有理数混合运算

├─核心：运算顺序

│├─三级：乘方→乘除→加减

│├─同级：从左到右

│└─括号：小→中→大（优先）

└─两关：符号关、格式关

├─符号：辨负号、看乘方、巧转化

└─格式：一步一变，步步有据

3.教师寄语：

“运算顺序是数学王国的交通法规，符号法则是行车指南。希望同学们在今后的计算中，都能成为遵规守纪、驾驶娴熟的‘数学司机’，安全、准确地抵达答案的彼岸。”

【设计意图】改变教师单方面总结的模式，引导学生自我反思、自主建构知识网络。思维导图式的总结直观清晰，有助于学生从整体上把握本节课的内容框架。最后的比喻既生动形象，又再次强化了规则意识。

第六环节：布置作业，延伸学习（约2分钟）

必做题：课本对应练习第1、2题；练习册A组基础题。

选做题：

1.（巩固类）自编一道包含加、减、乘、乘方和括号的三步有理数混合运算题，并给出完整解答过程。

2.（探究类）查阅资料或自行思考：为什么数学中要规定“先乘除后加减”？这个规定在生活中有类似的例子吗？（如购物打折：先算折扣，再算总价）

实践题：记录家中一周每天的电表读数，计算每日用电量（后一天读数减前一天读数），再根据当地电价计算本周电费总支出。列出计算式。

【设计意图】作业设计体现巩固性、趣味性和实践性。自编题目促进学生内化规则；探究题引导学生追寻数学规定的根源，沟通数学与生活；实践题让学生真正体会到数学的实用价值，培养应用意识。

三、板书设计

板书采用“